奇偶分析法
别妄想泡我
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2021年01月29日 08:12
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第六节
奇偶分析法
内容
讲
解
整数按能否被
2
整除 分
为
奇数和偶数两大
类
，除奇偶数的最基本性
质
以
处
，
•
我
们还应
掌握以下性
质
：①
设a
，
b
为
整数，
则
a
与
a
n
的奇偶性相同：
a+b
，
a-b
的奇偶性相同．②若
m为
整数，
a
为
奇数，
则
m
±
a
的奇偶性与
m
相反．若
m
为
整数，
b
为
偶数，
•
则
m
±
b
的奇偶性与
m
相同．③ 若
m
是整数，
a
为
奇数，
则
ma
的奇偶性 与
m
相同．
例
题
剖析
例
1
下列
每
个算式中，最少有一个奇 数，一个偶数，那
么这
12•
个整数中至少有几个偶
数？
□＋□＝□，□－□＝□，
□×□＝□，□÷□＝□．
分析：由于本
题
所
涉
及的奇数与偶数的和（差）或
积
（商），故可
应
用奇偶数的基本性
质
求
解．
解：根据条件和奇偶数的基本性
质
知，加法和减法中至少有一 个偶数，乘法和除法算式
中至少各有两个偶数，故
这
12
个整数中至少有6
个偶数．
评
注：
在解此
题时
，要注意将和与差，
积
与商并在一起共同研究．
例
2
在
1
，
2
，
3
，…，
2007
，
2008
的
每
一个数前，任意添上一个正 号或
负
号，
•
试
判断它
们
的代数和是奇数
还
是偶数？
分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多
样
，因此不可能一一
尝试
再作解答，但可从
1+2=3
，
2 -1=1
；
3+4=7
，
4-3=1
…．
•
可见
两个整数之与
这
两个整数之差的奇偶性
质
是相同的，
于是我
们
可以从
这
条性
质
入手．
解：因
为
两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在
给
出的 数字前面添上正号
或
负
号不改
变
其奇偶性．而
1+2+…＋
2007+2008=
2008(1
2008)
=100 4
×
2009
为
偶数．
2
所以已知数字作
为变换
后的代数和仍
为
偶数．
评
注：
此
题
通
过对
一些具体的数字 的研究推出一般性
结论
，是由于已知数
为
有限整数．
例
3
已知
x
，
y
是
质
数，
z
是奇
质
数，且
x
（
x+y）
=z+8
，求
y
（
x+z
）的
值
．
分析：此
题
的
关键
是从
x（
x+y
）
=z+8
求出
x
，
y
，< br>z
的
值
．
解：由已知条件和
质< br>数，奇偶数性
质
知：（
z+8
）
为
奇数，
所以
x
和（
x+y
）
•
为
奇数，于是y
为
偶数，又
y
为质
数，故
y=2
．
则
x
，
z
应满
足
x
（< br>x+2
）
=z+8
，即
z=
x
2
+2x-8 =
（
x-2
）（
x+4
）．
由 于
z
是奇
质
数，所以必有
x-2=1
，
x+4=z
，即
x=3
，
z=7
．
故y
（
x+z
）
=2
（
3+7
）
=20
．
评
注：
奇偶分析法在解不定方程方面的
应
用也推广，大家仔
细
体会．
例
4
能否把
1
，
1
，
2，
2
，…，
30
，
30
这
些数排成一行，使得 两个
1
之
间夹
着一个数，两个
2
之
间夹
着 两个数，…，两个
30
之
间夹
着三十个数？
试说
明理由．< br>
分析：我
们
知道
30
对
数共60
个，我
们
可将之分成奇，偶两
类
数加以
讨论
，
•
以便求解．
解：假
设
能按要求排 成一行，于是
60
个数被安排在
60
个位置上，
为
了方便起
见
，
给
他
们
所在的位置依次
编
上号，具体 研究一个个
对
象
较为
困
难
，不妨把所有数分成奇数、偶数两 大
类进
行．
（
1
）先考察偶数，
设
一个偶数
m
，两个
m
之
间
有
m
个数，
这说
明若有一个
m
在奇数位置，
则
另一个
m
必在偶数位置，反之亦然．
于是
15
对
偶数分
别
占据了
15
个
奇数位，
15•
个偶数位；
（
2
）再研究一个奇数
n
，两个奇数
n
之
间夹
着
n
个数．只要一个
n
占据奇数位，
则
另一个
n
也占据着奇数位，即成
对
占据奇数位．
设
有
k
对
奇数占据奇数位，因
60
个位置中有
3 0
个奇数位．
•
于是
这
些奇数位
应
被
15
个
偶数和
2k
个奇数占据，
则
30=15+2k
， 即
2k=15
，
这显
然是不可能成立的，
•
所以不能按要求 排
成一行．
评
注：
此
题
巧妙地利用了奇偶数的基本性
质
解决
问题
，可
见
数的奇偶 性的作用．
例
5
在
6张纸
片的正面分
别
写上整数
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，打乱次序后，将
纸片翻
过
来，在
它
们
的反面也随意分
别
写上1
～
6
这
6
个整数，
•
然后
计
算
每张纸
片正面与反面所写数字之差
的
绝对值
，得出
6< br>个数，
请
你
证
明：所得的
6
个数中至少有两个是相同 的．
分析：从正面入手比
较
困
难
，我< br>们
不妨从反面去思考
，即
设这
6
个数两两都不相等，利用│
a
i
-b
i
│与
a
i
-
b
i
（
i=1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
）的奇偶性相同，引入字母
进
行推理
证
明．
解：
设
6
张
卡片正面写的 数是
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，
a
6
，
反面写的数
对应为
b
1
，
b
2
，
b3
，
b
4
，
b
5
，
b
6，
则这
6
张
卡片
为
│
a
1
-b
1
│，│
a
2
-
b
2
│，│
a
3
-b
3
│，│
a
4
-b
4< br>│，│
a
5
-
b
5
│，│
a
6-b
6
│．
设这
6
个数两两都不相等，
则< br>它
们
只能取
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这
6
个
值
，
于是│
a
1
-b
1
│
+
│
a2
-b
2
│
+
│
a
3
-b
3
│
+
│
a
4
-•b
4
│
+
│
a
5
-b
5
│
+
│
a
6-b
6
│
=0+1+2+3+4+5=15
是个奇数
另一方面，│
a
i
-b
i
│与
a
i
-b
i
（
i=1
，
2
，…，
6
）的奇偶 性相同，