高中数学解题方法系列：数列中分奇偶数项求和问题的策略
绝世美人儿
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2021年01月29日 08:17
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高中数学解题方法系列：数列中分奇偶数项求和问题的策略
数列求和问题中有一类较 复杂的求和
,
要对正整数
n
进行分奇数和偶数情形的讨
论
,
举例说明如下：
一、相邻两项符号相异；
例
1
：求和：
n
1
S
n
…
（
-1
）
（
4
n-3
）
n
N
n
4
n
2
解：当
n
为偶数时：
S
n
1
5
9
13
< br>
n
n
当
n
为奇数时：
S
n
1
5
9
13
n
n
（
4
n
-3）
二、相邻两项之和为常数；
例
2
：已知数列{a
n
}
中
a
1
=2
，
a
n
+a
n+1
=1
，
S
n
为
{a
n
}
前
n
项和，求
S
n
解：①当
n
为偶数时：
n
-1
4
（
4
n
-
3
）
n
2
S
n
a
1
a
2
a
3
a
4
…
a
n
1
a
n
(
a
1
a
2
)
(
a
3
a
4
)
…
(
a
n
1
a
n
)
②当
n
为奇数时：
2
n
1
n
3
2
2
n
n
1
2
2
S
n
a
1
(
a
2
a
3
)
(
a
4
a
5
)
…
(
a
n
1
a
n
)
三、相间两项之差为常数；
例3
：已知数列
{a
n
}
中
a
1
=1< br>，
a
2
=4
，
a
n
=a
n-2+2
（
n
≥
3
）
，
S
n
为
{a
n
}
前
n
项和，求
S
n
解：∵
a
n
-
a
n-2
=2
（
n
≥
3
）
∴
a
1
, a
3
,a
5
,
…
,a
2n-1
为等差数列 ；
a
2
,a
4
,a
6
,
…
,a< br>2n
为等差数列
n
1
1)
•
2
n
2
n
当
n
为偶数时：< br>a
n
4
(
1)
•
2
n
2
2
当
n
为奇数时：< br>a
n
1
(
n
即
n< br>∈
N
+
时，
a
n
n
1
(
1)
∴①
n
为奇数时：
S
n
(1
2
3
…
n
)
n
1
n
(
n
1)
2
n
1
2
2