四个重要几何定理
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 14:33
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托勒密定理
一些圆定
理
.doc
定理图
定理的内容
托勒密
(Ptolemy)
定理指出，圆的内接凸四边 形两对
对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形
中，两对角线所包矩形的面积等于
一组对边所包矩形的面积与
另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可 以推出正弦、
余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，
托勒密定理实质上是关
于共圆性 的基本性质．
定理的提出
一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷
(Hipp
archus)
之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明
一、
（以下是推论的证明，
托勒密定理可视作特殊情况。
）
在任意四边形
ABCD
中，作△
ABE使∠
BAE=
∠
CAD
∠
AB
E=
∠
ACD
因为△
ABE
∽△
ACD
所以
BE/CD=AB/AC,
即
BE
·
AC= AB
·
CD
(1)
而∠
BAC =
∠
DAE
，，∠
ACB=
∠
ADE
所以△
ABC
∽△
AED
相似
.
BC/ED=AC/AD
即
ED
·
AC=BC
·
AD
(2)
(1)+(2),
得
AC(BE+ED)=AB
·
CD+AD
·
BC
又因为
BE+ED
≥
BD
（仅在四边形
ABCD
是某圆的内接四边形时，
等号成立，
即“托勒密定理”）
所以命题得证
复数证明
用
a、
b
、
c
、
d
分别表示四边形顶点
A
、
B
、
C
、
D
的复
数，则
AB
、
CD
、
AD
、
BC
、
AC
、
BD
的长度分别是：
(a-b)
、
(c-d)
、
(a-d)、
(b-c)
、
(a-c)
、
(b-d)
。
首先注意到复数恒等式：
(
a
−
b
)(
c
−
d
)
+
(
a
−
d
)(
b
−
c
)
=
(
a
−
c
)(
b
−
d
)
，
两
边取模，运用三角不等式得。
等号成 立的条件是
(a-b)(c-d)
与
(a-d)(b-c)
的辐角相等，这与
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等
式的反演形式。
二、设
ABCD
是圆内接四边形。
在弦
BC
上，圆周角∠
BAC
=
∠
BDC
，而在
AB
上，∠
ADB
=
∠
ACB
。
在
AC
上取
一点
K
，使得∠
ABK
=
∠
CBD
；
因为∠
ABK
+
∠
CBK
=
∠
AB
C
=
∠
CBD
+
∠
ABD
，所以∠
CBK
=
∠
ABD
。
因此△
ABK
与
△
DBC
相似，同理也有△
ABD
~
△
KBC
。
因此
AK/AB
=
CD
/BD
，
且
CK/BC
=
DA/BD
；
因此
AK
·
BD
=
AB
·
CD
，
且
CK
·
B
D
=
BC
·
DA
；
两式相加，
得
(AK+CK)
·
BD
=
AB
·
CD
+
BC
·
D
A
；
但
AK+CK
=
AC
，因此
AC
·
BD
=
AB
·
CD
+
BC
·
DA
。
证毕。
三、
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的 乘积
(
两对
角线所包矩形的面积
)
等于两组对边乘积之和
(
一组对边所包
矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
)
．已知：圆内< br>接四边形
ABCD
，求证：
AC
·
BD
＝
A B
·
CD
＋
AD
·
BC
．
证明：如图
1
，过
C
作
CP
交
BD
于
P
，使∠
1=
∠
2
，又∠
3=
∠
4
，∴△
ACD
∽△
BCP
．得
AC
：
BC=AD
：
BP
，
AC
·
BP= AD
·
B
C
①。又∠
ACB=
∠
DCP
，∠
5=
∠
6
，∴△
ACB
∽△
DCP
． 得
AC
：
C
D=AB
：
DP
，
AC
·
DP=AB
·
CD
②。①＋②得
AC(BP
＋
DP)=
AB
·
CD
＋
AD
·
BC< br>．即
AC
·
BD=AB
·
CD
＋
AD
·
BC
．
推论
1.
任意凸四边形
ABCD
， 必有
AC
·
BD
≤
AB
·
CD+AD
·< br>BC
，
当且仅当
ABCD
四点共圆时取等号。
2.
托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对
边乘积 的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于
一圆、
推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一
组对边的乘积，取 等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b
-d)
，两边取模，
得不等式
AC
·
BD
≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB
·
CD+B
C·
AD
注意：
1.
等号成立的条件是
(a-b)(c-d)
与
(a-d )(b-c)
的辐角相等，
这与
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆等价。
2.
四点不限于同一平面。
欧拉定理：在 一条线段上
AD
上，顺次标有
B
、
C
两点，
则AD
·
BC+AB
·
CD=AC
·
BD
塞瓦定理
简介
塞瓦（
Giovanni
Ceva
，1648
～
1734
）意大利水利工程师，
数学家。
塞瓦定理载 于塞瓦于
1678
年发表的
《直线论》
一书，
也有书中说塞瓦定理是 塞瓦重新发现。
具体内容
塞瓦定理
在△
ABC
内任取一点
O
，
直线
AO
、
BO
、
CO
分别交对边于< br>D
、
E
、
F
，则
(BD/D
C)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△
ADC
被直线
BOE
所截，
∴
(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
①
而由△
ABD
被直线
COF
所截，
∴
(BC/CD)*(DO/OA)*(AF
/FB)=1
②
②÷①
:
即得：
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵
BD/DC=S
△
ABD/S
△
ACD=S< br>△
BOD/S
△
COD=(S
△
ABD-S
△
BOD)/(S
△
ACD-S
△
COD)=S
△
AOB/ S
△
AOC
③
同理
CE/EA=S
△
BOC/
S
△
AOB
④
AF/FB=S
△
AOC/S
△
BOC
⑤
③×④×⑤得
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点
:
设 三边
AB
、
BC
、
AC
的垂足分别为
D
、
E
、
F
，
根据塞瓦定理 逆定理，因为
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=
[(CD*ctgA
）
/[(CD*ctgB
）
]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[ (BF*ctgC)
/[(BF*ctgA)]=1
，所以三条高
CD
、AE
、
BF
交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理
;
三角形三条中线交于一点（重心）
:
如图
5
D
,
E
分别为
BC
,
AC
中点
所以
BD=DC
AE=EC
所以
BD/DC=1
CE/E
A=1
且因为
AF=BF
所以
AF/FB
必等于
1
所以
AF=FB
所以
三角形三条中线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线上分 别取
L
、
M
、
N
三点，又分比是λ
=BL/LC< br>、μ
=CM/MA
、ν
=AN/NB
。于
是
AL、
BM
、
CN
三线交于一点的充要条件是λμν
=1
。 （注意
与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν
=-1
）
塞瓦定理推论
1.
设
E
是△
ABD
内任意一点，
AE
、
BE
、
DE
分别交对 边
于
C
、
G
、
F
，则
(BD/BC)*( CE/AE)*(GA/DG)=1
因为
(BC/CD)* (DG/GA)*(AF/FB)=1
，
（塞瓦定理）所以
(BD/CD) *(CE/AE)*(AF/FB)=K
（
K
为未知参数）
且
(BD /BC)*(C
E/AE)*(GA/DG)=K
（
K
为未知参数）
又由梅涅劳斯定理得：
(B
D/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
所以
(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
2.
塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF
交于一点的充分必要条件是：
< br>(sin
∠
BAD/sin
∠
DAC)*(sin
∠
ACF/sin
∠
FCB)*(sin
∠
CBE/sin
∠
EBA)=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
3.
如图，对于圆周上顺次
6
点
A,B,C, D,E,F
，直线
AD,B
E,CF
交于一点的充分必要条件是：
(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关
系易证。
4.
还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边
AB
、
BC
、
AC
的垂足分别为
D
、
E
、
F
，根据塞瓦
定理逆定
理，因为
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA
）
/[(CD*ctgB
）
]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*c tgC)/[(AE*ctgB)
]=1
，所以三条高
CD
、
AE< br>、
BF
交于一点。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯（
Menelaus
）定理 （简称梅氏定理）是由古希腊数学
家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△
ABC< br>的三边
AB
、
BC
、
CA
或其延长线交于
F
、
D
、
E
点，那么
(AF/FB)
×
(B D/
DC)
×
(CE/EA)=1
。
或：设
X< br>、
Y
、
Z
分别在△
ABC
的
BC
、
CA
、
AB
所在直线上，则
X
、
Y
、Z
共线的充要条件是
(AZ/ZB)*(BX/X
C)*(CY/YA)=
证明一：
过点
A
作
AG
∥
BC
交
DF
的延长线 于
G,
则
AF/FB=AG/BD
,
BD/DC=BD/DC
,
CE/EA=DC/AG
。
三式相乘得：
(AF/FB)
×
(BD/D C)
×
(CE/EA)=(AG/BD)
×
(B
D/DC)
×
(DC/AG)=1
证明二：
过点< br>C
作
CP
∥
DF
交
AB
于
P
，则
BD/DC=FB/PF
，
CE/
EA=PF/AF
所以有
AF/FB
×
BD/DC
×
C E/EA=AF/FB
×
FB/PF
×
PF/AF=
1
它的逆定理也成立：若有三点
F
、
D
、
E
分别在△
ABC
的
边
AB
、
BC
、< br>CA
或其延长线上，
且满足
(AF/FB)
×
(BD/DC)
×
(C
E/EA)=1
，则
F
、
D
、E
三点共线。利用这个逆定理，可以判
断三点共线。
梅涅劳斯
(Menelaus)
定理
证明三：
过
ABC
三点向三边引垂线
AA'BB'CC'
，
所以
AD
：
DB=AA'
：
BB'
，
BE
：
EC=BB'
：
CC'
，
CF
：
F
A=CC'
：
AA'
所以
(AF/FB)
×
(BD/DC)
×
(CE/EA)= 1
证明四：
连接
BF
。
（
AD：
DB
）·（
BE
：
EC
）·（
CF:FA)
=
（
S
△
ADF
：
S
△
BDF
）·（
S
△
BEF
：
S△
CEF
）·（
S
△
BCF
：
S
△< br>BAF
）
=
（
S
△
ADF
：
S
△
BDF
）·（
S
△
BDF
：
S
△
CDF
）·（
S
△
CDF
：
S
△
ADF
）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线上分别取
L
、
M
、
N
三点，又分比是λ
=BL/LC
、μ
=CM/MA
、ν
=AN/NB
。于
是< br>L
、
M
、
N
三点共线的充要条件是λμν
=1
。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若
E
，
F
，
D
三点共线，则
(sin
∠
ACF/sin
∠
FC B)(sin
∠
BAD/sin
∠
DAC)(sin
∠
CB A/sin
∠
ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点< br>O
，且
EDF
共线，则（
sin
∠
AOF/sin< br>∠
FOB)(sin
∠
BOD/sin
∠
DOC)(sin< br>∠
COA/sin
∠
AOE)=1
。
(O
不与
点
A
、
B
、
C
重合
)
记忆
ABC
为三个顶点，
DEF
为三个分点
(AF/FB)
×
(BD/DC)
×
(CE/EA)=1
（顶到分
/
分到顶）
*
（顶到分< br>/
分到顶）
*
（顶到分
/
分到顶）
=1
空间感好的人可以这么记：
（上
1/
下
1）
*
（整
/
右）
*
（下
2/
上
2
）
=1
实际应用
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图 中
的
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
是六个旅游景点，各景点之间有公路
相连。我们乘直升机飞到这些景点 的上空，然后选择其中的
任意一个景点降落。
我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，
最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不 必考虑怎样走路程最短，
只要求必须“游历”了所有
的景点。只“路过”而不停留观赏的景点， 不能算是“游历”。
例如直升机降落在
A
点，我们从
A
点出发，“游历”了其
它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点
A
。
另外还有一个要求，就是同一直线上 的三个景点，必须
连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从
A
点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案
①
——从
A
经过< br>B
（不停留）到
F
（停留），再
返回
B
（停留），再 到
D
（停留），之后经过
B
（不停留）到
C
（停留），再到
E
（停留），最后从
E
经过
C
（不停留）回
到出发 点
A
。
按照这个方案，可以写出关系式：
（
AF
：
FB
）
*
（
BD
：
DC
）*
（
CE
：
EA
）
=1
。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从
A
点出发的旅游方案还有：
方案
②
——可以简记为：
A
→B
→
F
→
D
→
E
→
C
→A
，由此
可写出以下公式：
（
AB
：
BF
）
*
（
FD
：
DE
）
*
（
EC
：
CA
）
=1
。从
A
出发
还可以向“
C
”方向走，于是有：
方案
③
——
A
→
C
→
E
→
D
→
F
→
B
→
A
，由此可写出公式：
（
AC
：
CE
）
*
（
ED
：
DF
）
*< br>（
FB
：
BA
）
=1
。
从
A
出发
还有最后一个方案：
方案
④
——
A
→
E
→
C
→
D
→
B
→
F
→
A
，由此写出公式：
（
AE
：
E C
）
*
（
CD
：
DB
）
*
（BF
：
FA
）
=1
。
我们的直升机还可以选择在
B
、
C
、
D
、
E
、
F
任一点降
落，因此就有了图中的另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅
涅劳斯定理”中 的三项。当直升机降落在
B
点时，就会有四项
因式。而在
C
点和F
点，既会有三项的公式，也会有四项的
公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。< br>
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一
两个典型的公式给我们看看。
还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个
交点比 上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，
它们的乘积为
1.
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了
解呢。那些复杂的相除相乘的 关系式，不会再写错或是记不
住吧。
西姆松定理
西姆松定理图示
西姆松定理是一个几何定理。
表述为：
过三角形外接圆上异于三
角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称
为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所
在直线上的射影共线，则该点在此三角 形的外接圆上。
西姆松定理说明
相关的结果有：
（
1
）称三角形的垂心为
H
。西姆松线和PH
的交点为线
段
PH
的中点，且这点在九点圆上。
（
2
）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（
3
）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一 点
P
对应两者的西姆松线的交角，跟
P
的位置无关。
（
4
）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要
条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明
证明一：
△
ABC
外接圆上有点
P
，且
PE
⊥
AC
于
E
，
PF
⊥
AB
于
F
，
PD
⊥
BC
于
D
，分别连
D E
、
DF.
易证
P
、
B
、
F
、
D
及
P
、
D
、
C
、
E
和
A
、
B
、
P
、
C
分别
共圆，于是∠
FDP=
∠
ACP
①，（∵都是∠
ABP
的补角）
且∠
P
DE=
∠
PCE
②
而∠
ACP+
∠
PCE=180
°
③
∴∠
FDP+
∠
PDE=180
°
④
即
F
、
D
、
E
共线
.
反之，当
F
、
D
、
E
共线时，由④
→②→③→①可见
A
、
B
、
P
、
C
共圆
.
证明二：
如图，若
L
、
M
、
N
三点共线，连结
BP
，
CP
，
则因
P L
垂直于
BC
，
PM
垂直于
AC
，
PN< br>垂直于
AB
，有
B
、
P
、
L
、N
和
M
、
P
、
L、
C
分别四点共圆，有
∠
PBN
=
∠
PLN
=
∠
PLM
=
∠
PCM.
故
A
、
B
、
P
、
C
四点共圆。
若
A
、
B
、
P
、
C
四 点共圆，则∠
PBN
=
∠
PCM
。因
PL
垂直 于
BC
，
PM
垂直于
AC
，
PN
垂直于< br>AB
，有
B
、
P
、
L
、
N
和
M
、
P
、
L
、
C
四点共圆，有
∠
PBN
=
∠
PLN
=
∠
PCM=
∠
PLM.
故
L
、
M
、
N
三点共线。
相关性质的证明
连
AH
延长线交圆于
G,
连
PG
交西姆松线与
R,BC
于
Q
如图连其他相关线段
AH
⊥< br>BC,PF
⊥
BC==>AG//PF==>
∠
1=
∠
2
A.G.C.P
共圆
==>
∠
2=
∠
3
PE
⊥
AC,PF
⊥
BC==>P.E.F. C
共圆
==>
∠
3=
∠
4
==>
∠
1=
∠
4
PF
⊥
BC
==>PR=RQ
BH
⊥
AC,AH
⊥
BC==>
∠< br>5=
∠
6
A.B.G.C
共圆
==>
∠
6=
∠
7
==>
∠
5=
∠
7
AG
⊥
BC==>BC
垂直平分
GH
==>
∠
8=
∠
2=
∠
4
∠
8+
∠
9=90,
∠
1 0+
∠
4=90==>
∠
9=
∠
10
==>HQ//DF
==>PM=MH
第二个问，平分点在九点圆上，如图：设
O,G,H
分别为
三角形
ABC
的外心，重心和垂心。
则
O
是
,
确定九点圆的中点三角形
XYZ
的垂心，而
G
还
是它的重心。