六年级奥数全套专题系列：数论
余年寄山水
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2021年01月29日 08:24
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村工作总结-令人神往的意思
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平方数、奇偶性、位值原理
知识框架
一、
1.
特征
1.
完全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，
7
，
8
。
2.
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.
完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.
若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p
能被
a
整除。
2.
性质
性质1
：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
．
性质
2：完全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，< br>16
除的余数一定是完全平方数．
性质
3
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方数的质 因
数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，
所以，
如果
p
是质数 ，
n
是自然数，
N
是完全平方数，且
p
2
n
1
|
N
，则
p
2
n
|
N．
性质
4
：完全平方数的个位是
6
它的十 位是奇数．
性质
5
：如果一个完全平方数的个位是
0
，则 它后面连续的
0
的个数一定是偶数．如果一
个完全平方数的个位是
5
，
则其十位一定是
2
，
且其百位一定是
0
，
2，
6
中的一个．
性质
6
：如果一个自然数介于两个连 续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.
一些重要的推论
1.
任何偶数的平方一定能被
4
整除；< br>任何奇数的平方被
4
（或
8
）
除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定不是完全平方数。
2.
一个完全平方数被
3
除的余数是
0
或
1.
即 被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。
3.
自然 数的平方末两位只有：
00
，
01
，
21
，
41< br>，
61
，
81
，
04
，
24
，44
，
64
，
84
，
25
，
09，
29
，
49
，
69
，
89
，
16
，
36
，
56
，
76
，
96
。
4.
完全平方数个位数字是奇数（
1
，
5
，
9
）时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数常用性质
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5.
完全平方数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字必为偶数。
6.
完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
7.
凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方 数；
末尾只有奇数个
“0”
的自然数不是完全平方数；个位数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的自然数不
是完全平方数。
4.
重点公式回顾：平方差公式：
a
2
b2
(
a
b
)(
a
b< br>)
二、
奇数和偶数
1.
定义
整数可以分成奇数和偶数两大类
.
能被
2
整 除的数叫做偶数，
不能被
2
整除的数叫
做奇数。通常偶数可以用
2< br>k
（
k
为整数）表示，奇数则可以用
2
k
+1
（
k
为整数）表示。
特别注意，因为
0
能被
2
整 除，所以
0
是偶数。
2.
奇数与偶数的运算性质
性质
1
：偶数
±
偶数=
偶数，奇数
±
奇数
=
偶数
性质
2
：偶数
±
奇数
=
奇数
性质
3
：偶数个奇数的和或差是偶数
性质
4
：奇数个奇数的和或差是奇数
性质
5
：偶 数
×
奇数
=
偶数，奇数
×
奇数
=
奇数，偶 数
×
偶数
=
偶数
3.
两个实用的推论
推论
1
：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性， 奇数改变运算结果的奇偶性。
推论
2
：对于任意
2
个整数
a
,
b
,
有
a
+
b
与
a
-
b
同奇或同偶
三、
位值原理
< br>当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，
只用我们的手指 头，
那么到了
“
十
”
这个数，我们就无法数下去了，
即使象 古代墨西哥尤
里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，
只不过能数二十。
我们显然知道，
数是可以无穷无尽地
写下去的，
因此，
我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来 ，
抽象地研究如何表示
它们，
如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，
记数 时，同一个数字由于所在位置的
不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一 个
“
位置值
”
。
例如，
用符号
555
表示 五百五十五时，
这三个数字具有相同的数值五，
但由于位置不同，
因此具有不同的位置 值。
最右边的五表示五个一，
最左边的五表示五个百，
中间的五表
示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，
现在就将解位值的三大法宝
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给同学们。希望同学们在做题中认真体会。
a)
位值原理的定义：
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不 同。也就是说，
每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个
“
位置值
”。例如
“2”,
写在个位上，就表示
2
个一，写在百位上，就表示
2
个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写
数的位值原理。
b)
位值原理的表达形式：
以六位数为例：
abcde f
a
×
100000+
b
×
10000+
c
×
1000+
d
×
100+
e
×
10 +
f
。
c)
解位值一共有三大法宝：
（
1
）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（
2
）利用十进制的展开形式，列等式解答
（
3
）把整个数字整体的考虑设为
x
，列方程解答
重难点
本讲知识点属于数论大板块内的
“
定性分析”
部分，
小学生的数学思维模式大多为
“
纯
粹的定量计算，拿到 一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为
0
，本
讲力求实现的一个主 要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有
时要
“
先看能不能这 么做，
再去动手做
”
的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，
但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
例题精讲
【例
1
】
已知：
21×
49
是一个完全平方数，求它是谁的平方
?
【
巩
固
】
21
(1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1)
是
的平方．
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【例
2
】
1016
与正整数
a
的乘积 是一个完全平方数，则
a
的最小值是
________
．
【
巩
固
】
已
知
3528
a恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是
。
【例
3
】
已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是
。
【
巩
固
】
考
虑下列
32个数：
1!
，
2!
，
3!
，
……
，< br>32!
，请你去掉其中的一个数，使得其余
各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数 是
.
【例
4
】
有
5
个连续自 然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个
数中最小数的最小值为
．
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【
巩
固
】
用
1
～
9
这
9
个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一
个四位完全平方 数．那么，其中的四位完全平方数最小是
．
【例
5
】
计算
111
A
，求
A
．
1
2
L
3
1
－
222
1
4
2
L
4
3
2
=
A
×
2004
个
1
1002
个
2
2
【
巩
固
】
①
444
1
4
2
L
4
3
4888
1
4
2
L
4
3
89
A
，求
A
为多少
?
2004
个
4
2003
个
8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为
2005
？
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【例
6
】
求 一个最小的自然数，它乘以
2
后是完全平方数，乘以
3
后是完全立方数，乘以
5
后是
5
次方数．
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【
巩
固
】
一
个数的完全平方有
39
个约数，求该数的约数个数是多少？
【例
7
】
一个自然数分别与另外两个相邻 奇数相乘，所得的两个积相差
150
，那么这个数
是多少？
【
巩
固
】
一
个偶数分别与其相邻的两 个偶数相乘，所得的两个乘积相差
80
，那么这三个偶
数的和是多少？
【例
8
】
能否在下式的
“□”
内填 入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说
明理由。
（
1
）
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9
＝
10
（
2
）
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9
＝
27
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【
巩
固
】
是
否存在自然数
a
、
b
、
c
，使得
(
a
-
b
)(b
-
c
)(
a
-
c
)=45327
？
【例
9
】
有一批文章共
15
篇，各篇文章的页数是
1
页、
2
页、
3
页、
L
L
、
14
页和
15
页
的稿纸，如果将这 些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章
的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？
【
巩
固
】
一
本 故事书共有
30
个故事，每个故事分别占
1
、
2
、
3
、
…
、
30
页（未必按这个顺
序）
。第一个故事 从第
1
页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有
_____
个故
事是从奇数页开始的。
【例
10
】
能否将
1~16
这
16
个自然数填入
4
4< br>的方格表中（每个小方格只填一个数）
，使
得各行之和及各列之和恰好是
8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；
如果不能填，请说明理由．
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【
巩
固
】
有8
个棱长是
1
的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字
1
，
第二组相对的面上都写着数字
2
，
第三 组相对的面上都写着数字
3(
如
图
)
．现在把这
8
个小正方体拼成一个棱长是
2
的大正方体
.
。问：是否有一种拼合
方 式，使得大正方体每一个面上的
4
个数字之和恰好组成
6
个连续的自然数?
D
C
A
B
H
G
2< br>3
1
2
1
3
E
F
【例
11
】
甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后 一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与
乙、丙的位置共交换了
9
次，则比赛的结果甲是 第
名．
【
巩
固
】
甲
、乙两个哲人将正整数
5
至
11
分别写在
7
张卡 片上．他们将卡片背面朝上，任
意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看 ，就放
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到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：< br>“
我知道你的两
张卡片上的数的和是偶数．
”
试问：甲手中的三张卡片 上都写了哪些数？答案是否
唯一．
【例
12
】
在黑板上写（
2
，
2
，
2
）三个数，把其中的一个
2
抹掉后，改写成其余两数的和
减
1
，得 （
2
，
2
，
3
）
，再把两个
2
中 的一个
2
抹掉后，写成其余两数的和减
1
，
得（
2
，
4
，
3
）
，再把
2
抹掉后写其余两数的和减1
，得（
6
，
4
，
3
）
，继续这一过
程，是否能得到（
859
，
263
，
597
）？< br>
【
巩
固
】
有< br>大、小两个盒子，其中大盒内装
1001
枚白棋和
1000
枚同样大小 的黑棋子，小
盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋
子 同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中
白棋子放回大盒内．问：从 大盒内摸了
1999
次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它
们都是什么颜色？
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【例
1
】
把一个数的数 字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如
89
的逆序数
为
98．如果一个两位数等于其逆序数与
1
的平均数，这个两位数是
________< br>．
【
巩
固
】
几< br>百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和
等于
16< br>，如果十位数字加
1
，则十位数字恰等于个位数字的
5
倍，那么哥伦布 发
现美洲新大陆是在公元
___________
年。
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【例
2
】
一个十位数字是
0
的三位数，等于它的各位数字之和的
67
倍，交换这个三位数
的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的
倍。
【
巩
固
】
有
三个数字能组成
6
个不同的三位数，这
6
个三位数的和是
2886
，求所有这样的< br>6
个三位数中最小的三位数的最小值．
【例
3
】
把
7
位数
2
ABC DEF
变成
7
位数
ABCDEF
2
，
已知新
7
位数比原
7
位数大
3591333
，
聪明的宝贝来求求 ：
（
1
）原
7
位数是几，
（
2
）如果把汉 语拼音字母顺序编为
1
～
26
号，且以所求得原
7
位数的前 四个数字组成的两个两位数
2
A
和
BC
所对应的
拼音字母拼 成一个汉字，
再以后三个数字
D
，
E
，
F
分别对应 的拼音字母拼成另一
个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。
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【
巩
固
】
设
六位数
abcdef
满足
fabcde
f
abcde f
，请写出这样的六位数．
课堂检测
【随练
1
】
A
是由
2002
个
“4”
组成的多位数，即
444
1
4
2
L
4
3
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？如
200 2
个
4
果是，写出
B
；如果不是，请说明理由．
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【随练
2
】
写
出从
360
到
630
的自然数中有奇数个约数的数．
【随练
3
】
沿
着河岸长着
8< br>丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差
1
个．问：
8
丛植
物上能否一共结有
225
个浆果
?
说明理由．
【随练
4
】
在
“
8
8
”
的方格中放棋子，每格至多放
1
枚棋子．若要求
8
行、
8
列、
30
条斜线
（如图所示）
上的棋子数均为偶数．
那么
“
8
8
”
的方格中最多可以放多少枚棋子？
第
11
题
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【随练
5
】
有
3
个不同的数字，用它们组成
6
个不同的三位数，如果这
6
个三位数的 和是
1554
，那么这
3
个数字分别是多少？
家庭作业
【作业
1
】
下
面是一个算式：
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
，
这个算式的得数能否是某个数的平方？
【作业
2
】
有
一个正整数的平方， 它的最后三位数字相同但不为
0
，试求满足上述条件的最
小的正整数．
【作业
3
】
各
位数字互不相同且各位数字的平方和等于
49
的四位数共有
________
个．
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【作业
4
】
证
明：形如
11
，
111
，
1111
，
11111
，
…
的数中没有完 全平方数。
【作业
5
】
一
个偶数的数字和是
40,
这个偶数最小是
。
【作业
6
】
黑
板上写着两个数
1
和2
，按下列规则增写新数，若黑板有两个数
a
和
b
，则增
写
a
×
b
＋
a
＋
b
这个数，比如可增写
5
（因为
1×
2
＋
1
＋
2
＝5
）增写
11
（因为
1×
5
＋
1
＋< br>5
＝
11
）
，一直写下去，问能否得到
2008
，若 不能，说明理由，若能则说出最少
需要写几次得到？
【作业
7
】
四
年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共
50
道，评分标准是：答对一道给
3
分，不答给
1
分，答错 倒扣
1
分．请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数．
【作业
8
】
xy
，
zw
各表示一个两位 数，若
xy
+
zw
=139
，则
x+y+z+w=
。
【作业
9
】
把
一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来
的两位数和交换后的新的 两位数的差是
45
，试求这样的两位数中最大的是多少？
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【作业
10
】
如果把数码
5
加写在某自然数的右端，
则该数增加
A
1111
，
这里
A
表示一个看
不清的数码，求这个数和
A
。
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余数问题
知识框架
【
巩
固
】
带余除法的定义及性质
定义：
【例
4
】
一般地，
如果a
是整数，
b
是整数
（
b
≠0
）
,< br>若有
a
÷
b
=
q
……
r
，
也就是
a
＝
b
×
q
＋
r
,0≤
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)
当
r
0
时：我们称
a
可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
( 2)
当
r
0
时：我们称
a
不可以被
b< br>整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商一个完
美的带余除法讲解模型
:
如图
这是一堆书，
共有a
本，
这个
a
就可以理解为被除数，
现在要求按照
b< br>本一捆打包，
那么
b
就是除数的角色，经过打包后共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是余数 。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中
4
个量的关系。
并 且可以看出余数一定要
比除数小。
【例
5
】
余数的性质
⑴
被除数
除数
商
余数；除数
（被除数
余数）
商；商
（被除数
余数）
除数；
⑵
余数小于除数．
【
巩
固
】
三大余数定理：
1.
余数的加法定理
a与
b
的和除以
c
的余数，
等于
a
,
b
分别除以
c
的余数之和，
或这个和除以
c
的余
优质 文档
数。
例如：
23
，
16
除以5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23+16
＝< br>39
除以
5
的余数等于
4
，
即两个余数的和
3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，
所以
23+19
＝
42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数为
2
2.
余数的加法定理
a
与
b
的差除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数 之差。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数 分别是
3
和
1
，所以
23
－
16
＝
7
除以
5
的余数等于
2
，
两个余数差
3
－
1
＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
< br>例如：
23
，
14
除以
5
的余数分别是
3< br>和
4
，
23
－
14
＝
9
除以
5
的余数等于
4
，
两个余数差为
3
＋
5
－
4
＝
4
3.
余数的乘法定理
a< br>与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
,
b分别除以
c
的余数的积，或者这个积除
以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23×
16
除以
5
的余数 等于
3×
1
＝
3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23×
19
除以
5
的余数等于
3×
4
除以
5
的余数，即
2.
乘方：如果
a< br>与
b
除以
m
的余数相同，那么
a
n
与
b
n
除以
m
的余数也相同．
【
巩
固
】
弃九法原理
在公元前
9
世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》
，他
们在计算时 通常是在一个铺有沙子的土板上进行，
由于害怕以前的计算结果丢失而经常
检验加法运算是否正 确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
1234
1 898
18922
678967
178902
889923
1234
除以
9
的余数为
1
1898
除以
9
的余数为
8
18922
除以
9
的余数为
4
678967
除以
9
的余数为
7
178902
除以
9
的余数为
0
这些余数的和除以
9
的余数为
2
而等式右边和除以
9的余数为
3
，那么上面这个算式一定是错的。
优质文档
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，
即如果这个等式是
正确的，
那么左边几个加数除以
9
的余数的和再除以
9
的余数一定与等式右边 和除以
9
的余数相同。
而我们在求一个自然数除以
9
所得 的余数时，
常常不用去列除法竖式进行计算，
只
要计算这个自然数的各个位数字之和除 以
9
的余数就可以了，
在算的时候往往就是一个
9
一个
9< br>的找并且划去，所
以这种方法被称作
“
弃九法
”
。
所以我们总结出 弃九法原理：任何一个整数模
9
同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求 一个整数被
9
除的余数，
只要先计算这个整数各数位上数字之和，
再求这个< br>和被
9
除的余数即可。
利用十进制的这个特性，
不仅可以检 验几个数相加，
对于检验相乘、
相除和乘方的
结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如： 检验算式
9+9=9
时，等式两边的除以
9
的余数都是
0
， 但是显然算式是错误
的。
但是反过来，
如果一个算式一定是正确的，
那么它的等式
2
两端一定满足弃九法的
规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较 复杂的算式谜问题。
【
巩
固
】
同余定理
4.
定义：
若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数，那么称
a
、b
对于模
m
同余，用式
子表示为：
a
≡
b (
mod
m
)
，左边的式子叫做同余式。同余式读作：
a
同余于
b
，模
m
。
5.
重要性质及推论：
（
1
）若两个数
a
，
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则
a
，
b
的差 一定能被
m
整
除
例如：
17
与
11除以
3
的余数都是
2
，所以
能被
3
整除．
（
17
11
）
（
2
）
用 式子表示为：
如果有
a
≡
b
(
mod
m
)
，
那么一定有
a
－
b
＝
m k
,
k
是整数，
即
m
|(
a
－
b
)
6.
余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，
虽然可以用长除法去求得余数，
但当被除位数较
多时，计算是很麻烦的．建立余数判别 法的基本思想是：为了求出
“
N
被
m
除的余数
”
，
我们希望找到一个较简单的数
R
，使得：
N
与
R
对 于除数
m
同余．由于
R
是一个较简
单的数，所以可以通过计算
R
被
m
除的余数来求得
N
被
m
除的余数．
1)
整数
N
被
2
或
5
除的 余数等于
N
的个位数被
2
或
5
除的余数；
2)
整数
N
被
4
或
25
除的余 数等于
N
的末两位数被
4
或
25
除的余数；
3)
整数
N
被
8
或
125
除的 余数等于
N
的末三位数被
8
或
125
除的余数；
优质文档
4)
整数
N
被
3
或
9
除的余数等于其各位数字之和被
3
或
9
除的余数；
5)
整数
N
被
11
除的余数等于
N
的奇数位数之和与偶数位数之和的差被
11
除的
余数；
（不够减的话 先适当
加
11
的倍数再减）
；
6)
整数
N
被
7
，
11
或
13
除的余 数等于先将整数
N
从个位起从右往左每三位分一
节，奇数节的数之和与偶数节的数之和 的差被
7
，
11
或
13
除的余数就是原数被
7，
11
或
13
除的余数．
重难点
理解余数性质时，
要与整除性联系起来，
从被除 数中减掉余数，
那么所得到的差就能够
被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，
不便于我们计算，去掉余数，回到我们
比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了
例题精讲
【例
1
】
1013
除以一个两位数，余数是
12
．求出符合条件的所有的两位数．
【
巩
固
】
一
个两位 数除
310
，余数是
37
，求这样的两位数。
【例
2
】
有一个三位数，
其中个位上的数是百位上的数 的
3
倍。
且这个三位数除以
5
余
4
，
除以
11
余
3
。这个三位数是
_
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【
巩
固
】
一个自然数，除以
11
时所得到的商和余数是相等的，除以
9
时所得到的商 是余数
的
3
倍，这个自然数是
_________.
【例
3
】
甲、乙两数的和是
1088
，甲数除 以乙数商
11
余
32
，求甲、乙两数．
【
巩
固
】
当
1991
和
176 9
除以某个自然数
n
，余数分别为
2
和
1
．那么，
n
最小是多少？
【例
1
】
222
1
4
2
L
4
32
除以
13
所得余数是
_____.
2000
个
777
77
除以
41
的余数是多少？
【
巩
固
】
14
2
43
1996
个
7
优质文档
【例
4
】
著名的斐波那契数列是这样的：
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、
21……
这串数列当中第
2008
个数除 以
3
所得的余数为多少？
【
巩
固
】
有
一列数：
1
，3
，
9
，
25
，
69
，
189
，
517
，
…
其中第一个数是
1
，第二个数是
3
，从
第三个数起，
每个数恰好是前面两个数之和的
2
倍再加上
1
，
那么这列数中的第
2008
个数除以
6
，得到的余数 是
．
【例
5
】
将从
1
开始的到
103
的连续奇数依次写成一个多位数：
A
＝
171921……9799101103
。
则数
a
共有
_____
位，
数
a
除以
9
的余数是
___
。
优质文档
【
巩
固
】
将
111213......
依次写到第
1997
个数字，组成一个
1 997
位数，那么此
数除以
9
的余数是
________
．
【例
6
】
有一个整数，用它去除
70
，
110
，160
所得到的
3
个余数之和是
50
，那么这个整
数是
______
．
【
巩
固
】
用自然数
n
去除< br>63
，
91
，
129
得到的三个余数之和为
25，那么
n
=________
．
【例
7
】
在图表的第二行中，
恰好填上
89< br>～
98
这十个数，
使得每一竖列上下两个因数的乘
积除以
11
所得的余数都是
3
．
优质文档
【
巩
固
】
求
4 78
296
351
除以
17
的余数．
【例
8
】
求
1~
200 8
的所有自然数中，有多少个整数
a
使
2
a
与
a< br>2
被
7
除余数相同？
【
巩
固
】
今
天是星期四，
10
1000
天之后将是星期几？
优质文档
【例
9
】
2
2008
2008
2
除以
7
的余数是多少？
【
巩
固
】
31
30
30
31
被
13
除所得的余数是多少？
【例
10
】
3
个三位 数乘积的算式
abc
bca
cab
2342 35286
(
其中
a
b
c
)
，
在校对时，
发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位
6
是正确的 ，问原式中的
abc
是多少？
优质文档
【
巩
固
】
有
2
个 三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是
1031
，第一个数各个位的数
字之和是
10
，第二个数的各个位数字之和是
8
，求两个三位数的和。
【例
11
】
某
个两位 数加上
3
后被
3
除余
1
，加上
4
后被4
除余
1
，加上
5
后被
5
除余
1，这
个两位数是
______.
【
巩
固
】
有
一个自然数， 除
345
和
543
所得的余数相同，且商相差
33
．求这个 数是多少？
优质文档
【例
12
】
有
一个大于
1
的整数，除
45,59,1 01
所得的余数相同，求这个数
.
【
巩
固
】
有
一个整数，除
300
、
262
、
205
得到相同的余数。问这个整数是几
?
【例
13
】
一个自然数除
429
、
7 91
、
500
所得的余数分别是
a
5
、
2
a
、
a
，求这个自然数和
a
的值
.
【
巩
固
】
有
3
个吉利数
888
，
518
，
666< br>，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为
a
,
a
+7,a
+10,
则这个自然数是
_____.
优质文档
【例
14
】
一
个大于
10
的自然数，除以
5
余
3
，除以
7
余
1
，除以
9
余
8
，那么满足条件的
自然数最小 为多少？
【
巩
固
】
一< br>个大于
10
的数，除以
3
余
1
，除以
5余
2
，除以
11
余
7
，问满足条件的最小自
然 数是多少？
课堂检测
【随练
1
】
3782
除以某个整数后所得的商恰好是余数 的
21
倍，那么除数最小可能是
-
。
6666
66
7
的余数是多少？
【随练
2
】
1
4
2
L
43
1995
个
6
优质文档
【随练
3
】
有
一列数排成一行，其中第一个数是
3
，第二个数是
10
，从第三个数开始，每个
数恰好是前两个数的和，那么第
1997
个数被
3
除所得的余数是多少？
【随练
4
】
商
店里有六箱货物，分别重
15，
16
，
18
，
19
，
20
，
31
千克，两个顾客买走了其
中的五箱．
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的
2
倍，
那么商店剩下的一箱
货物重量是
________
千 克．
【随练
5
】
求
3
1997
的最后两位数．
优质文档
家庭作业
【作业
1
】
在
大于
2009
的自然数中 ，被
57
除后，商与余数相等的数共有
______
个
.
【作业
2
】
有
三个自然数
a
，
b
，
c
，已知
b
除以
a
，得 商
3
余
3
；
c
除以
a
，得商
9< br>余
11
。
则
c
除以
b
，得到的余数是
。
【作业
3
】
有
两个自然数相除，
商是
1 7
，
余数是
13
，
已知被除数、
除数、
商与余数之 和为
2113
，
则被除数是多少？
优质文档
L
4
2008
【作业
4
】
已
知
a
20082008
1
4
4
4
2
4
4
3
，问：
a
除以
13
所得的余数是多少？< br>
2008
个
2008
【作业
5
】
有
48
本书分给两组小朋友，已知第 二组比第一组多
5
人．如果把书全部分给第
一组，那么每人
4
本，有 剩余；每人
5
本，书不够．如果把书全分给第二组，那么
每人
3
本， 有剩余；每人
4
本，书不够．问：第二组有多少人
?
【作业
6
】
六
张卡片上分别标上
1193
、
1258
、
1842
、
1866
、
1912< br>、
2494
六个数，甲取
3
张，
乙取
2
张，
丙取
1
张，
结果发现甲、
乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—
个人
的
2
倍，则丙手中卡片上的数是
________
．
(
第五届小数报数学竞赛初赛
)
【作业
7
】
求
2461
135
6047
11
的余数．
优质文档
【作业
8
】
1
1
2
2
3
3
4
4
L
L
2005
2005
除以
10
所得的 余数为多少？
【作业
9
】
设2009
2009
的各位数字之和为
A
，
A
的各位数字 之和为
B
，
B
的各位数字之和为
C
，
C
的 各位数字之和为
D
，那么
D
【作业
10
】
在除
13511
，13903
及
14589
时能剩下相同余数的最大整数是
_______ __
．
优质文档
数的整除
知识框架
【作业
11
】
整除的定义：
当两个整数
a< br>和
b
（
b≠0
）
，
a
被
b
除的余数为零时（商为整数）
，则称
a
被
b
整除或
b
整
除
a
，也把
a
叫做
b
的倍数，
b叫
a
的约数，记作
b|a
，如果
a
被
b
除所得的余数不为零，则
称
a
不能被
b
整除，或
b
不整除
a
，记作
b a.
【作业
12
】
常见数字的整除判定方法
1.
一个数的末位能被
2
或
5
整除，这个数就能 被
2
或
5
整除；
一个数的末两位能被
4
或
25
整除，这个数就能被
4
或
25
整除；
一个数的末三位能被
8
或
125
整除，这个数就能被
8
或
125
整除；
2.
一个位数数字和能被
3
整除，这个数就能被
3
整除；
一个数各位数数字和能被
9
整除，这个数就能被
9
整除；
3.
如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被
1 1
整除，那么这
个数能被
11
整除；
4.
如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被
7
、
11
或
13
整除，那么
这个数能被
7
、
11
或
1 3
整除；
5.
如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的 所有数之和是
9
的倍数，
那么这个数
能被
9
整除；
6.
如果一个数能被
99
整除，这个数从后两位开始两位一截所得 的所有数（如果有偶数位
则拆出的数都有两个数字，
如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数 字还有一个是一
位数）的和是
99
的倍数，这个数一定是
99
的倍数 。
7.
若一个整数的个位数字截去，
再从余下的数中，
减去个位数的
2
倍，
如果差是
7
的倍数，
则原数能被
7
整除。
如果差太大或心算不易看出是否
7
的倍数，
就需要继续上 述
「截尾、
倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断
133是否
7
的倍数的过
程如下：
13
－
3×
2＝
7
，所以
133
是
7
的倍数；又例如判断
6 139
是否
7
的倍数的过程如
下：
613
－
9×< br>2
＝
595
，
59
－
5×
2< br>＝
49
，所以
6139
是
7
的倍数，余类推。
8.
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的
4倍，如果和是
13
的倍数，
优质文档
则原数能被< br>13
整除。如果和太大或心算不易看出是否
13
的倍数，就需要继续上述「截< br>尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
9.
若一 个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的
5
倍，如果差是
17
的倍
数，则原数能被
17
整除。如果差太大或心算不易看出是否
17
的倍数，就需要继续上述
「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
10.
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的
2倍，如果和是
19
的倍
数，则原数能被
19
整除。如果和太大或 心算不易看出是否
19
的倍数，就需要继续上述
「截尾、倍大、相加、验差」的过程， 直到能清楚判断为止。
11.
若一个整数的末三位与
3
倍的前面的隔出数的差能被
17
整除，则这个数能被
17
整除。
12.
若一个整数的末三位与
7
倍的前面的隔出数的差能被
19
整除，则这个数能被
19
整除
.
13.
若一个整数的末四位与前面
5
倍的隔出数的差能被
23(
或
29)< br>整除，则这个数能被
23
整
除。
【备注】
（以上规律仅在十进制数中成立
.
）
三、整除性质
性质
1
如果数
a
和数< br>b
都能被数
c
整除，那么它们的和或差也能被
c
整除．即如果
c
︱
a
，
c
︱
b
，那么
c
︱
(
a
±
b
)
．
性质
2
如果数
a
能被数
b
整除，
b
又能被数
c
整除，那么
a
也能被
c
整除．即如 果
b
∣
a
，
c
∣
b
，那么
c
∣
a
．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质
3
如果数
a
能被数
b
与数
c
的积整除，那么
a
也能被b
或
c
整除．即如果
bc
∣
a
，那
么
b
∣
a
，
c
∣
a
．
性质
4
如果数
a
能被数
b
整除，也能被 数
c
整除，且数
b
和数
c
互质，那么
a
一 定能被
b
与
c
的乘积整除．即如果
b
∣
a
，
c
∣
a
，且
(
b
，
c
)=1
，那么
bc
∣
a
．
例如：如果
3
∣
12
，
4
∣
12
，且
(3
，
4)=1
，那么
(3×
4)
∣
12
．
性质
5
如果数
a
能被数
b
整除，那么< br>am
也能被
bm
整除．如果
b
｜
a
，那么
bm
｜
am
（
m
为非
0
整数）< br>；
性质
6
如果数
a
能被数
b< br>整除，
且数
c
能被数
d
整除，那么
ac
也能 被
bd
整除．如果
b
｜
a
，且
d
｜
c
，那么
bd
｜
ac
；
四、其他重要结论
1
、
能被
2
和5
，
4
和
25
，
8
和
125
整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未
三位上。
我们可以概括成一个性质：未
n
位数能被
2
n
(
或
5
n
)
整除的数，
本身必能被
2
n
(
或
5
n< br>)
整除；反过来，末
n
位数不能被
2
n
(
或
5
n
)
整除的数，本身必不能被
2
n
(
或
5
n
)
整除。
优质文档
例如，判断
19 973216
、
91688169
能否能被
16
整除，只需考虑未四 位数能否被
16
（因为
16=
2
4
）整除便可，这样便可以 举一反三，运用自如。
2
、
利用连续整数之积的性质：
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被
2
整 除；
任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是
3
的倍数，所以它们之积一定可
以被
2
整除，也可被
3
整除，所以也可以被
2×
3=6
整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
3
、
一个奇 位数，原序数与反序数的差一定是
99
的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的
差一定 是
9
的倍数。
4
、
7
11
13
1001
；
abc
1001< br>
abcabc
，
abcabc
这样的数一定能被
7
、
11
、
13
整除。
5
、
9 1
13
7
;
133
19
7
;
481
37
13
;
13
9
117
;
37
3
111
;
37
27
999
等等。
重难点
数的整除概念、
性质及整除特征为解决一些整 除问题带来了很大方便，
在实际问题中应
用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记 上面的整除性质，不可似是而非。
例题精讲
【
巩
固
】
975
935
< br>972
□
，要使这个连乘积的最后
4
个数字都是
0
，那么在方框内最小
应填什么数？
【巩固】
从
50
到
100
的这
51
个自然数的乘积的末尾有多少个连 续的
0
？
【
巩
固
】
把若干个自然数
1
、
2
、
3
、
……
连乘 到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰
好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
优质文档
【巩固】
所得到的商再除以
10< br>……
重复这样
201
202
203
< br>L
L
300
的结果除以
10
，
的操作，在 第
____
次除以
10
时，首次出现余数
.
【
巩
固
】
11
个连续两位数的乘积能被
343
整除，
且乘积的末
4
位都是
0
，
那么这11
个数的
平均数是多少？
【巩固】
用
1
～
9
这九个数字组成三个三位数< br>(
每个数字都要用
)
，每个数都是
4
的倍数。
这三个 三位数中最小的一个最大是
。
优质文档
【
巩
固
】
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使
4
□
32
□
是
9
的倍数
.
请随便
填出一种，并检查自己填的是否正确。
【巩固】
一个六位数
2
口口
727
被
3
除余
l
，被
9
除余4
，这个数最小是
。
【
巩
固
】
连续写出从
1
开始 的自然数，写到
2008
时停止，得到一个多位数：
11……20072008
，请说明：这个多位数除以
3
，得到的余数是几？为
什么？
【巩固】
11121314…20082009< br>除以
9
，商的个位数字是
_________
。
【
巩
固
】
1
至
9
这
9
个数字，
按图所示的次序排成一个圆圈．
请你在某两个数字之间剪开，优质文档
分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数
(
例如，在
1
和
7
之间剪开，得到两个
数是
193426857
和< br>758624391
)
．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被
396< br>整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少
?
7
5
8
6
2
4
1
9
3
【巩固】
207
，
2007
，
20007
，
L
等首位是
2
，
个位是
7
，
中间数字 全部是
0
的数字中，
能被
27
整除而不被
81
整除 的最小数是
。
三、
7
、
11
、
13
系列
【
巩
固
】
一个
4
位数，
把它的 千位数字移到右端构成一个新的
4
位数
.
已知这两个
4
位数 的
和是以下
5
个数的一个：①
9865
；②
9866
；③
9867
；④
9868
；⑤
9869.
这两个
4
位
数的和到底是多少
?
【巩固】
8
ab
8
ab
8
ab
8
ab
8
ab
是
77
的倍数，则
ab
最大 为
_________?
优质文档
【
巩
固
】
三位数的百位、十位和个位的数字分别是
5
，
a
和
b
，将它连续重复写
2008
次成为：
5
ab
L
4
L
4
5
3
a b
.
如果此数能被
91
整除，那么这个三位数
5
ab
是多少？
1
ab
4
5
4
2
2009
个
5
ab
【巩固】
称一个两头
（首位与末尾）都是
1
的数为
“
两头蛇数
”
。
一个四位数的< br>“
两头蛇数
”
去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个
“
两 头蛇数
”
的约数。这个
“
两头蛇数
”
是
。
（写出所有可能）
【
巩
固
】
学 生问数学老师的年龄老师说：
“
由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的
和，所 得结果就是我的年龄。
”
老师今年
岁。
优质文档
【巩固】
已知两个三位数
abc
与
def
的和< br>abc
def
能被
37
整除，
试说明：
六 位数
abcdef
也能被
37
整除．
【
巩
固
】
一个
4
位数，
把它的 千位数字移到右端构成一个新的
4
位数
.
再将新的
4
位数的 千
位数字移到右端构成一个更新的四位数，
已知最新的
4
位数与最原先的4
位数的和
是以下
5
个数的一个：①
9865
；②9867
；③
9462
；④
9696
；⑤
9869.< br>这两个
4
位数
的和到底是多少
?
【巩固】
一个六位数各个数字都不相同 ，且这个数字能被
17
整除，则这个数最小是
________
？
5.
在六位数
11
□□
11
中的两个 方框内各填入一个数字，
使此数能被
17
和
19
整除，
那么 方框中的两位数是多少
?
优质文档
【巩固】
将数字
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
各使用一次，组成一个被
667
整除的
6
位数，那么，
这个
6
位数除以
667
的 结果是多少？
【
巩
固
】
若
4
b
2
c
d
32
，试问
abcd
能否被
8
整除
?
请说明理由．
【巩固】
证明
abcde
能被
6< br>整除，那么
2(
a
b
c
d< br>)
e
也能被
6
整除．
优质文档
6.
甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后 四位为
1031
．如果甲
数的数字和为
10
，乙数的数字和为
8
，那么甲乙两数之和是
_________
．
【巩固】
有
5
个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是
12
的倍数，那么这
5
个数
之和的最小值是
________．
7.
某住 宅区有
12
家住户，他们的门牌号分别是
1
，
2
，
…
，
12
．他们的电话号码依
次是
12
个连续的六位自然数 ，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已
知这些电话号码的首位数字都小于
6
，
并且门牌号是
9
的这一家的电话号码也能被
13
整除，问：这一 家的电话号码是什么数？
优质文档
【巩固】
用数字
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
拼成一个十位数。要求前
1
位数能被
2整除，
前
2
位数能被
3
整除，
……
，
前
9
位数能被
10
整除．
已知最高位数为
8
．这
个十位数是
8.
在六位数
ABCDEF
中，不同的字母表示不同的数字，且满足
A
，
AB
，
ABC
，
ABCD
，
ABCDE
，
ABCDEF
依次能被
2
，
3
，
5
，7
，
11
，
13
整除．则
ABCDEF
的最小值是
；已知当
ABCDEF
取得最大值时
C
0
，
F< br>
6
，那么
ABCDEF
的最大值是
________
．
【巩固】
有一个九位数
abcdefghi
的各位数字都不相同且全都不为
0
，并且二位数
ab
可
被
2
整除，三位数
abc
可被
3
整 除，四位数
abcd
可被
4
整除，
……
依此类推，九