高斯小学奥数四年级下册含答案第16讲_奇偶性分析
绝世美人儿
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2021年01月29日 08:09
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第十六讲
奇偶性分析
一个整数 要么是奇数，要么是偶数，
二者必居其一，这个属性叫做这个数的奇偶性．利
用奇数与偶数的分 类及其特殊性质，
可以
“简捷”地求解一些与整数有关的问题，我们把这
种通过分析整 数的奇偶性来解决问题的方法称为“奇偶分析法”
．
在正式开始本讲的学 习之前，
我们首先需要较熟练的掌握以下结论，
有助于我们更好的
去思考问题：
一、加减法性质
奇
奇
偶
，奇
偶
奇
，
偶
偶
偶
奇
奇
偶
，
奇
偶
奇
，
偶
奇
奇
，偶
偶
偶
1
、相邻
2
个 自然数一定是一个是奇数、一个是偶数，其和一定是奇数．
2
、通过观察可以看出， 一个数加偶数不会改变奇偶性，所以和的奇偶性是由奇数的个
数决定的．奇数个奇数的和是奇数，偶数个 奇数的和是偶数；任意个偶数的和是偶数．
3
、可看出两个数的和与差奇 偶性相同．一些数相加减，最后的结果的奇偶性也是由奇
数的个数决定的，即
“奇数个奇数的和 差是奇数，
偶数个奇数的和差是偶数；任意个偶数的
和差是偶数”
．
二、乘除法性质
奇
奇
奇
，
奇
偶
偶
，
偶
偶
偶
当乘数都是奇数时，
乘积是奇数
（反过来，如果若干个整数的乘积是奇数 ，
那么其中的
每一个乘数都是奇数）
；只要乘数里出现至少
1
个偶数 ，那么乘积就是偶数（反过来，如果
若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个乘数是偶数．
）
——
所以乘积的奇偶性是由
是否存在偶数决定的．
奇
偶（除不尽）
，
奇
奇
奇（在能除尽时），
偶
奇
偶（在能除尽时）
，
偶
偶（结果不确定，可奇、可偶）（在能除尽时）
在做除法时不一定能除尽，所以我们 讨论的都是除尽的情况，主要注意“
偶
偶
”的
情况不确定，其余的在五年级学完分解质因数后同学们会有更深刻的理解．
练一练
判断下列各算式结果的奇偶性
：
（< br>1
）
32387
209486
3024
39485
209777
5933
592 89
875798
（
2
）
25465
23523
12535
41245
685 44
35366
11198
（
3
）
48735
73527
98321
8472 9
（
4
）
1287
9475
7384
7583
791
7839
（
5
）
卡莉娅心里想了
2
个自然数，她告诉小高这两个数相加后 的和为
38795
，
请小高猜猜
这
2
个数的差可能是
：
A
83
B
642
C
3456
D
12468
，
小高想了很久还是愁眉不展，你能帮帮他吗
？
例题
1
（
1
）
1
2
3
4
L
2012
的和是奇数还是偶数？< br>
（
2
）
在
1
、
2
、
3< br>、
…、
2013
的每一个数前，
添上加号或减号，
请问：能否找到一种添法，
使得算式结果为
0
？
「分析」
加 减法结果的奇偶性取决于算式中奇数的个数，你能计算出算式中有多
少个奇数吗？
练习
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
L
2011
2012
201 3
的结果是奇数还是偶数？
例题
2
（1
）
1
2
2
3
3
4
L
99
100
的结果是奇数还是偶数？
（
2
）
1
3
3
5
L
99
101< br>的结果是奇数还是偶数？
「分析」
（
1
）中每个乘积是奇数 还是偶数？（
2
）中乘积都是奇数，那么到底是多
少个奇数相加呢？
练习
2
1
3
3
5
5
7
L
2011
2013
的结果是奇数还是偶数？
构造论 证是一类很有意思的问题，
它或者要求你设计一种巧妙的处理问题的方案，
或者
希望你 帮忙说明一些事情的道理．
事实上，设计方案就是构造．在所有的问题中，如果能够构造出一 种合适的方案，
那问
题就解决了，
但如果不能构造出，
那就需要说明为什么不 能构造，
而这个叙述的过程就叫做
论证．
论证的方法有很多，今天主要是利用奇偶性分析来说明问题．
例题
3
一次宴会上，客人们相互握手，
每两人之间都握一次手，
请 问：所有人握手次数之和是
奇数还是偶数？握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？
「分析」
大家好好思考一下：所有人握手次数之和是否等于总的握手次数呢？
练习
3
高思杯足球赛施行单循环赛，赛制规定：
每场比赛胜者得
2
分，负者得
0
分，平局各得
1
分．比赛结束后，所有队的 得分总和是奇数还是偶数？
接下来我们看构造论证模块中一类非常经典的翻硬币问题．
例题
4
桌上放有
5
枚硬币，
第一次翻动
1
枚，第二次翻动
2
枚，
第三次翻动
3
枚，第四次翻动
4< br>枚，第五次翻动
5
枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都翻过
来？如果桌上有
6
枚硬币，按类似的方法翻动
6
次，能否使得所有的 硬币都翻过来？
「分析」
要想让一枚硬币翻过来，我们需要翻动几次？要想让
5
枚硬币都翻
过来，那么我们要翻动的总次数应该是什么样的？
练习
4
桌上放有
6
枚正面朝下的硬币，第一次翻动其中的
5
枚，第二次翻动其中的
4
枚，第
三次翻动其中的
3
枚，第 四次翻动
2
枚，
第五次翻动
1
枚．请问：
能否恰当地选择每 次翻动
的硬币，使得最后桌上所有的硬币正面都朝上？
在构造论证中的
“证明不可能”即
“论证”
环节，往往会用到
“反证法”
，
即先假设
“可
以”
，再进过推理得出矛盾，说明“假设不成立”< br>．
例题
5
（
1
）有
2013
个自然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？
（
2
）有
2012
个自然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？
「分析」
（
1
）
2013
个数的和是偶数，那么关于这些加数，你能得出什么 结论呢？（
2
）
2012
个什么样的自然数的和会是奇数呢？