平面几何中的几个重要定理
巡山小妖精
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2021年01月29日 14:25
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鼠年祝福-鼓励孩子学习的话
平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本 》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容
和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣
.
许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了
毕生的精力，他们发现了一个又一个新的 定理，推动了几何学的迅速发展
.
为了纪念他们，
人们以他们的名字来命名他们所获得 的重要成果
.
这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何
学的历程
.
这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理
塞瓦（
G
．
Ceva 1647
—
1743
）
，意大利著名数学家．
塞瓦定理
设
S
为
ABC
三边所在直线外一点，连接
AS
,
BS
,
CS
分别 和
ABC
的边或三边的
延长线交于
P
,
Q
,
R
（如图
1
）
，则
A
BP
CQ
AR
1
．
PC
QA
RB
Q
R
S
Q
S
C
A
B
R
P
B
P
C
图
1
证明
（面积法）考虑到△
ABS
与△
ACS
有公共底边
AS
，因此它们面积之比等于 分别从顶点
B
、
C
向底边
AS
所引垂线长的比，而这个比又 等于
BP
与
PC
之比，所以有
P174
同理可得
三式相乘，即得
< br>错误！未找到引用源。
·
错误！未找到引用源。
·
错误！未找到引用源 。
=
错误！未找到引用
源。
·
错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
=1
1
与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理．
塞瓦定理逆定理
设
P
,
Q
,
R
为
ABC
的边或三边的延长线上的三点（
P
,
Q
,
R
都在三边
上或只有其中之一在边上）
，如果有BP
CQ
AR
1
，则三直线
A P
,
BQ
,
CR
交于一点或互相
PC
QA
RB
平行．
A
R
Q
R
Q
A
S
C
B
B
P
P
C
图
2
证明
因三点
P
、
Q
、
R
中必有一点在三角形的边上，不妨假定
P
点在
BC
边上。
若
BQ
与
CR
相交， 设交点为
S
，又设
AS
和
BC
的交点为
P
’，由塞瓦定理，应有
错误！未找到引用源。
·
错误！未找到引用源。·
错误！未找到引用源。
=1
与已知条件中的式子比较，得
错误！未找到引用源。
=
错误！未找到引用源。
但由于点
P
和
P
’同在
BC
边上，所以
P
和
P’重合，即三直线
AP
、
BQ
、
CQ
交于一点。
P175
若
BQ
与
CR
平行，则
AB
AC
BP
CQ
AC
=
.
把它代入已知条件的式子中，*
*
=1
，
RB
QC
PC
QA
QC< br>
BP
QA
;
BQ//PA
。即
AP
、
BQ
、
CR
三线互相平行。
PC
AC
利用塞瓦定理的逆定理，可以证明三条直线共点，下面看几个具体的例子。
例
1
．
如图
3
，
过
D
,
E
,
F
AP
,
BP
,
CP
分别与边
BC
,
CA
,
AB
交于
D
,
E
,
F
，
P
是
ABC
内一点，
三点作圆， 与三边交于
D
,
E
,
F
． 求证：
A
D
,
B
E
,
CF
交于一点．
分析
要证
< br>AD
’
、
BE
’
、
CF
’
三线共点 ，
考虑到
AD
、
BE
、
CF
三线共点，
显然可利用塞瓦定理。又考虑到
D
、
E
、
F、
D
’
、
E
’
、
F
’
六点共 圆，
因此可利用圆幂定理将等式转换。
证明
AD
、
BE
、
CF
三线共点，
F
A
E
F
B
D
图
3
E
M
C
BD
CE
AF
1
。
由塞瓦定理得
DC
EA
FB
但
D
、
E
、
F
和
D
’
、
E
’
、
F
’
共圆，
所以< br>BD
’
*BD=BF
’
*BF
，
CE
’*CE=CD
’
*CD
，
AF
’
*AF=AE
’
*AE
。
三式相乘得
BD
’
*CE *AF
’
*BD*CE*AF=BF
’
*CD
’
*AE’
*BF*CD*AE,
BD
'
CE
'
AF
'
BD
CE
AF
< br>1
D
'
C
E
'
A
F< br>'
B
DC
EA
FB
BD'
CE
'
AF
'
1
.
D
'
C
E
'
A
F
'
B
即
。
因
BD
CE
AF
1DC
EA
FB
所
以
由塞瓦定理 逆定理可知，
AD
’
、
BE
’
、
CF
’< br>共点。
2
注
由本题可知，一个圆周与
ABC
交于
D
、
D
’
、
E
、
E
’
、
F
、
F
’
，若
AD
、
BE
、
CF
三线
交于一点，则
AD
’
、
BE
’
、
CF
’
也相交于一点。
例
2
．
设
A
,
B
,
C
分
别
为
ABC
三
边
BC
,
CA
,
AB
的
中
点
，
P
为
A
B
C
内
一
点
，
．求证：
AL
,
BM
,
CN
三线共点．
A
P
,
B
P
,
C
P
分别交
B
C
,
C
A
,
A
B
于
L
,
M
,
N
（如图
4
）< br>P176
A
A
G
F
N
M
B
C
M
C
B
P
K
L
N
C
N
M
B
A
L
E
图
4
图
5
分
析
与
上例
一样，要由一组三线共点推出另一组三线共点，考虑到
A
'
、
B
'
、
C
'
分别为
ABC
三边 的
中点，不难利用塞瓦定理得到证明
.
证明
A
'
L
、
B
'
M
、
C
'
N
三线共点，
B
'
L< br>C
'
M
A
'
N
1< br>
LC
'
MA
'
NB
'
设
AL、
BM
、
CN
分别交
BC
、
CA
、< br>AB
于点
L
'
、
M
'
、
N
'
.
B
'
、
C
'
分别为< br>AC
、
AB
的中点，
BL
'
C
'
L
B
'
C
'
//
BC
,
. < br>L
'
C
LB
'
GM
'
AM
'
AN
'
B
'
N
1
.
同理
,
M
'
A
MC
N
'
BNA
'
BL
'
CM
'
AN
'
C
'
L
B
'
N
A
'
M
1
.
L
'
C
M
'
A
N
'
B
LB
'
NA
'
MC
'
由塞瓦定理的逆定理，
AL
、
BM
、
CN
三线共点，即
AL
、
BM
、
CN< br>三线共点
.
例
3
．以
ABC
各边为 底边向外作相似的等腰三角形
BCD
,
CAF
,
ABG
（如 图
5
）
．求证
AE
,
BF
,
CG
相交于一点．
分析
如图
15-5
，要证
AE
、
BF、
CG
三线共点，由塞瓦定理的逆定理，只需证
BL
CM
AN< br>
1
即可
.
但是图中没有平行线，
,< br>得不到比例关系，
我们尝试通过三角形面
LC
MA
NB
积之比 来转换
,
看能否得到要证的式子
.
证明
< br>设三个相似等腰三角形的底角为
,
AE
、
BF
、< br>CG
分别交
BC
、
CA
、
AB
于
L
、
M
、
N
,
则
3
BL
S
ABE
LC
S
ACE
P177
同理
1
AB
BE
sin(
B
)
AB
sin(
B
)
2
1
AC
sin(
C< br>)
AC
CE
sin(
c
)< br>2
GM
BC
sin
（
C
）AN
AC
sin
（
A
）
，
DC
sin
(
B
)
MA
AB
sin
（
A
）
NB
∴
BL
CM
NA
1
LC
MA
NB
由塞瓦定理的逆定理，
AB
、
BF
、
CG
交于一点
二、梅涅劳斯定理
Menelaus
（公元
98
年 左右）
，希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著
作《球论》里．
梅涅劳斯定理
设
ABC
的三边< br>BC
,
CA
,
AB
或它们的延长线与一条不经过其顶点的直< br>线交于
P
,
Q
,
R
三点（如图
6
）
，则
BP
CQ
AR
1
．
PC
QA
RB
A
R
S
Q
A
S
P
B
R
C
B
C
P
图
6
Q
证明
过
C
点引直线
PQ
的平行线交
AB
于
S
，则
BP
BR
CQ
SR
,
PC
R S
QA
RA
BP
CQ
AR
BR
SR
AR< br>
1
PC
QA
RB
RS
RA
RB
梅涅劳斯定理的逆定理也成立
梅涅劳斯定理逆定理
设
P
,
Q
,
R
分别是
ABC
的三边
BC
,
CA
,
AB
上或 它们延长线
上三点，若有
BP
CQ
AR
1
，
PC
QA
RB
则
P
,
Q
,
R
三点在同一直线上．
证明
不妨设点
P
在BC
边的延长线上，点
Q
和
R
在
AC
、
AB
或者它们的延长线上，
设
QR
与
BC
延长点的交点为
P
’
，根据梅涅劳斯定理有
BP
'
CQ
AR
1
P
'
C
QA
RB
4
P178
与已知条件的式子加以比较，得
BP
BP
'
.
PC
P
'
C
因
P
和
P
'
都在BC
的延长线上，
P
和
P
'
重合，
P
、
Q
、
R
三点共线
.
梅涅劳斯定理 及其逆定理应用非常广泛，
尤其在三点共线问题的讨论中，
常常给解题带来很
多方便< br>.
例
4
．
设
ABC
的∠A
的外角平分线与
BC
的延长线交于
P,
∠
B
的平分线与
AC
交于
Q,
∠
C
的平分线和
AB交于
R.
求证：
P
,
Q
,
R
三点在同一直线上．
A
R
Q
P
C
B
图
7
分析
要证
P
、
Q
、
R
三点共线，只须证明
.
R
Q
A
B
C
图
8P
BP
CQ
AR
1
.
PC
QA
RB
利用三角形内角及外角平分线的性质不难得到，请读者自证.
例
5
．
图
8
，过△
ABC的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接圆的切线，分别和< br>BC
、
CA
、
AB
的延长线交于
P
、
Q
、
R
，求证：
P
、
Q
、
R
三 点共线．
分析
欲证
P
、
Q
、
R
三点共线
.
只需证明
证明
因
AP
为圆的切线，所以
AC P
∽
APB
，从而有
BP
CQ
AR
< br>
1
.
PC
QA
RB
ABAB
AB
AP
,
.
两式
AC
AC
AC
CP
BP
AB
2
CQ
BC
2
AR
CA
2
.
同理可得
相乘得
,
.
CP
AC
2
QA
A B
2
RB
BC
2
BP
CQ
AR
1
.
CP
QA
RB
F
A
A
由梅涅劳斯定理得，
P
、
Q
、
R
三点共线
.
注：
直线
PQR
叫做△
ABC
的莱莫 恩（
Lemoine
）线
P179
5
B
C
B
C
S
D
图
9
E
例
6
．
（戴沙格定理）设△
ABC
和 △
A
B
C
对应点的连线
A
A
、
B
B
、
C
C
交于一点
S
，这
时如果对应边
BC
和
B
C
、
CA
和
C
A
、
AB
和
A
B
（或它们的延长线）相交，则它们的交< br>点
D
、
E
、
F
在同一直线上．
分析
由于
D
、
E
、
F
三点分
别在
Δ
ABC
三边延长线上，要证三点
共线，只能证明
AF
BD
CE
1
.
FB
DC
EA
注意图中多个三角形被多条直线所截，反复利用梅涅劳斯定理，即
可得证
.
证明
因直线
FA
’
B
’
截
Δ
SAB
，由梅涅劳斯定理，有< br>
SA
'
A F
BB
'
1
.
A
'A
FB
B
'
S
同理，直线
EC
’
A< br>’
截
Δ
SAC
，有
AA
'
SC< br>'
CE
1
.
A
'
S
C
'
C
EA
直线
DC
’
B
’
截
Δ
SBC
，有
三式相乘，得
SB
'
BD
CC
'
1
.
B
'
B
DC
C
'
S
AF
BD
CE
1
FB
DC
EA
由梅涅劳斯定理逆定理，
D
、
E
、
F
三点共线
注
：戴沙格定理是射影几何中的重要定理．
例
7
．
（
牛顿定理）设四边形
ABC D
的一组对边
AB
和
CD
的延长线交于点
E
，另一
组对边
AD
和
BC
的延长线交于点
F
，则
AC
的中点
L
、
BD
的中点
M
及
EF的中点
N
，
三点共线．
分析
为了证明
L
、
M
、
N
共线，可考虑
L、
M
、
N
三点是否分别在一
个三角形的边或延长线上
.
由它们是
AC
、
BD
、
EF
的中点，设
Δ
EBC
三边中点
为
P
、
R
、
Q
，则显然有
M
在
PR
上，
L
在
RQ
上，
N
在
PQ
延长线上，再利用海涅劳斯定理不难
得到 证明。
P180
证明:
设
P
、
R
、
Q
分别为
EB
、
BC
、
CE
中点，因为
L
、
Q
、
R
分别是
CA
、
CE
、
CB
中
点，所以 它们在同一直线上，且有
QL
EA
LR
AB
同理，
M
、
R
、
P
三点在同一直线上，且
RM
CD
MP
DE
N
、
P< br>、
Q
三点在同一直线上，且
PN
BF
NQ
FC
6
三式相乘得
QL
RM< br>PN
EA
CD
BF
LR
MP
NQ
AB
DE
FC
但因直线
ADF
切割△
EBC
，由海涅劳斯定理，有
EA
BF< br>CD
QL
RM
PN
1
,
1
.
AB
FC
D E
LR
MP
NQ
因
L
、
M
、
N< br>三点分别在△
PQR
三边或其延长线上，故由梅涅劳斯定理逆定理，
L
、
M
、
N
三点共线。
注
直线
LMN
叫做四边形
ABCD
的牛顿线
三、斯特瓦尔特定理
Stewart
（
1753
—
1828
）
，英国数学家、哲学家．
斯特瓦尔特定理
设
P
是
ABC的边
BC
上一点，且
BP
:
PC
=
M
:
N
=
m
:
n
，则有
nAB
2
mAC
2
(< br>m
n
)
AP
2
mn
BC
2
m
n
P181
证明
设
APB
，由余弦定理，
AB< br>2
AP
2
BP
2
2
AP
BP
cos
，
即
AB
AP
(
2
2
2
2
m
m
BC
)
2
2
AP
< br>BC
co
s
.
①
m
n
m
n
2
又
AC
AP
PC
2
AP
< br>PC
cos
AP
(
①
n+
②
m
，得
n
AB
mAC
(
m
n
)
AP
2
2
2
2
n
n
BC
)
2
2
AP
BC
cos
.
②
m
n
m
n
m
n
BC
2
.
m
n
注
斯特瓦尔特定理还可以写成下面的形式
:
CP
AB
2
BP
AC< br>2
BC
AP
2
BP
CP
BC
AC
2
BP
AB
2
CP
BP
PC
或
AP
BC
2
2
2
2
2
当
m
n
时，
P
为
BC
的中 点，有
AB
AC
2
AP
BP
（巴布斯定理）
1
1
AB
2
AC
2
BC
2
（中线定理）< br>
2
4
2
当
AP
是△
ABC
∠A
的平分线是，有
AP
p
a
．
2
p
a
b
c
b
c
p
b
c
AP
2
7
例
8
．在△< br>ABC
中设
AB=c
，
AC=b
，
c>b
，
AD
是∠
A
的平分线，
E
为
BC
上一点， 且
2
2
BE=CD
．求证：
AE
AD
c
b
．
2
P182
证明
为方便起见，不妨设
BD=m
，
DC=n
，则
BE=n
，
EC=m
，
ED=m-n.
由斯特瓦尔特定理，有
b
2
m
c
2< br>n
AD
mn
m
n
2
b
2
n
c
2
m
AE
mn
m
n
2
c
2
(m
n
)
b
2
(
m
n
)
(
m
n
)
2
AE< br>
AD
(
c
b
2
)
2
.
m
n
m
n
2
2
AD
为
A
的平分线
m
c
m
n
c
b
,
n
b
m
n
c
b
c
b
AE
2
AD
2
(
c
b
)(
b
c)
(
b
c
)
2
c
b
下面我们来证明一个关于三角形的重心的定理。
例
9
．
设
G
为△
ABC
的重心 ，
M
是平面上任意一点，求证：
M A
2
MB
2
MC
2
GA< br>2
GA
2
GA
2
3
MG
2
分析
如图< br>15
—
13
，不妨设
M
点在
ABC
内部，< br>
在等式中，考察线段
MG
。由于
MG
在△
ADM< br>内部，且
G
分中线
AD
为
2:1
两部分，故可
利用斯特瓦尔特定理得到
MG
和
AM
、
DM
、
A G
、
DG
的关系，再在△
BMC
中，利用中线
公式可得到< br>MD
和
MB
、
MC
、
BD
的关系，从而有望 获得证明。
证明
设△
ABC
三条中线分别为
AD
、
BE
、
CF
。在△
ADM
中，斯特瓦尔特定理，有
MA
2
DG< br>
MD
2
GA
MG
2
AD
AD
DG
GA
因
DG=AD,GA=AD,
代入上式并整理，得
1
2< br>2
MG
2
MA
2
MD
2
AD
2
①
3
3
9
在△
MBC
中，由中线公式得
P183
1
1
MD
2
(
MB
2
MC
2
)
BC
2
2
4
2
2
又因
AD
9
GD，在
GBC
中，
8
1
1
GD< br>2
(
GB
2
GC
2
)
BC
2
2
4
、
代入式
，整理得
3
MG
2
MA
2
MB
2
MC
2
< br>(
GB
2
GC
2
)
4
GD
2
MA
2
MB
2
MC
2
GB
2< br>
GC
2
GA
2
，
MA
2
MB
2
MC
2
GA
2
GB
2
GC
2
3
MG
2
,
注
从上式可看出，当
M
不同于重心
G
时，有
MA< br>2
MB
2
MC
2
GA
2
GB
2
GC
2
.
所以，到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
练习
1
．△
ABC< br>的边
BC
上任意一点
D
，设∠
ADB
和∠
A DC
的角平分线分别交
AB
、
AC
于
F
和
E
，求证：
AD
、
BE
、
CF
交于一点．
2
．已知
AD
是△
ABC
的边
BC
上的高 ，
P
为
AD
上任意一点，直线
BP
、
CP
分别交
AC
、
AB
于
E
、
F
，求证：∠< br>FDA=
∠
ADE
．
3
．△
ABC
中，内切圆⊙
O
与各边
BC
、
CA
、
AB
相切于
D
、
E
、
F
，求证：
AD
、BE
、
CF
交
于一点．
4
．在△
A BC
中，
，
AM
为
BC
边上的中线，
AD
为∠
A
的平分线，顶点
B
在
AD
上的射影为
E，
BE
交
AM
于
N
，求证：
DN
∥< br>AB
．
5
．设△
ABC
的三个旁切圆在
B C
、
CA
、
AB
上的切点分别为
D
、
E< br>、
F
，则
AD
、
BE
、
CF
交于一 点．
6
．设平行四边形
ABCD
内一点
E
，过< br>E
引
AB
的平行线与
AD
、
BC
交于
K
、
G
，过
E
引
AD
的平行线与
AB< br>，
CD
交于
F
、
H
，则
FK
、BD
、
GH
互相平行或交于一点．
7
．一条直线与三 角形三边或其延长线交于
L
、
M
、
N
，若点
L
,
M
,
N
与
L
、M
、
N
关于三
边的中点对称，求证
L
,M
,
N
三点共线．
8
．设四边 形
ABCD
外切于⊙
O
，切点分别为
E
,
F
,
G
,
H
，则
HE
,
DB
,
G F
相交于一点
（或
GH
,
CA
,
EF
相交于一点）
< br>9
．设
D
、
E
为
ABC
的边BC
上两点，且
BD
DE
EC
，则
2
AB
2
AC
2
6
DE
2
3
AD
2
10
．设正三角形
ABC
边长为
a
，
P
为平面上任意一点，证明：
PA2
PB
2
PC
2
a
2
．
9
P184
习题
十五
简解
1
、考虑到
DF
、
DE
分别是
BDA
和
ADC
的平分线，
BD
CE
AF
BD
CD
AD
1
DC
BA
FB
DC
AD
BD
AD
、
BE
、
CF
三点共线
.
2
、 过
A
作
BC
的平行线交
DF
、
DE
的延长 线于
F
、
E
.
由塞瓦定理有
BD< br>CE
AF
CE
DC
AF
A
F
，代 入上式得
A
F
A
E
.
1
，而
,
DC
EAFB
EA
A
E
FB
BD
3
、由已知 有
BD
BF
,
CD
CE
,
A E
AF
BD
CE
AF
1
,
AD
、
BE
、
CF三点共线
.
DC
EA
FB
BN
ED
AL
1
,
NB
DA
LB
4
、延长
AC
与
BE
延长线交于
F
，则△
ABF
为等腰三角形
.
延长
EM
交
AB
于
L
，则
L
为
AB
中
点，在△
ABE
中由塞 瓦定理，有
AL
LB
,
BN
DA< br>
,
ND
//
AB
NE
ED< br>AF
BO
DK
DH
CG
BO
1
,
1
,
F B
OD
KA
HC
GB
OD
5
、先证
BD= EA,DC=AF,CE=FB,
再利用塞瓦定理证明三点共线
.
6
、设< br>BD
与
FK
交点为
O
，
△
ABD ,
P185
∴
G
、
H
、
O
在同一直线上，即
FK
、
BD
、
GH
交 于一点
O.
7.
由梅涅劳斯定理有
BL
CM
AN
1
,
CL
AM
BN
又由于
,M
’
,N
’
,L
’
分别与
M
、
N
、
L
关于三边中点对称，所以
AN
’=BN,
BN’=AN,BL’=CL,CL’=BL,AM’=CM,CM’=AM,
代入上式得
CL
'
AM
'
BN
'
1
,
L
'
,
M
'
,N
'
三点共线。
BL
'
CM
AN
'
8 .
设
HE
与
BD
交于
M
’
，则
H EM
’
截△
ABD
，
AE
BM
'
DH
1
.
EB
M
'
D< br>HA
CG
DM
BF
又设
GF
与
D B
交于
M
，则
1
.
GD
MD
FC
BM
'
BM
,
所以< br>M
’
、
M
重合。
由上两式得
M
'
D
MD
'
9.
利用斯特瓦尔特定理。
10.
设△
ABC
重心为
G
，则
PA< br>2
PB
2
PC
2
AG
2
BG
2
CG
2
3
PG
2
3
2
2
3
(
a
)
3
PG
2
a
2
.
3
P186
10