平面几何四大定理
巡山小妖精
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2021年01月29日 14:22
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.
.
平面几何四个重要定理
四个重要定理
：
梅涅劳斯
(Menelaus)
定理（梅氏线）
△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线上有点
P
、
Q
、
R
，
R
BP
CQ
AR
则
P
、
Q
、
R
共线的充要条件是
1
。
PC
QA
RB
B
塞瓦
(Ceva)
定理（塞瓦点）
△
ABC
的三 边
BC
、
CA
、
AB
上有点
P
、
Q
、
R
，则
AP
、
BQ
、
CR
共 点的充要条件是
D
A
Q
C
P
A
R
Q
P
C
BP
CQ
AR
1
。
PC
QA
RB
B
C
托勒密
(Ptolemy)
定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是
该四边形内接于一圆。
西姆松
(Simson)
定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
该点落在三角形的外接圆上。
例题：
1
．
设
AD
是△
ABC
的边
BC
上的中线，直线
CF
交
AD
于
F
。
A
B
A
F
D
C
E
l
B
P
AE
2
AF
求证：
。
ED
FB
AE
DC
BF
【 分析】
CEF
截△
ABD
→
1（梅氏定理）
ED
CB
FA
【评注】也可以添加辅助线证明： 过
A
、
B
、
D
之一作
CF
的平
行 线。
2
．
过△
ABC
的重心
G
的直线分别交
AB
、
AC
于
E
、
F
，交
CB
A
F
E
B
D
C
word
.
.
.
A
.
于
D
。
BE
CF
1
。
EA
FA< br>【分析】连结并延长
AG
交
BC
于
M
，则
M
为
BC
的中
点。
求证：
G
E
D
B
F
C
BE
AG
MD
DEG
截△
ABM
→
1
（梅氏定理）
EA< br>GM
DB
CF
AG
MD
DGF
截△
ACM< br>→
1
（梅氏定理）
FA
G M
DC
BE
CF
GM
(
DB
DC
)
GM
2
MD
∴
=
=
=1
EA
FA
2
GM
MD
AG
MD
【评注】梅氏定理
3
．
D、
E
、
F
分别在△
ABC
的
BC
、< br>CA
、
AB
边上，
A
G
E
DB
M
F
C
A
F
L
BD
AF
C E
，
AD
、
BE
、CF
交成△
LMN
。
DC
FB
EA
求
S
△
LMN
。
【分析】
B
C
【评注】梅氏定理
4
．
以△ABC
各边为底边向外作相似的等腰△
BCE
、
△
CAF
、
△
ABG
。求证：
AE
、
BF
、
CG
相交于一点。
【分析】
B
B
M
D
N
E
C
A
B
A
G
F
C
E
A
G
N
M
F
L
E
C
word
.
.
.
.
【评注】塞瓦定理
5
．
已知△
ABC
中，∠
B=2
∠C
。求证：
AC
2
=AB
2
+AB
·
BC
。
D
【分析】过
A
作
BC
的平行线 交△
ABC
的外接圆于
D
，连结
BD
。则
CD=D A=AB
，
AC=BD
。
由托勒密定理，
AC
·
BD=AD
·
BC+CD
·
AB
。
【评注】托勒密定理
6
．
已知正七边形A
1
A
2
A
3
A
4
A
5A
6
A
7
。
求证：
1
1
1
A
A
。
（第
21
届全苏数学竞赛）< br>
1
A
2
A
1
A
3
A
1< br>4
【分析】
【评注】托勒密定理
7
．
△
ABC
的
BC
边上的高
AD
的延长线交外接圆于
P
，作< br>PE
⊥
AB
于
E
，延长
ED
交
AC
延长线于
F
。
求证：
BC
·
EF=BF
·
CE+BE
·
CF
。
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
8
．
正六边形
ABCDEF
的对角线
AC
、
CE
分别被内分点
M
、
N
分成的比为
AM
：
AC=CN
：
CE=k
，且
B
、
M
、
N
共线。
求
k
。
（
23-IMO-5
）
【分析】
word
.
A
C
B
A
3
A
2
A
4
A
1
A
5
A
7
A
6
A
3
A
2
A
4
A
1
A
5
A
7
A
6
A
E
D
B
C
F
P
C
B
M
N
D
A
E
F
C
B
M
D
O
A
N
E
F
.
.
.
【评注】面积法
9
．
O
为△
ABC
内一点，分别以
d
a
、
d
b
、
d
c
表示
O
到
BC
、
CA
、
AB< br>的距离，以
R
a
、
R
b
、
R
c表示
O
到
A
、
B
、
C
的
距离 。
求证：
（
1
）a·R
a
≥b·d
b< br>+c·d
c
;
(2) a·R
a
≥c·d
b
+b·d
c
;
(3) R
a
+R
b
+R
c
≥
2(da
+d
b
+d
c
)
。
【分析】
AF
O
E
B
D
C
A
F
L
OE
B
D
C
K
【评注】面积法
10
．
△
ABC
中，
H
、
G< br>、
O
分别为垂心、重心、外心。
求证：
H
、
G
、
O
三点共线，且
HG=2GO
。
（欧拉线）
【分析】
A
A
【评注】同一法
11
．
△
ABC
中，
AB=AC
，
AD
⊥
BC
于
D
，
BM
、
BN
三等分∠
ABC
，与
AD
相交于
M
、
N
，延长
CM
交
AB
于
E
。
求证：
MB//NE
。
【分析】
CH
G
O
B
C
G
O
H
D
BA
E
N
M
B
D
A
C
E
14
5
N
M
2
3
7
8
word
6
.
C
B
D
.