答辩状范文-高一数学必修一

2021年1月29日发(作者：巨海豚)

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（
A
）卷

【小高组】

一、填空题（每小题
10
分
,
共
80
分）

1.
计算
:
7


2
.
4

1

4


1
1

3

2
3


7

______
.
10



2.

中国北京在
2015
年
7
月
31
日获得了
2022
年第
24
届 冬季奥林匹克运动会的主办权
.
预定该届冬奥
会的开幕时间为
2022
年
2
月
4
日
,
星期
_______.
（ 今天是
2016
年
3
月
12
日
,
星期六）






ABC

85o
，

BCA

45
o
，

DBC

20
o
，则
AD=_______
厘米
.
3.
右图中
,AB=5
厘米
,





4.
在
9×
9
的格子纸上
,1×1
小方格的顶点叫做格点
.
如右图
,
三角形
ABC的三个顶点都是格点
.
若一个格点
P
使得三角形
PAB
与三角形
PAC
的面积相等
,
就称
P
点为
“
好点
”.
那么在这张格子纸上共有
_______
个
“
好 点
”.

对于任意一个三位数
n,
用
对于任意一个三位数< br>n,
用
表示删掉
n
中为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
表示删掉
n
中
于任意一个三位数
n ,
用
n,
表示删掉
n
中为
n
0
中为
的数位得到的数
.
例如
n=102
对于任意一个三位数
用
表示删掉
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
对于任意一个 三位数
对于任意一个三位数
n,
用
对于任意一个三位数
表示删掉n
n,
中为
用
0
表示删掉
的数位得到的数
n,
用
表示删掉
n
的约数的三
中为
0
.
例如< br>的
n
任意一个三位数
对于任意一个三位数
n,
时
用< br>n=12.
对于任意一个三位数
表示删掉
n
n,
中为
用
0
表示删掉
的数位得到的数
n,
用
表示删掉
n< br>的约数的三位数
中为
0
.
例如
的数位得到的数
n中为
n=102
0
n
的数位得到的数
.
例如
n =102
.
例如
n=102
时
n=12.
那么满足
n且
n
是
n
那么满足
n且
n是
n
有个
_______.
对于任意一个三位数
个三位数
n
n,
中为
用
0
表示删掉
的数位得到的数
n,< br>用
表示删掉
n
中为
.
中为
例如
的数位得到的 数
n
中为
n=102
.
例如
n=102
.
例如
n=102
任意一个三位数
,
表示删掉
用
n=12.< br>对于任意一个三位数
表示删掉
n
n,
中为
用
表示删掉
的数位得到的数
n,
用
表示删掉
n
0
0
.
例如
的数位得到的数
n
0
中为
n=102
0
n
的数位得到的数
.
例如
n=102
.
例如
n= 102
=12.
那么满足
n且
n
0
是
n
的约数的三位数
n
的数位得到的数
有个
_______.
时
那么满足
n且
n
是
n
的约数的三位数
有个
_______.
时
n=12.
时
nn=12.
且
n
时
那么满足
n
有个
是
n=12.n
_______.
的约数的三位数
那么满足
n且
n
n是
n
n
且
的约数的三位数
有个
n
是
_______.
n
的约数的
n
2.
那么满足< br>时
nn=12.
且
时
那么满足
n
是n=12.
n
的约数的三位数
那么满足
n且
nn是
n
n
且
的约数的三位数
有个
n
是
_______.
n
那么满足
的约数的三位数
n
有个< br>_______.
是
么满足
n=12.
n
时
的约数的 三位数
那么满足
n且
n
n是
n
n
且
的约数的三位数
有个
n
n
是
_______.< br>n
n
的约数的三位数
n
有个
_______.
n有个
_______.
12.
且
那么满足
n
是
n=12.
n
的约数的三位数
那么满足
n且
n
n是
n
且
的约数的三位数
有个
是
______ _.
n
的约数的三位数
n
有个
_______.
n
有个
_______.
对于任意一个三位数
n,
用
对于任意一个三位 数
n,
用
表示删掉
n
中为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
表示删掉
n
中为

任意一个三 位数
n,
用
n,
表示删掉
n
中为
的数位得到的数< br>.
例如
n=102
对于任意一个三位数
用
表示删掉
n
0
中为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
时
n
有个
=12.
那么满足
，那么满
且是
n
的约数的
时
=12.
那么满足
且n
是
n
的约数的三位数
_______.
5.
对于任意 一个三位数
n
，用

n


表示删掉
中为
0
的数位得到的数，例如
n=102
时，

n


=12
=12.
且
是
n
的约数的三 位数
有个
_______.
时
那么满足
=12.
那么满足< br>且
是
n
的约数的三位数
n
有个
足

n


，


且是n
的约数的三位数
n
有
n
_______
个

_______.
n



6.

共有< br>12
名同学玩一种扑克游戏
,
每次
4
人参加
,
且任意
2
位同学同时参加的次数不超过
1.
那么他们
最多可以玩< br>_______
次
.


7.

如果2

3
8
能表示成
k
个连续正整数的和
,则
k
的最大值为
_______.






8.
两把小尺与一把大尺组成套尺
,
小尺可以沿着大尺 滑动
.
大尺上每一个单位都标有自然数
,
第一把小尺
将大尺上的11
个单位等分为
10,
第二把小尺将大尺上
9
个单位等分为< br>10,
两把小尺的起点都为
0,
都分
别记为
1
至10.
现测量
A,B
两点间距离
,A
点在大尺的
0单位处
,B
点介于大尺的
18
与
19
单位之间
;
将第
一把小尺的
0
单位处于
B
点时
,
其 单位
3
恰好与大尺上某一单位相合
.
如果将第二把小尺的
0
单位处置
于
B
点
,
那么第二把小尺的第
_______个单位恰好与大尺上某一单位相合
.



二、解答下列各题 （每题
10
分
,
共
40
分
,
要求写出简要 过程）

9.
复活赛上
,
甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决 赛的名额
.
投票人数固定
,
每票必须投给甲乙二
人之一
.< br>最后
,
乙的得票数为甲的得票数的
甲乙所得的票数
.


10.

如右图
,
三角形
ABC
中,AB=180
厘米
,AC=204
厘米
,D,F
是
A B
上的点
,E,G
是
AC
上的点
,
连结
C D,DE,EF,FG,
将三角形
ABC
分成面积相等的五个小三角形
.则
AF+AG
为多少厘米
?
20
,
甲胜出
.
但是
,
若乙得票数至少增加
4
票
,
则可胜甲
.
请计算
21



11.

某水池有 甲、
乙两个进水阀
.
只打开甲注水
,10
小时可将空水池注满
;
只打开乙
,15
小时可将空水池注
满
.
现要求
7
个小时将空水池注满
,
可以只打开甲注水若干小时
,
接着只打开乙 注水若干小时
,
最后同时打
开甲乙注水
.
那么同时打开甲乙的时间是 多少小时
?


12.

将一个五边形沿一条直线剪成两 个多边形
,
再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分
,
得到了三
个 多边形
,
然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分
,…,
如此下去
.
在得到的多边形中要有
20
个五
边形
,
则最少剪多少次
?



三、解答下列各题（每小题
15
分，共
30
分，要求写出详细过程）

13.
如右图
,
有 一张由四个
1×
1
的小方格组成的凸字形纸片和一张
5×
6
的方格纸
.
现将凸字形纸片粘到方
格纸上
,
要求凸字形纸片的每个小 方格都要与方格纸的某个小方格重合
,
那么可以粘出多少种不同的图
形
?(< br>两图形经旋转后相同看作相同图形
)

14.

设
n
是正整数
.
若从任意
n
个非负整数中一定能找到四个不同的数a,b,c,d
使得
a+b-c-d
能被
20
整除
,< br>则
n
的最小值是多少
?



第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（
A
）卷

参考答案【小高组】


一、填空题（每小题
10
分
,
共
80
分）

1.
解析：
【知识点】四则混合运算

原式

22
12
5
10

(


4
)

3
5
3
17
22
136
10



3
15
17

22
16


3
3

2
2.
解析：
【知识点】周期问题

从
2016
年
3
月
12
日到
2022
年
3
月
12
日，所经过的天数为
365×
6+1= 2191
天，相比
2022
年
2
月
4
日，多算了< br>36
天，则从
2016
年
3
月
12
日到2022
年
2
月
4
日，经过的天数为
2191-36= 2155
天，
2155÷7=307……6
，星期六往后数六天是星期五；

所以开幕时间在星期五。



3.
解析：
【知识点】平面几何


ABC
85
o
，

DBC

20
o
，则
ABD

65
o
，

BCA
45
o
，则

BDC

180
o
< br>45
o

20
o

115
o
，
o
o
则

ADB

65
，那么
ABD


ADB

65
，则
AD

AB

5
cm

4.
解析：
【知识点】几何计数

由于
AB
2
AC
，
要使得
S

PAB

S
PAC
，
必须使点
P
到
AC
的距离是到AB
距离的
2
倍，
又因为
AB

AC
，
所以延长
AC
和
AB
，然后做长
:
宽
= 2:1
的长方形，一个长方形就对应一个好点，如图，总共有
6
个好
点。

5.
解析：
【知识点】计数


一个三位 数
对于任意一个三位数
n,
时
用
n=12.
对于任意一个三 位数
表示删掉
n
n,
中为
用
0
表示删掉
的 数位得到的数
n,
用
表示删掉
n
的约数的三位数
中为
0
.
例如
的数位得到的数
n
中为
n=102
0< br>n
的数位得到的数
.
例如
n=102
.
例如
n=102
那么满足
n且
n
是
n
有个
_______.
对于任意一个三位数
n,
用
表示删掉
n
中 为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
那么满足
时
nn=12.
且
时
那么满足
n
是
n= 12.
n
的约数的三位数
那么满足
n且
n
n< n
是
n
n
且
的约数的三位数
有个
n
是_______.
n
的约数的三位数
n
有个
_______.< br>n
有个
_______.
一个三位数
对于任意一个三位数
n,
时
用
n=12.
对于任意一个三位数
表示删掉
n
n ,
中为
用
0
表示删掉
的数位得到的数
n,
用
表示删掉
n
的约数的三位数
中为
0
.
例如
的数位 得到的数
n
中为
n=102
0
n
的数位得到的数
.
例如
n=102
.
例如
n=102
那么满足
n且
n
是
n
有个
_______.

【知识 点】计数
于任意一个三位数
n,
用
表示删掉
n
中为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
那么满足
时
n n=12.
且
时
那么满足
n
是
n=12.n
的约数的三位数
那么满足
n且
n
n 是
n
n
且
的约数的三位数
有个
n
是
___ ____.
n
的约数的三位数
n
有个
_______.
n< br>有个
_______.
abc
(
a

0
)< br>=12.
那么满足
则三位数
且
是
n
n< br>有个
_______.
由于
n
n
的约数的三位 数
里面必然有
0
，设三位数为
，
对于任意一个三位数
n,< br>用
表示删掉
n
中为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
b

c

0
时，
时
= 12.
那么满足
且
是
n
的约数的三位数
当n=100
n
,a=1,2,3,4,5,6,7,8,9,
共
9
个；
n
有个
_______.
对于任意一个三位数
n,
用
表示删掉
n
中为
0
的数位得到的数
.
例如
n=102
c

0
,
b

0
时，
=12.
那么满足
9
且
是
n
的约数的三位数< br>n
有个
_______.
当
时
n=10
n
， 共
×
9=81
个；
当
b

0
,
c

0
时，
要求
100
a

c
是< br>10
a

c
的倍数，
那么它们的差
90
a< br>也是
10
a

c
的倍
数，得到的两位数
ac
是
90
的因数，只有
185,18,45
三个；
所以满足条 件的三位数总共有
9+81+3=93
个。
6.
解析：
【知识点】极 值问题

将这
12
名同学分别编号为
1~12
，对于一名同 学来说，最多只能玩
3
次，比如：
1
和
2,3,4
玩一次， 再
和
5,6,7
玩一次，再和
8,9,10
玩一次，这样
1 2
名同学，最多玩
36
人次，而每次需要
4
名同学，则最
多 可以玩
9
次。

7.
解析：
【知识点】数论
k
个连续正整数构成等差数列，设这
k
个连续正整数分别为
n
,
(
n

1
),
(
n

2
)



(
n

k

1
)
，则这
k
个数
的和为

n

n

k

1
(
2
n

k

1
)
(
2
n

k

1
)
k

k
，令
k

2

3
8

(
k

2
n

1
)
k

2
2

3
8
，

2
2
2
(
k

2
n

1
)
和
k
的奇偶性相反，
2
2
只能分在同一组，当
(
k

2
n

1
)
和
k
最接近，即
2
n

1
最小时，
k
可
以取到最大值，
2< br>2

3
8

2
2

3
3< br>
3
5
，
(
k

2
n
< br>1
)

3
5

243
，
k

2
2

3
3

108
；

则
k
的最大值为
108.
8.
解析：
【知识点】组合题

第一把小尺的单位长度是大尺的在大尺刻度的
3
11
11
33
33
3
，
三个单位长度对应大尺的

3

，

1

3






，
则
B
点
10
10
10
10
10
3
处；
10
第二把小尺单位长度是大尺的
9
3

9

，
那么要求


n


1
的余数也要是< br>，解得
n

7
，即第二把小尺
10
10
< br>10

的第
7
个单位恰好与大尺的某一单位对齐。

二、解答下列各题（每题
10
分
,
共
40
分
,要求写出简要过程）



9.
解析：
【知识点】计数

因为投票人数是一定的，所以甲乙二人得到的总票数是一定的；

设甲得到的票数为< br>21
x
，则乙得到的票数为
20
x
，总的票数为
41
x
；

根据题意可以得到，
21
x

4< br>
20
x

4

x

8

当
x

7
时，甲得
147
票，乙的
140
票，满足乙至少增加
4
票才能胜甲；

当
x
6
时，甲得
126
票，乙的
120
票，满足乙至少增加
4
票才能胜甲；

当
x

5
时，甲得
10 5
票，乙的
100
票，乙增加
3
票就能胜甲，不满足题意；

当
n

5
时，乙要想战胜甲，所要多得的票数都小于
4，所以符合题意的
x
的取值只有
6
和
7
，
< br>所以甲乙两人所得票数为
147
票，
140
票或
126
票，
120
票。

10.
解析：
【知识点】平面几何，等高模型

S

BCD
1
1
1

，则
BD

AB


180

36
cm
，
AD

180

36

144
cm
；

S
ABC
5
5
5
S

CDE
1
1
1

，则
CE

AC


2 04

51
cm
，
AE

204

51

153
cm
；

S

ACD4
4
4
S

AEF
2
2
2

，则
AF

AD


144

9 6
cm
；

S

ADE
3
3
3< br>S

EFG
1
1

，则
EG
AG


153

76
.
5
cm；

S

AGF
1
2
则
AF

AG

96

76
.
5

17 2
.
5
cm

11.
解析：
【知识点】工程问题

设总水量为
1
，
那么甲的注水效率为
1
1
1
1
1
，
乙的 注水效率为
，
甲乙合起来的注水效率为


；

1 0
15
10
15
6
设甲单独注水时间为
x
，乙单独 注水时间为
y
，同时打开甲乙的注水时间为
7

x

y
；

根据题意，可列出方程：
化简得到
2
x

3
y

5

12.
解析：
【知识点】操作类

如图所示，剪两次，可以增加一个 五边形，总共增加了
19
个五边形，那么一共需要剪
19

2

38
次；

1
1
1
x

y< br>
(
7

x

y
)

1< br>
10
15
6



三、解答下列各题（每 小题
15
分，共
30
分，要求写出详细过程）

13.
解析：
【知识点】计数

将凸字形纸片上面凸出来的部分作为 研究对象，如图，将其染成红色，便于区分，它可以粘在方格纸
外围一圈，四个角除外，也可以粘在里面 ；

第一种情况，粘在外围一圈，总共有
4

2

3

2

14
种粘贴方法；

第二种情况，粘在里 面，有上、下、左、右之分，一共是
12

4

48
种；< br>

14

48

62
种，但是向上和向下 旋转后可以看做是相同的，同样，向左和向右旋转后也可以看做是相
同的，那么总共有
62
2

31
种不同的粘贴方法。

14.
解析：
【知识点】数论

任意正整数除以
20
，
其余数只有
20
种可能，
即
0~19
，
设a
、
b
、
c
、
d
除以
20
的 余数分别是
A
、
B
、
C
、
D
，则
A+B-C-D=0
；

最不利的情况为其中三个余数相等，不妨设这三个余数为0
，当其余余数分别为
1
、
2
、
4
、
8
、
16
时都
无法使得
A+B-C-D=0
；
< br>即再增加一个数时能满足
A+B-C-D=0
，所以
n
的最小值为9.









第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（
B
）卷

【小高组】


一、填空题（每小题
10
分
,
共
80
分）

3



1

11
4
5


2
.
4

_____
.
1.
计算
:




7
3
7

6
13



5

9





2.
如右图
,30
个棱长为
1的正方体粘成一个四层的立体
,
这个立体的表面积等于
_______.


3.

有一片草场
,10
头牛
8
天可以 吃完草场上的草
;15
头牛
,
如果从第二天开始每天少一头
,
可以
5
天吃完
.
那么草场上每天长出来的草够
_______头牛吃一天
.




4.
如右图所示
,
将一个三角形纸片
ABC
折叠
,
使得点
C
落在 三角形
ABC
所在平面上
,
折痕为
DE.
已知
< br>ABE

74
o
,

DAB

70
o
,

CEB

20
o
,
那么< br>
CDA
等于
_______.

F



5.
甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发
,
背向而 行
.
已知甲骑行一圈的时间是
70
分钟
,
出发后第
45
分钟甲、乙二人相遇
,
那么乙骑行一圈的时间是
_______
分钟
.




6.
如右图
,
正 方形
ABCD
的边长为
5,E,F
为正方形外两点
,
满足< br>AE=CF=4,BE=DF=3,
那么
EF
2

_____ __.


7.
如果
2

3
8
能 表示成
k
个连续正整数的和
,
则
k
的最大值为
__ _____.





8.
现有算式
:
甲数
□
乙数
○
１
,
其中
□,○
是 符号
+,
-
,×,÷
中的某两个
.
李雷对四组甲数、
乙数进行了计算
,
结果见
右表
,
那么
,A○B=____ ___.








< br>二、解答下列各题（每题
10
分
,
共
40
分
,
要求写出简要过程）

9.
计算
:

1


2
2
2


3
3
3


1
1

2014
2014

2015



































2
3
2016
34
2016
4
5
2016
2015
2016








2016





10.

商店春节促销
,
顾客每次购物支付现金时
,
每
100
元可得一张价值
50
元的代金券
.
这些代金券不能兑
成现金
,
但可以用来购买商品
,
规则是
:
当次购物得到的代金券不能当次使用
;
每次购物支付的 现金不少
于购买商品价值的一半
.
李阿姨只有不超过
1550
元的现 金
,
她能买到价值
2300
元的商品吗
?
如果能
,
给她
设计一个购物方案
;
如果不能
,
说明理由
.< br>



11.
如右图
,
等腰直角三角形< br>ABC
与等腰直角三角形
DEF
之间的面积为
20,BD=2,EC= 4,
求三角形
ABC
的面积
.


11.

试找出这样的最大的五位正整数
,
它不是
11
的倍数
,通过划去它的若干数字也不能得到可被
11
整除
的数
.








三、解答下列各题（每小 题
15
分，共
30
分，要求写出详细过程）

13.
如右图
,
正方形
ABCD
的面积为
1,M
是
CD
边的中点
,E,F
是
BC
边上的两点
,
且
BE=EF=FC.
连接
AE,DF
分别交
BM
分别于
H, G.
求四边形
EFGH
的面积
.


14.
现有下图左边所示的
“
四连方
”
纸片五种
,
每种的数量足 够多
.
要在如下图右边所示的
5×5
方格网上
,
放
“
四连方
”,“
四连方
”
可以翻转
,“
四连方”
的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合
,
任意两个
“
四
连方
”
不能有重叠部分
.
那么最少放几个
“
四连方
”
就不能再放了
?

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