π定理
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 14:22
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相似第二定理又称
π
定理
π
定理
π theorem
当一物理现象可由
n
个物理量的函数关系来描述，而这些物理量包括有
m
种基本因次
时，则可以用因次分析 的方法获得
(n-m)
个无因次数群。而这个现象的特征可以用这
(n-m)
个无因次数群的关系形式来表示。
这即
π
定理，
是因次分析的基本定理，它是由
Bucking- ham
于
1914
年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。
π
定理：对于某个物理现象，如果存在
n
个变量互为函数，即
F(x 1
，
x2,……,xn)=0
。而这
些变量中含有
m
个基本 量，则可排列这些变量成（
n-m
）个无量纲数的函数关系
φ(π1
，
π2,……,πn
-m)=0
，
即可合并
n
个物理量为
（
n-m
）
个无量纲
π
数。
π
定理的解题步骤：
（
1
）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个 物理量及其
关系式
:
（
2
）确定基本量：从
n
个物理量中选取所包含的
m
个基本物理量作 为基
本量纲的代
表，一般取
m=3
。在管流中，一般选
d
，
v
，
ρ
三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用
H，
v
，
ρ
。
（
3
）确定
π
数的个数
N
（
π
）
=
（
n-m
）
，并写出其余物 理量与基本物理量组成的
π
表
达式
（
4
）确定无量纲
π
参数：由量纲和谐原理 解联立指数方程，求出各
π
项的指数
x
，
y
，
z< br>，从而定出各无量纲
π
参数。
π
参数分子分母可以相互交换，也可以开 方或乘方，而不改
变其无因次的性质。
（
5
）写出描述现象的关系式
或显解一个
π
参数，如：
或求得一个因变量的表达式。
选择基本量时的注意原则：
1
）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（
M
，
L
，
T
）为三个，那么基本变量也
选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两 个。
2
）选择基本变量时，应选择重要的 变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变
量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复 杂化，甚至要重新求解。
3
）不能有任何 两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中
只能选择一个。
意义
Buckingham π
定理为计算套提供一个方法无维的参量从特定可变物，即使等式
的形式仍然是未知数。
然而，无维的参量选择不是独特的：
Buckingham
的定
理只提供引起套方式无维的参量和不会选择
„
完全意味深长
‟
。
这些参量相符的二个系统叫
相似
(
和与
相似的三角
他们在标度仅不同
);
他们为
等式的目的是等效的，并 且想要确定等式的形式的
experimentalist
可能选择最
方便一个。
证明
概述
开始通过考虑根本和获得的实际部件空间作为
a
向量空间
在
有理数
与基本元件
当依据传染媒介和以实际部件作为
“
向量加法
”
操作和上升的增殖到力量作为
“
标
量增殖
”
操作：
代表尺寸可变物作为为基本元件需要的套方次数
(
以力 量的零，
如
果特殊基本元件不存在
)
。
例如，万有引力常数
g
有单位
(
随 着时间的过去被摆
正的距离
)
，
因此它代表作为传染媒介
(1, − 2)
关于基本元件
(
距离，
时间
)
的依据。
做实际部件比赛横跨套物理等式在实际部件向量空间可能然后被认为强加线性
限制。
正式证明
(
例子
做这台清除器。
)
给出系统
n
尺寸可变物
(
物理可变物
)
，
k
(
物理
)
维度，写
尺寸矩阵
M
列是维度，
并且专栏是可变物：
(i
，
j)
th
词条是力量的
i
th
单位在
j
th
可变物。
矩阵可以被
解释如采取在尺寸数量的组合和给维度这个产品。
如此
是单位
无维的可变物是单位是全部零的组合
(
因此，无维
)
，与是等效的
仁
这个矩阵
;
无
维的可变物是
a
线性关系
在尺寸可变物之间单位。
由
排列无效定理
系统
n
传染媒介
k
维度
(
所有维度是必要的
)
的地方满足
a
(p=n-k)
-
联系尺寸空间。
任何选择
依据
将有
p
元素，是无维的可变物。
无维的可变物可能总被采取是尺寸可变物的整数组合
(
通过清除分母
)
。
数学上没
有无维的可变物自然选择
;
无维的可变物有些选择是完全意味深长的，并且这些
是理想地使用什么。
例子