(完整word版)数列中奇数项、偶数项求和练习(含答案),推荐文档
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2021年01月29日 08:09
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六一作文-心里美滋滋的
张新数列求和
一．解答题（共
7
小题）
1
．已知数列
{
a
n
}
满足奇数项
a
1
，
a
3
，
成等比数列
{
a
2
n
1
}(
n
N
)
，而偶数项
a
2
，
a
4
，
a
6
，
成等差数列
{
a
2
n
}(
n
N
)
，且
a
1
2
，
a
2
1
，
a
2
a
4
a
3
，
a
4
a
6
a
5
，数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
．
（Ⅰ）求
a
n
；
b< br>n
S
2
n
，试求
b
n
的最大值．
（Ⅱ）当
a
1
a
3
时，若
2
n
g
2
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，
S
n
a
n
1
1
，在数列
{
b
n
}
中，
b
1
1
，且
b
n
b
n
1
3
n
1
．
（
1
）求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
（
2
）求数列
{
a
n
g
bn
}
前
2
n
项中所有奇数项的和
T
n
．
3
．
已知数列
{
a
n
}
的奇 数项依次成公比为
2
的等比数列，
偶数项依次成公差为
4
的等差数列 ，
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
6
2
S
3
，
a
2
a
3
a
5
．
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（ Ⅱ）令
b
n
1
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
a
na
n
2
4
．正项数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，奇数项
a
1
，
a
3
，
a
5
，
，
a
2
k
1
，
构成公差为
d
的等差数列，
偶数项
a
2
，
a
4
，
a
6
，
，
a
2
k
，
构成公比
q
2
的等比数列，且
a
1
，
a
2
，
a
3
成等比数
列，
a
4
，
a
5
，
a
7
成等差数列．
（
1
）求
a
2
和
d
；
（
2
）求数列
{
a
n
}
的前
2
n
项和
S
2
n
．
5
．已知正项数列
{
a
n
}
的奇数项
a
1
，
a
3
，
a
5
，
a
2
k
1
，
构成首项
a
1
1
等差数列，偶数项
构成公比
q
2
的等比数列，且
a
1
，< br>a
2
，
a
3
成等比数列，
a
4
，< br>a
5
，
a
7
成等差数列．
第
1
页（共
10
页）
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（ Ⅱ）求数列
{
a
n
}
的前
2
n
项和
S
2
n
．
1
a
n
n
n
为奇数
2
< br>
a
n
2
n
n
为偶数
6
．已知数列
{
a
n
}
满足：
a
1
1
，
a
n
1
（
1
）求
a
2
，
a
3
，
a
4，
a
5
；
（
2
）设
b
n< br>
a
2
n
1
4
n
< br>2
，
n
N
*
，求证：数列
{
b< br>n
}
是等比数列，并求其通项公式；
（
3
）求数列
{
a
n
}
前
100
项中的所有奇数项的和
S
．
7
．已知数列
{
a
n
}
满 足
a
1
3
，
a
n
a
n
1
4
n
(
n
…
2)
（Ⅰ）求证：数列
{
a
n
}
的奇数项，偶数项均构成等 差数列；
（Ⅱ）求
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅲ） 设
b
n
1
，求数列
{
b
n
}< br>的前
n
项和
S
n
．
a
n
a
n
1
第
2
页（共
10
页）
张新数列求和
参考答案与试题解析
一．解答题（共
7
小题）
1
．已知数列
{
a
n
}
满足奇数项
a
1
，
a
3
，
成等比数列
{
a
2
n
1
} (
n
N
)
，而偶数项
a
2
，
a
4
，
a
6
，
成等差数列
{< br>a
2
n
}(
n
N
)
，且
a
1
2
，
a
2
1
，
a
2
a
4
a
3
，
a
4
a
6
a
5
，数列
{
an
}
的前
n
项和为
S
n
．
（Ⅰ）求
a
n
；
b
n
S2
n
，试求
b
n
的最大值．
（Ⅱ）当
a
1
a
3
时，若
2
n
g
【分 析】
（Ⅰ）
设等比数列
{
a
2
n
1}
的公比为
q
，
等差数列
{
a
2
n< br>}
的公差为
d
，
由已知列关于
q
与
d
的方程组，求解可得
q
与
d
的值，然后分类求解数列的通项公式．
n
1
2
（Ⅱ）当
a
1
a
3
时，由（Ⅰ）得，为
a
n
2
,
n
为奇数
，求得
S
2
n
，进一步求得
b
n
，再由作
n
1,
n< br>为偶数
差法及数列的函数特性求
b
n
的最大值．
【 解答】
解：
（Ⅰ）设等比数列
{
a
2
n
1
}
的公比为
q
，等差数列
{
a
2
n}
的公差为
d
，
1
(1
d
)
2
q
由
a
2
a
4
a
3
，
a
4
a
6
a
5
，得
，
2
(1< br>
d
)
(1
2
d
)
2
q
q
1
q
2
解得
或
．
d
0
d
2
n
1
q
2
①
当
时，
a
2
n
1
2
2
，
a
2
n
2
n
1
，
d
2
n
1
2
即数列的通项公式为
a
n
2
,
n
为奇数
；
n
1,
n
为偶数
q
1
②
当
时，
a
2
n
1
2
，
a
2
n
1
，
d
0
2,
n
为奇数
即数列的通项公 式为
a
n
．
1,
n
为偶数
第
3
页（共
10
页）
< br>n
1
2
（Ⅱ）当
a
1
a
3
时，由（Ⅰ）得，为
a
n
2
,
n
为奇数
，
n
1,
n
为偶数
S
2
n
n
2
2
n
1
2
S
2
n
S
奇
S
偶
n
2
2
，
b
n
n
．
2
2
n
(
n
1)
2
2
n
2
2
n
2
2
n
1
2
4
(
n
1)
2
．
b
n
1
b
n
2
n
1
2
n
2
n
1
2
n
1
b
1
b
2
b
3
b
4
，
且当
n
…
4
时，
b
n
< br>1
b
n
．
综上所述，
b
n的最大值
b
3
b
4
23
．
8
【点评】
本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前
n
项和 ，考查分类讨论的数学思想方
法，训练了利用数列的函数特性求数列的最值，是中档题．
2
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，
S
n
a
n
1
1
，在数列
{b
n
}
中，
b
1
1
，且
b
n
b
n
1
3
n
1
．
（
1
）求数列
{
a
n}
，
{
b
n
}
的通项公式；
（2
）求数列
{
a
n
g
b
n
}
前
2
n
项中所有奇数项的和
T
n
．
【分 析】
（
1
）根据数列的递推公式即可求出数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式，
（
2
）根据错位相减法即可求出．
【解答】
解：
（
1
）
Q
S
n
a
n
1
1
，
S
n
1
a
n
2
1
，两式相减得
a
n
2
2
a
n
1
，
又
a
1
1
，
a
2
S
2
1
2
，
{
a
n
}
是首项为
1
，公比为
2
的等比数列，
a
n
2
n
1
，
2
，
Q
b
n
b
n
1
3
n
1
，
b
n
b
n
1
3(
n
1)
1
，
n
…
2
，
两式相减得
b
n
1
b
n
1
3
，
n
…
又
b
2
4
b
1
3
，
第
4
页（共
10
页）
< br>{
b
2
n
1
}
是首项为
1
，公差为
3
的等差数列，
b
2
n
1
3
n
2
{
b
2
n
}
是首项为
3
，公差为
3
的等差数列，
b
2
n
1
3
n
，
3
n
1
,
n
为奇数
2
b
n
，
3
n
,n
为偶数
2
(2
（
2
）令
ð
n
a
n
g
b
n
，
{
ð
n
}
前
2
n
项中所有奇数项的和
T
n
．
则
T
n
1
2
0
4
2
2
7
2
4
(3
n
2)
2
2
n< br>
2
，
4
T
n
1
< br>2
2
4
2
4
7
< br>2
6
(3
n
5)
22
n
2
(3
n
2)
2
2
n
，
T
n
1
3(2
2
2
2
2
4
6
2
n
2
4
(1
4
n
1
)
)
(3
n
2)
2
1
3
(3
n
2)
4
n
1
(1
n
)4
n
1
4
2
n
，
T
n
1
(
n
1)4
n
【点评】
本题考查了数列的递 推公式和错位相减法，
考查了运算能力和转化能力，
属于中档
题
3
．
已知数列
{
a
n
}
的奇数项依次成公比为
2
的等比数列，
偶数项依次成公差为
4
的等差数列，
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
6
2
S
3
，
a
2
a
3
a
5
．
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（ Ⅱ）令
b
n
1
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
a
na
n
2
【分析】
(
I
)
设数列{
a
n
}
的奇数项的公比为
q
，偶数项的公差为
d
．由已知
a
6
2
S
3
，
n
1
a
1
1
，可得
n
为奇数时，
a
n
2
2
，
n
为偶数时，
a
2
a
3
a
5
，可得
d
4
，
q
2
，
a
2
2
a
n
2
n
2
．
(
II
)
由
(
I
)知
2
n
,
n
为奇数
b
n
1
1
1
8
n
1
n
1
,
n
为偶数
．
n
为
偶
数
时
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
T
n
(
3
n< br>
1
)
[(1
)
(
)
(
)]
，
n
为
奇数
时
，
2
2
2
8
3
3
5n
1
n
1
第
5
页（共
1 0
页）