我的班主任老师-有关秋天的词语

2021年1月29日发(作者：热血情敌)
毕达哥拉斯定理是一个基本的
几何定理
，传统上认为是由
古希腊
的毕 达哥拉斯所证明。


毕达哥拉斯

在中国，
《
周 髀算经
》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由
商高
发现，故又有称
之为商高定理；
三国时代的
赵爽
对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出 了另
外一个证明
[2]
。埃及称为埃及三角形。

实际上，早在毕达 哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中
国、印度等的发现都有真凭实据，有 案可查。
相反，
毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下
来，关于他的种种传说都是后人 辗转传播的。
可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其
所以这样，
是因为现代的数 学和科学来源于西方，
而西方的数学及科学又来源于古希腊，
古
希腊流传下来的最古老 的著作是欧几里得的《几何原本》
，而其中许多定理再往前追溯，自
然就落在毕达哥拉斯的头上 。
他常常被推崇为
“
数论的始祖
”
，
而在他之前的泰勒斯被 称为
“
几
何的始祖
”
，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希 腊科学的起源只是近一二百年才
有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不 过，在中国，因为
我们的老祖宗也研究过这个问题，
因此称为商高定理，
而更普遍地则 称为勾股定理。
中国古
代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做 弦。
[3]

(1)
勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象< br>——
数与形的第一定理。



(2)
勾股定理导致 不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓
“
无理数

与有理数 的差别，这就是所谓第一次数学危机。



(3)
勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。



(4)
勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它 一方
面引导到各式各样的不定方程，
包括著名的费尔马大定理，
另一方面也为不定方程 的解题程
序树立了一个范式。
[3]

有关勾股定理的书籍



这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思
（
Elisha Scott Loomis
）
的

Pythagorean Proposition
（
《
毕达哥拉斯
命题
》
）
一书中总共提到
367
种证明方式。



有人会尝试以
三角恒等式
（例如：
正弦
和
余弦< br>函数的
泰勒级数
）
来证明勾股定理，
但是，
因为所有的基本三 角恒等式都是建基于勾股定理，
所以不能作为勾股定理的证明
（参见
循环
论证
）
。

证法
1



作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a
、
b
，斜边长为
c.
把它们
拼成如图那样的一个多边形，使
D
、
E
、
F
在一条
直线
上。过点
C
作
AC
的延长线交
DF
于
点
P
.



∵

D
、
E
、
F
在一条直线上，

且
RtΔGEF
≌

RtΔEBD
，



∴

∠
EGF =
∠
BED
，




∵

∠
EGF +
∠
GEF = 90°
，



∴

∠
BED +
∠
GEF = 90°
，



∴

∠
BEG =180°―90°= 90°



又∵

AB = BE = EG = GA = c
，



∴

ABEG
是一个边长为
c
的正方形。



∴

∠
ABC +
∠
CBE = 90°



∵

RtΔABC
≌

RtΔEBD
，



∴

∠
ABC =
∠
EBD.


∴

∠
EBD +
∠
CBE = 90°



即

∠
CBD= 90°



又∵

∠
BDE = 90°
，∠
BCP = 90°
，



BC = BD = a.


∴

BDPC
是一个边长为
a
的正方形。



同理，
HPFG
是一个边长为
b
的正方形
.


设多边形
GHCBE
的面积为
S
，则



A2+B2=C2
证法
2



作两 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a
、
b
（
b>a
）

，斜边长为
c.
再做一个边长为
c
的正方形 。把它们拼成如图所示的多边形，使
E
、
A
、
C
三点在一条 直线
上
.



过点
Q
作
QP< br>∥
BC
，交
AC
于点
P
.

< br>过点
B
作
BM
⊥
PQ
，垂足为
M
； 再过点



F
作
FN
⊥
PQ
，垂足为
N.


∵

∠
BCA = 90°
，
QP
∥
BC
，



∴

∠
MPC = 90°
，



∵

BM
⊥
PQ
，



∴

∠
BMP = 90°
，



∴

BCPM
是一个矩形，即∠
MBC = 90°
。



∵

∠
QBM +
∠
MBA =
∠
QBA = 90°
，



∠
ABC +
∠
MBA =
∠
MBC = 90°
，



∴

∠
QBM =
∠
ABC
，



又∵

∠
BMP = 90°
，∠
BCA = 90°
，
BQ = BA = c
，



∴

RtΔBMQ
≌

RtΔBCA.



同理可证
RtΔQNF
≌

RtΔAEF.
即
A2+B2=C2
证法
3



作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a
、
b< br>（
b>a
）

，斜边长为
c.
再作一个边长为
c
的正方形。把它们拼成如图所示的多边形
.



分别以
CF
，
AE
为边长做正方形
F CJI
和
AEIG
，



∵
EF=DF-DE=b-a
，
EI=b
，



∴
FI=a
，



∴
G,I,J
在同一直线上，



∵
CJ=CF=a
，
CB=CD=c
，



∠
CJB =
∠
CFD = 90°
，



∴
RtΔCJB
≌

RtΔCFD
，



同理，
RtΔABG
≌

RtΔADE
，



∴
RtΔCJB
≌

RtΔCFD
≌

RtΔABG
≌

RtΔADE



∴∠
ABG =
∠
BCJ,


∵∠
BCJ +
∠
CBJ= 90°
，



∴∠
ABG +
∠
CBJ= 90°
，



∵∠
ABC= 90°
，



∴
G,B,I,J
在同一直线上，



A2+B2=C2
。

证法
4


作三个边长分别为
a
、
b
、
c
的三角形，把它们拼成如 图所示形状，使
H
、
C
、
B
三点在
一条直线上，连 结



BF
、
CD.
过
C
作
CL
⊥
DE
，



交
AB
于点
M
，交
DE
于点
L.


∵

AF = AC
，
AB = AD
，



∠
FAB =
∠
GAD
，



∴

ΔFAB
≌

ΔGAD
，



∵

ΔFAB
的面积等于，



ΔGAD
的面积等于矩形
ADLM


的面积的一半，



∴

矩形
ADLM
的面积

=.


同理可证，矩形
MLEB
的面积

=.


∵

正方形
ADEB
的面积



=
矩形
ADLM
的面积

+
矩形
MLEB
的面积



∴

即
A2+B2=C2
证法
5
（欧几里得）



《几何原本》中的证明



在
欧几里得
的《
几何原本
》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△
ABC
为一
直角三角形，其中
A
为直角。从
A
点划一直线至对边，使其垂直于对 边上的正方形。此线
把对边上的正方形一分为二，其面
积分
别与其余两个正方形相等。



在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：



如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，
则两三角形全等。
（
SAS
定理）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长
的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定 理
3
）
。证明的概念为：把
上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边 形，
再
旋转
并转换成下方的两个同等面积
的长方形。



其证明如下：



设△
ABC
为一直 角三角形，其直角为
CAB
。其边为
BC
、
AB
、和
CA
，依序绘成四方
形
CBDE
、
BAGF
和
A CIH
。画出过点
A
之
BD
、
CE
的
平行 线
。此线将分别与
BC
和
DE
直
角相交于
K
、
L
。分别
连接
CF
、
AD
，形成两个三角形< br>BCF
、
BDA
。∠
CAB
和∠
BAG
都是
直角，因此
C
、
A
和

G
都是
线性
对应的，同理可证
B
、
A
和
H
。∠
CBD
和∠
FBA
皆为直
角，所以∠
ABD
等于∠
FBC
。因为

AB
和

BD
分别等于

FB
和

BC
，所以△
ABD
必须相
等于△
FBC
。因为

A
与

K
和

L
是线性对应的，所以四方形

BDLK
必须二倍面积于△
ABD
。因为
C
、
A
和
G
有共同线性，所以正方形
BAGF
必须二倍面积于△
FBC
。因此 四边
形

BDLK
必须有相同的面积

BAGF = AB^2
。
同理可证，
四边形

CKLE
必须有相同的面积

ACIH = AC^2
。
把这两个结果相加，

AB^2+ AC^2= BD×
BK + KL×
KC
。
由于
BD=KL
，
BD×
BK
+ KL×
KC = BD(BK + KC) = BD×
BC
由于
CBDE
是个正方形，因此
AB^2+ AC^2= BC^2
。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第
1.47
节所提出的

证法
6
（射影定理）



如图
1
，
Rt
△
ABC
中，∠
ABC=90°
，
BD< br>是斜边
AC
上的高



通过证明三角形相似则有射影定理如下：





图
1


⑴（
BD
）
^2=AD·
DC
，



⑵（
AB
）
^2=AD·
AC
，



⑶（
BC
）
^2=CD·
AC
。




由公式⑵
+
⑶得：
（
AB
）
^2+
（
BC
）
^2=AD·
AC+CD·
AC =
（
AD+CD
）
·
AC=
（
AC
）
^2
，



图
1
即

（
A B
）
^2+
（
BC
）
^2=
（
AC
）
^2
，这就是勾股定理的结论。

证法
7
（赵爽弦图）



在这幅
“勾股圆方图
”
中，
以弦为边长得到正方形
ABDE
是由
4
个相等的直角三角形再加
上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为
a b/2
；中间懂得小正方形边长为
b-a
，则面积为（
b-a
）^2
。于是便可得如下的式子：

4×
（
ab/2)+
（
b-a
）
^2 =c^2
；


赵爽弦图



化简后便可得：
a^2 +b^2 =c^2;

青朱出入图

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