70后网名-做家务的作文

2021年1月29日发(作者：善的牧者)

高数部分

第一章

函数与极限




1
、函数的有界性在定义域内有
f(x)≥K1
则函数
f(x)
在定义域上有下界，
K1
为下界；如果有
f(x)≤K2
，则有上界，
K2
称为上界。函数
f(x)
在定
义域内有界 的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。




2
、数

列的极限定理
(
极限的唯一性
)
数列
{xn}
不能同时收敛于两个不同的极限。



< br>定理
(
收敛数列的有界性
)
如果数列
{xn}
收敛， 那么数列

{xn}
一定有界。




如果数列
{xn}
无界，那么数列
{xn}
一定发散；但如果数列
{ xn}
有界，却不能断定数列
{xn}
一定收敛，例如数列

1，
-1
，
1
，
-1
，
(-
1)n+1 …
该数列
有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。




定理
(
收敛数列与其子数列的

关 系
)
如果数列
{xn}
收敛于
a
，那么它的任一子数列也收 敛于
a.
如果数列
{xn}
有两个子数列收敛于不同的极限，那
么数 列
{xn}
是发散的，如数列

1
，
-1
，
1
，
-1
，
(-
1)n+1…
中子数列
{x2k -1}
收敛于
1
，
{xnk}
收敛于
-1
，
{xn}
却是发散的；同时一个发散的数列的子数
列也有可能

是收敛的。




3
、函数的极限函数极限的定 义中
0<|x-x0|
表示
x≠x0
，所以
x→x0
时f(x)
有没有极限与
f(x)
在点
x0
有没

有定义无关。




定理
(
极限的局部 保号性
)
如果
lim(x→x0)
时
f(x)=A
，
而且
A>0(
或
A<0)
，
就存在着点那么
x0
的

某一去心邻域，
当
x
在该邻域内时就有
f(x)>0(
或
f(x)>0)
，反之也成立。




函数
f(x)
当
x→x0
时极限存在的充分必

要 条件是左极限右极限各自存在并且相等，即
f(x0-0)=f(x0+0)
，若不相等则limf(x)
不存在。




一般的说，如果

lim(x→∞)f(x)=c
，则直线
y=c< br>是函数
y=f(x)
的图形水平渐近线。如果
lim(x→x0)f(x)=∞
，则直线
x=x0
是函数

y=f(x)
图形的铅直
渐近线。




4
、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷 小的乘积是

无穷小；有限个无穷小的乘
积也是无穷小；定理如果
F1(x) ≥F2(x)
，而
limF1(x)=a
，
limF2(x)=b
， 那么
a≥b.




5
、极限存在准则两个重 要极限
lim(x→0)(sinx/x)=1
；
lim(x→∞)(1+1/x)x =1.
夹逼准则如果数列

{xn}
、
{yn}
、
{zn}
满足下列条件：
yn≤xn≤zn
且

1
limyn=a
，
limzn=a
，那么
limxn=a
，对于 函数该准则也成立。





单调有界数列必有极限。




6
、函数的连续 性设函数
y=f(x)
在点
x0
的某一邻域内有定义，如果函数
f( x)
当
x→x0
时的极限存在，且等

于它在点
x0
处的函数值
f(x0)
，即
lim(x→x0)f(x)=f(x0)
，那 么就称函数
f(x)
在点
x0
处连续。




不连续情形：
1
、在

点
x=x0
没有 定义；
2
、虽在
x=x0
有定义但
lim(x→x0)f(x)不存在；
3
、虽在
x=x0
有定义且
lim(x→x0)f(x
)
存在，但

lim(x→x0)f(x)≠f(x0)
时则称函数 在
x0
处不连续或间断。




如果
x 0
是函数
f(x)
的间断点，但左极限及右极限都存在，则称

x0
为函数
f(x)
的第一类间断点
(
左右极限相等者称可去间断点，不 相等者称为跳
跃间断点
)
。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点
(
无穷间断点

和震荡间断点
)
。




定理有限个在某点连续的函数的和、积、商
(
分母不为
0)
是个在该点连续的函数。




定理如果函数
f(x)
在区间

Ix
上单调增加或减少且连 续，
那么它的反函数
x=f(y)
在对应的区间
Iy={y|y=f(x)< br>，
x
∈
Ix}
上单调增加或减少且连续。
反
三角函数 在他们的

定义域内都是连续的。




定理< br>(
最大值最小值定理
)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 。
如果函数在开区间内连续或函数在闭区

间上有间断点，
那
么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。




定理
(
有界性定理
)
在闭区间上连续的函数一 定在该区间上有界，即

m≤f(x)≤M.
定理
(
零点定理
)
设函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续， 且
f(a)
与
f(b)
异号
(
即
f(a)×
f(b)<0)
，那么在开区

间
(a
，
b)
内 至少有函数
f(x)
的一个零点，即至少有一点
ξ(a<ξ）
。




推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M
与最小值
m
之间的任何值。




第二章

导数与微分




1
、导数存在的充分必要条件函数
f(x)
在

点
x0
处可导的充分必要条件是在点
x0
处的左极限
lim(h→
-0 )[f(x0+h)-f(x0)]/h
及右极限
lim(h→+0)
[f(x0+ h)-f(x0)]/h
都存在且相等，即左导数
f-
′(x0)
右导数f+′(x0)
存在相等。



2
、函数
f(x)
在点
x0
处可

导=>
函数在该点处连续；函数
f(x)
在点
x0
处连续
≠>
在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而

2

不是充分条件。





3
、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。




4
、函数
f(x)
在点
x0
处可微< br>=>
函数在该点处可导；函数

f(x)
在点
x0
处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。




第三章

中值定理与导数的应用





1
、定理
(
罗尔定理
)
如 果函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间(a
，
b)
内可导，且在区间端点的函数值相等，即
f(a)=f(b)
，那么在

开区间
(a
，
b)
内至少有一点
ξ(a<ξ）
，使的函数
f
（
x
）在该点的导数等于 零：
f’
（
ξ
）
= 0.



2
、定理
(
拉格朗

日中值定理
)
如果函 数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，那么在开区间
(a
，
b)
内至 少有一点
ξ(a<ξ）
，

使的
等式
f
（
b
）
-f
（
a
）
=
f’
（
ξ
）
（
b-a
）成立即
f’
（
ξ
）
= [f
（
b
）
-f
（
a
）
] /
（
b-a
）
。




3
、定理
(
柯西中值定

理
)
如果函数< br>f(x)
及
F(x)
在闭区间
[a
，
b]
上 连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，且
F’(x)
在
(a
，
b)
内的每一点处均不为零，那么在
开区间

(a
，
b)
内至少有一点
ξ
，使的等式
[f(b)-f(a)] /[F(b)-
F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)
成立。




4
、洛必达法则应用条

件只能用与未定型诸如
0/0< br>、
∞/∞
、
0×∞
、
∞
-
∞
、00
、
1∞
、
∞
0
等形式。




5
、函数单调性的判定法设函数
f(x)
在闭区间

[a< br>，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，那么：
(1)
如果在
(a
，
b)
内
f’(x)>0
，那么函数
f(x)
在
[a
，
b]
上单调增加；
(2)
如

果在
(a
，
b)
内
f’(x) <0
，那么函数
f(x)
在
[a
，
b]
上单调减少 。




如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外

导数存在且连续，那么只 要用方程
f’(x)=0
的根及
f’(x)
不存在的点来划分函数
f (x)
的定义区间，就能保证
f’(x)
在各个部分区间内保持固定符

号，因而函数
f(x)
在每个部分区间上单调。




6
、函数的极值如果函数
f(x)
在区间
(a
，
b)
内有定义，
x0
是
(a
，
b)
内的一 个点，如果

存在着点
x0
的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x
，
f(x)f(x0)
均成立，就称
f(x0)
是函数
f(x)
的一个极小值。




在函数
取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值 点必定是它的驻点
(
导数
为
0
的点
)
，但函数的驻 点却

不一定是极值点。




定理
(
函数取得极值的必要条件
)
设函数
f(x)
在
x0
处可导，
且在
x0
处取得极值，
那么函数在
x0
的导数为零 ，
即
f’ (x0)=0.
定理
(
函数取得极值的第

3

一种充分条件
)
设函数
f(x)
在
x0
一个邻域内可导，且
f’(x0)=0
，那么：
(1)
如果当< br>x
取
x0
左侧临近的值

时，
f’(x)
恒 为正；当
x
去
x0
右侧临近的值时，
f’(x)
恒为负，那 么函数
f(x)
在
x0
处取得极大值；
(2)
如果当
x
取
x0
左侧临近的值时，
f’ (x)
恒为负；当
x< br>去
x0
右侧临近的值时，
f’(x)
恒为正，那么函
数
f(x)
在
x0
处取得极小值；
(3)
如果当
x
取
x0
左右两侧临近的值时，
f’(x)
恒为正或恒为负，那么函数
f(x)
在
x0
处没有极值。




定理
(
函数取得极值的第二种充分条件
)< br>设函数
f(x)
在
x0
处具有二阶导数且
f’ (x0)=0
，
f’’(x0)≠0
那么：
(1)
当
f’’(x0)<0
时，
函数
f(x)
在
x0
处取得极
大值；
(2)
当
f’’(x0)>0
时，函

数
f(x)
在
x0
处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。




7
、函数的凹凸性及其判定设
f(x)
在区间
Ix
上连续，如

果对任意两点
x1
，
x2
恒有< br>f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2
，那么称
f(x)
在区间
Ix
上图形是
凹的；如果恒有

f[(x1+x2)/2] >[f(x1)+f(x1)]/2
，那么称
f(x)
在区间
Ix
上 图形是凸的。




定理设函数
f(x)
在闭区间

[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内具有一阶和二阶导数，那么
(1)
若在
(a
，
b)
内
f’’(x)>0
，则
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上的图形

是凹的；
(2)
若在
(a
，
b)
内
f’’(x)<0
，则
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上的图形是凸的。



判断曲线拐点
(
凹凸分界点
)
的步骤

(1)求出
f’’(x)
；
(2)
令
f’’(x)=0
，解出这方程在区间
(a
，
b)
内的实根；
(3)
对于< br>(2)
中解出的每一个实根
x0
，
检查
f’’(x)
在

x0
左右两侧邻近的符号，
如果
f’’(x)
在
x0
左右两侧邻近分别保持一定的符号，
那么当两侧的符号相反时，
点
(x 0
，
f(x0))
是拐点，
当两侧的符号

相
同时，点
(x0
，
f(x0))
不是拐点。




在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。



第四章

不定积分




1
、原函数存在定理定理如果函数
f(x)
在区间
I
上连续，那么在区 间
I
上存在可导函数

F(x)
，使对任一
x
∈< br>I
都有
F’(x)=f(x)
；简单的说连续函数
一定有原函数。



分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指

数函数的乘积，
就 可以考虑用分部积分法，
并设幂函数和指数函数为
u
，
这样用一次
分 部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或

幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为
u.


4



2
、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是

初等函数。




第五章

定积分




1
、定积分解决的典型问题
(1)
曲边梯形的面积
(2)
变速直线

运动的路程




2
、函数可积的充分条件定理设
f(x)
在 区间
[a
，
b]
上连续，则
f(x)
在区间
[a< br>，
b]
上可积，即连续
=>
可积。





定理设
f(x)
在区间
[a
，
b]< br>上有界，且只有有限个间断点，则
f(x)
在区间
[a
，
b]
上可积。




3
、定积分的若干重要性质性质如果在区

间
[a
，
b]
上
f(x)≥0
则
∫abf(x)dx≥0.
推论如果在区间
[a
，
b]
上
f(x)≤g(x)
则
∫abf(x )dx≤∫abg(x)dx.
推

论
|∫abf(x)dx|≤∫ab|f (x)|dx.
性质设
M
及
m
分别是函数
f(x)
在区间
[a
，
b]
上的最大值和最小值，则
m(b-
a) ≤∫abf(x)dx≤M(b
-a)
，该性质说明由被积函数在积分
区间上的最大值 及最小值可以估计积分值的大致范围。




性质
(
定积分中值

定理
)
如果函数
f( x)
在区间
[a
，
b]
上连续，则在积分区间
[a
，
b]
上至少存在一个点
ξ
，使下式成立：
∫abf(x)dx=f (ξ)(b
-a)
。





4
、关于广义积分设函数
f(x)
在区间
[a
，
b]
上除点
c(a）外连续，而在点
c
的邻域内无界，如果两个广义积分

∫acf
（
x
）
dx
与
∫cbf
（< br>x
）
dx
都
收敛，则定义
∫abf
（
x）
dx=∫acf
（
x
）
dx+∫cbf
（
x
）
dx
，否则（只要其中一个发散）就称广义

积分
∫abf
（
x
）
dx
发散。




第六章

定积分的应用




求平面图形的面积
(
曲线围成的面

积
)



直角坐标系下
(
含参数与不含参数
)


极坐标系下
(r
，
θ
，
x=rcosθ
，
y= rsinθ)(
扇形面积公式

S=R2θ/2)



旋转体体积
(
由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成
)(
且体积
V=∫abπ[f(x)]2dx
，其中

f(x)
指曲线的方程
)



平行截面面积为 已知的立体体积
(V=∫abA(x)dx
，其中
A(x)
为截面面积
)



功、水压力、引力




函数的平均值
(
平均值
y=1/(b-
a)*∫abf(x)dx)



第七章

多元函数微分法及其应用



5



1
、多元函数极限存在的 条件极限存在是指
P(x
，
y)
以任何方式趋于
P0(x0
，
y0)
时，函数都无限接近于
A
，如果
P(x
，
y)
以某一特

殊方式，例如
沿着一条定直线或定曲线趋于
P0(x 0
，
y0)
时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反 过来，如果当

P(x
，
y)
以不同
方式趋于
P0 (x0
，
y0)
时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函 数：
f(x
，
y)= {0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0







2
、
多元函数的连续性定义设函数
f(x
，< br>y)
在开区域
(
或闭区域
)D
内有定

义，
P0(x0
，
y0)
是
D
的内点或边界点且
P0< br>∈
D
，
如果
lim(x→x0
，
y→y0)f(x< br>，
y)=f(x0
，
y0)
则称
f(x
，
y )
在点

P0(x0
，
y0)
连续。




性质
(
最大值和最小值定理
)
在有界闭区域< br>D
上的多元连续函数，在
D
上一定有最大值和最小值。




性质

(
介值定理
)
在有界闭区域< br>D
上的多元连续函数，如果在
D
上取得两个不同的函数值，则它在
D< br>上取得介于这两个值之间的任何值至少一
次。




3
、多

元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定 连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能
保证函数在该点连续。
这是因

为各偏导数存在只能保证点
P
沿着平行于坐标轴的方向趋于
P0< br>时，
函数值
f(P)
趋于
f(P0)
，
但不能保证点
P
按任何方
式趋于
P0
时，函数值
f(P)
都趋< br>
于
f(P0)
。




4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在 只是全微分存在的必

要条件而
不是充分条件，即可微
=>
可偏导。




5
、多元函数可微的充分条件定理
(
充分条件
)
如果函数
z=f(x
，
y)
的偏导数存在且在点

(x
，
y)
连续，则函数在该点可微分。




6.
多元函数极值存在的必要、充分条件定理
(
必要条件
)
设函数
z=f(x
，
y)
在点
(x0
，
y0)
具

有偏导数，且在点
(x0
，
y0)
处有 极值，则它在该点的偏
导数必为零。




定理
(
充分条件
)
设函数
z=f(x
，
y)
在点
(x0
，
y0)
的某邻域

内连续且有一阶及二阶连续偏导数，< br>又
fx(x0
，
y0)=0
，
fy(x0
，
y0)=0
，
令

fxx(x0
，
y0)=0=A
，
fxy(x0
，
y0)=B
，
fyy(x0
，
y 0)=C
，则
f(x
，
y)
在点
(x0
，
y0)
处是否取得极值的条件如下：

(1)AC-B2>0
时具有极值，且 当
A<0
时有极大值，当
A>0
时
有极小值；
(2)AC- B2<0
时没有极值；
(3)AC- B2=0
时可能有也可能没有。




7
、多元函数极值存在的解法
(1)
解方程 组
fx(x
，
y)=0
，
fy(x
，
y)=0求的一切实数解，即可求得

一切驻点。



6



(2)
对于每一个驻点
(x0
，
y 0)
，求出二阶偏导数的值
A
、
B
、
C.(3)
定 出
AC-B2
的符号，按充分条件进行判定

f(x0
，
y0)
是否是极大值、极小值。




注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对 这些点也应

当考虑在内。




第八章

二重积分




1
、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积

(A=∫∫√[1+f2x(x
，
y)+f2y(x
，
y)]dσ)



平面薄片的质量平面薄片的重心坐标
(x=1/A∫∫xdσ
，
y=1 /A∫∫ydσ
；其中
A=∫∫dσ
为闭区域
D
的面积。




平面薄片的转动惯量

(Ix=∫∫y2ρ(x，
y)dσ
，
Iy=∫∫x2ρ(x
，
y)dσ
；其中
ρ(x
，
y)
为在点
(x
，
y)
处的密度 。




平面薄片对质点的引力

(FxFyFz)



2
、二重积分存在的条件当f(x
，
y)
在闭区域
D
上连续时，极限存在，故函数
f(x
，
y)
在
D
上的二重积分必定存在。





3
、二重积分的一些重要性质性质如果在
D
上，
f(x
，
y)≤ψ(x
，
y)
，则有不等式
∫ ∫f(x
，
y)dxdy≤∫∫ψ(x
，
y)dxdy
，特殊地由于

-|f(x
，
y)|≤f(x
，
y)≤|f(x
，
y)|
又有不等式
|∫∫f(x
，
y
)dxdy|≤∫∫ |f(x
，
y)|dxdy.
性质设
M
，
m
分别是

f(x
，
y)
在闭区域
D
上的最大值和最小值，
σ
是
D
的面积，
则有
mσ≤∫∫f(x
，
y)dσ≤Mσ
。




性质
(
二重积分的中值定理
)
设函数

f(x，
y)
在闭区域
D
上连续，
σ
是
D
的 面积，
则在
D
上至少存在一点
(ξ
，
η)
使得下式 成立：
∫∫f(x
，
y)dσ=f(ξ
，
η)*σ4
、二重积分中标量

在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要 把被积函数中的
x
，
y
分别换成
ycosθ
、
rs inθ
，并把直角
坐标系中的面积元素

dxd
来源
:
考试大
-
考研站






线代部分


7

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确


A
可逆



r
(
A
)

n



A
的列（行）向量线性无关


A
的特征值全不为
0
A
0




Ax


只有 零解




x


，
Ax







R
n
,
Ax

总有唯一解




A
T
A
是正定矩阵


A

E




A

p
1
p
2

p
s

p
i
是初等阵


存在
n
阶矩阵
B
,
使得
AB

E

或

AB

E
○
注
：全体
n维实向量构成的集合
R
n
叫做
n
维向量空间
.

A
不可逆


r
(
A
A

0



)

n


A
的列（行）向量线性相关



0
是
A
的特征值



Ax


有非零解
,
其基础解系即为
A
关于


0
的
特征向量

r< br>(
aE

bA
)

n

○
注

aE

bA





(
aE

bA
)
x

< br>有非零解




=-
a
b


8


向量组等价


矩阵等价(

)

具有

反身性、对称性、传递性
< br>


矩阵相似
(

)

矩阵合 同
(

)


√

关于
e
1
,
e
2
,

,
e
n
：< br>
①称为

的标准基，

中的自然基，单位坐标向量
p
教材
87
；

②
e
1
,
e2
,

,
e
n
线性无关；

③< br>e
1
,
e
2
,

,
e
n

1
；

④
tr
E
=
n
；

⑤任意一个
n
维向量都可以用
e
1
,
e
2
,
,
e
n
线性表示
.
n
n
a
11
行列式的定义

D
n

a
12

a
1
n
a
22
a
2
n


a
n
2

ann

j
1
j
2

j
n
a< br>21

a
n
1

(

1
)

(
j
1
j
2

j
n
)
a
1
j
1
a
2
j
2

a
nj
n

√

行列式的计算：

①行列式 按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和
.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
.

9

②若
A
与
B
都是方阵（不必同阶 ）
,
则
A
O
A

A
O
=


A
B
O
B
O
B

B
O
A
B
O
=

A
B
O

(

1
)
mn
A
B
（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积
.

④关于副 对角线：
a
1
n
a
2
n

1
< br>
O
O
a
2
n

1

a< br>n
1
a
1
n

(

1
)< br>O
n
(
n

1)
2
a
1
n
a
2
n

a
n
1

（即：所有取自不同行不同列的
n
个元素的乘积的代数和）

an
1
1
x
1
⑤范德蒙德行列式：
x
1
2
1
x
2
2
x
2




1
2



x
i

x
j


x
n
1

j

i

n

x
n

x
1
n

1
n

1
n

1
x
2

x
n

a
11

a
21

矩阵的 定义

由
m

n
个数排成的
m
行
n
列的表
A





a
m1

A
11

A


12




A
1
n
A
21

A
22

A
2
n
a
12
a
22< br>
a
m
2

a
1
n

< br>
a
2
n

称为
m

n
矩 阵
.
记作：
A


a
ij

或< br>A
m

n

m

n

< br>

a
mn

伴随矩阵

A
A
ij
*


T
A
n
1
< br>

A
n
2

，
A
ij
为
A
中各个元素的代数余子式
.




A
nn

√

逆矩阵的求法
:

10

主

换位< br>
a
b

1

d

b
< br>A


1
注
：


①

A


○





c
d

c
a
ad
< br>bc
A
副

变号




初等行变换
②
(
A

E
)

(
E

A

1
)


1
a
1

③



a
2
1

a
1


1




a
3




mn
1
a
2









a
1


3
a
3


(
A
m
)
n

(< br>A
)
mn

a
2

1

a
1








1

a


1
1
a
3
1
a
2







√

方阵的幂的性质：
A
A

A
m

n
√

设
A
m

n
,
B
n

s
,
A
的列向量为

1
,

2
,

,

n
,
B
的列向量为

1
,

2
,

,

s< br>，

则
AB

C
m

s


b
11
b
12

b
1
s



b
b

b
21
22
2< br>s



c
,
c
,

,< br>c



1
,

2
,
 
,

n


1
2
s







b
b

b
ns


n
1
n
2
1

A

i

c
i

，
(
i

1,2
,

,
s
)


i
为< br>Ax

c
i
的
解

A


1
,


2
,

s


,


A


A
,
2


s
,


A
T
c
2
,

,
,
c
c

,




c
1

s
c
c

,

1
,

2
,

,

n
线性表示
.
即：
C
的列向量能由
A
的列向量线性表示，< br>B
为系数矩阵
.
1
,
s
可由
2
,
同理：
C
的行向量能由
B
的行向量线性表示，
A
为 系数矩阵
.

a
11

a
21
即：





a
n
1
a
12
a< br>22

a
n
2

a
1
n
 

1


c
1


a
11

1

a
12

2


a
1
n

2

c
1
< br>



a


a

< br>

a


c

a
2
n< br>

2


c
2


2 1
1
22
2
2
n
2
2




















a< br>mn


n


c
m


a
m
1

1

a
m
2

2



a
mn

2

c
m
√

用对角矩阵

左
乘一个矩阵
,
相当于用

的对角线上的各元素依次乘此矩阵的
行
向量；


11
○
○

用对角矩阵

右
乘一个矩阵
,
相当于用

的对角线上的各元素依次乘此矩阵的
列向量
.
√

两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘
.
○
○
< br>A
B


A
T
√

分块矩阵的转置 矩阵：




T

C
D

B

A

1

A

分块矩 阵的逆矩阵：




B




A

1

A
C






O
B


O

1

1
T
C
T


T

D






B

1


B
A





1



A

1

1
B

1





A

1
A

1
CB

1
O


A
O






1

1




B

B


C
B



B
CA

A
11
分块对角阵相乘：
A
< br>



B
11

,
B


A
22


*

A
11
B
11



AB


B
22







AB
*


B
*
n

n

A
11

,
A


A
22
B
22




n

A
22


A


BA
*
分块对角阵的伴随矩阵：




B



A





mn




(
1)
B
A
(

1)
mn
A
B






√

矩阵方程的解法
(
A

0
)
：设法化成
(I)
AX
< br>B

或
(II)
XA

B


(I)
的解法：构造
(
A

B
)


(
E

X)


初等行变换
(II)的解法：将等式两边转置化为
A
T
X
T

B
T
，

用
(I)
的方法求出
X
，再转置得
X
T

①

零向量是任何向量的线性组合
,
零向量与任何同维实向量正交
.
②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关
.

12

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