勾股定理16种证明方法
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2021年01月29日 14:42
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突兀森郁-鞭策的意思
整理者：辛国庆
电话：
勾股定理的证明
【证法
1
】
（课本的证明）
a
b
b
a
a
a
c
a
a
c
b
c
a
b
b
c
b
c
b
b
c
a
a
a
b
b
做
8
个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分 别为
a
、
b
，斜边长为
c
，再做
三个边长分别为< br>a
、
b
、
c
的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是
a + b
，所以面积相等
.
即
1
1
a
2
b
2
4
ab
c
2< br>
4
ab
2
2
，
整理得
a
2
b
2
c
2
.
【证法
2
】
（邹元治证明）
以
a
、
b
为直角边，以
c
为斜边做四个全等的直 角三角形，则每个直角三角形的面积
1
ab
等于
2
.
把这四个直角三角形拼成如图所示形状，
使
A
、
E
、
B
三点在一条直线上，
B
、
F
、
C
三点在一条直线上 ，
C
、
G
、
D
三点在一条直线上
.
∵
Rt
Δ
HAE
≌
Rt
Δ
EBF,
G
D
b
∴
∠
AHE =
∠
BEF
.
a
∵
∠
AEH +
∠
AHE = 90
º
,
c
∴
∠
AEH +
∠
BEF = 90
º
.
H
∴
∠
HEF = 180
º―
90
º
= 90
º
.
c
∴
四边形
EFGH
是一个边长为
c
的
b
正方形
.
它的面积等于
c
2
.
a
∵
Rt
Δ
GDH
≌
Rt
Δ
HAE,
A
E
∴
∠
HGD =
∠
EHA
.
∵
∠
HGD +
∠
GHD = 90
º
,
∴
∠
EHA +
∠
GHD = 90
º
.
又∵
∠
GHE = 90
º
,
∴
∠
DHA = 90
º
+ 90
º
= 180
º
.
a
C
b
c
F
c
b
a
B
2
a
b
∴
ABCD
是一个边长为
a + b
的正方形，它的面积等于
.
2
∴
.
∴
a
b
c
.
【证法
3
】
（赵爽证明）
a
b
2
4
1
ab
c2
2
2
2
D
b
a
G
邮箱：
F
@
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1
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9
C
H
E
c
A
整理者：辛国庆
电话：
以
a
、
b
为直角边（
b>a
）
，
以
c
为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1
ab
2
三角形的面积等于
.
把这四个直角三
角形拼成如图所示形状
.
∵
Rt
Δ
DAH
≌
Rt
Δ
ABE,
∴
∠
HDA =
∠
EAB
.
∵
∠
HAD +
∠
HAD = 90
º，
∴
∠
EAB +
∠
HAD = 90
º，
∴
ABCD
是一个边长为
c
的正方形，它的面积等于
c
2
.
∵
EF = FG =GH =HE = b
―
a ,
∠
HEF = 90
º
.
2
b
a
∴
EFGH
是一个边长为
b
―
a
的正方形，它的面积等于
.
1
2
4
ab
b
a
c
2
∴
2
.
∴
a
b
c
.
【 证法
4
】
（
1876
年美国总统
Garfield
证明）
以
a
、
b
为直角边，以
c
为斜 边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
1
ab
积等于
2
.
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使
A
、
C
E
、
B
三点在一条直线上
.
2
2
2
∵
Rt
Δ
EAD
≌
Rt
Δ
CBE,
D
∴
∠
ADE =
∠
BEC
.
∵
∠
AED +
∠
ADE = 90
º
,
a
∴
∠
AED +
∠
BEC = 90
º
.
∴
∠
DEC = 180
º―
90
º
= 90
º
.
A
∴
Δ
DEC
是一个等腰直角三角形，
c
b
E
c
a
b
B
1
2
c
2
它的面积等于
.
又∵
∠
DAE = 90
º
,
∠
EBC = 90
º
,
∴
AD
∥
BC
.
1
a
b
2
∴
ABCD
是一个直角梯形，它的面积等于
2
.
1
a
b
2
2
1
ab
1
c
2
2
2
.
∴
2
∴
a
b
c
.
【证法
5
】
（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a
、
b
，斜边长为
c
.
把它
们拼成如图那样的一个多边形，使
D
、
E
、
F
在一条直线上
.
过
C
作
AC
的延长线交
DF
于
邮箱：
@
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9
2
2
2
整理者：辛国庆
电话：
点
P
.
∵
D
、
E
、
F
在一条直线上
,
且
Rt
Δ
GEF
≌
Rt
Δ
EBD,
∴
∠
EGF =
∠
BED
，
∵
∠
EGF +
∠
GEF = 90
°，
F
∴
∠
BED +
∠
GEF = 90
°，
b
a
∴
∠
BEG =180
º―
90
º
= 90
º
.
又∵
AB = BE = EG = GA = c
，
G
E
c
∴
ABEG
是一个边长为
c
的正方形
.
P
∴
∠
ABC +
∠
CBE = 90
º
.
b
b
C
∵
Rt
Δ
ABC
≌
Rt
Δ
EBD,
c
c
∴
∠
ABC =
∠
EBD
.
D
H
a
a
b
a
∴
∠
EBD +
∠
CBE = 90
º
.
c
即
∠
CBD= 90
º
.
B
A
又∵
∠
BDE = 90
º，∠
BCP = 90
º，
BC = BD = a
.
∴
BDPC
是一个边长为
a
的正方形
.
同理，
HPFG
是一个边长为
b
的正方形
.
设多边形
GHCBE
的面积为
S
，则
1
a
2
b
2
S
2
ab
,
2
1
c
2
S
2
ab
2
,
∴
a
b
c
.
【证法
6
】
（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设 它们的两条直角边长分别为
a
、
b
（
b>a
）
，斜边长为
c
.
再做一个边长为
c
的正方形
.
把它们拼成如图所示的多边形，使
E
、
A
、
C
三点 在一条
E
直线上
.
b
过点
Q
作
QP∥
BC
，交
AC
于点
P
.
a
过点
B
作
BM
⊥
PQ
，垂足为
M
；再过点
c
A
F
F
作
FN
⊥
PQ
， 垂足为
N
.
P
∵
∠
BCA = 90
º，
QP
∥
BC
，
b
∴
∠
MPC = 90
º，
M
c
c
C
∵
BM
⊥
PQ
，
N
∴
∠
BMP = 90
º，
a
∴
BCPM
是一个矩形，即∠
MBC = 90
º
Q
.
c
B
∵
∠
QBM +
∠
MBA =
∠
QBA = 90
º，
∠
ABC +
∠
MBA =
∠
MBC = 90
º，
∴
∠
QBM =
∠
ABC
，
邮箱：
@
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2
2
2
整理者：辛国庆
电话：
又∵
∠
BMP = 90
º，∠
BCA = 90
º，
BQ = BA = c
，
∴
Rt
Δ
BMQ
≌
Rt
Δ
BCA
.
同理可证
Rt
Δ
QNF
≌
Rt
Δ
AEF
.
从而将问题转化为【证法
4
】
（梅文鼎证明）
.
【证法
7
】
（欧几里得证明）
做三个边长分别为
a
、
b
、
c
的正方形，把它们拼成如图所示形状，使
H、
C
、
B
三点
G
在一条直线上，连结
BF
、
CD
.
过
C
作
CL
⊥
DE
，
H
交
AB
于点
M
，交
DE
于点
K
a
L
.
C
∵
AF = AC
，
AB = AD
，
F
b
∠
FAB =
∠
GAD
，
b
a
M
∴
Δ
FAB
≌
Δ
GAD
，
B
A
1
2
a
2
∵
Δ
FAB
的面积等于
，
c
Δ
GAD
的面积等于矩形
ADLM
的面积的一半，
2
∴
矩形
ADLM
的面积
=
a
.
E
2D
L
c
同理可证，矩形
MLEB
的面积
=
b
.
∵
正方形
ADEB
的面积
=
矩形
ADLM
的面积
+
矩形
MLEB
的面积
2
2
2
2
2
2
∴
c
a
b
，即
a
b
c
.
【证法
8
】
（利用相似三角形性质证明）
如图，在
Rt
Δ
ABC
中，设直角边
AC
、
BC
的长度分 别为
a
、
b
，斜边
AB
的长为
c
，过点
C
作
CD
⊥
AB
，垂足是
D
.
C
在Δ
ADC
和Δ
ACB
中，
∵
∠
ADC =
∠
ACB = 90
º，
b
∠
CAD =
∠
BAC
，
a
∴
Δ
ADC
∽
Δ
ACB
.
AD
∶
AC = AC
∶
AB
，
c
A
D
B
2
即
AC
AD
•
AB
.
2
同理可证，Δ
CDB
∽
Δ
ACB
，从而有
BC
BD
•
AB
.
2
2
2< br>2
2
2
AC
BC
AD
DB
•
AB
AB
∴
，即
a
b
c
.
【证法
9
】
（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设 它们的两条直角边长分别为
a
、
b
（
b>a
）
，斜 边长为
c
.
再做一个边长为
c
的正方形
.
把它们拼成如图所示的多边形
.
过
A
作
AF
⊥< br>AC
，
AF
交
GT
于
F
，
AF交
DT
于
R
.
过
B
作
BP
⊥
AF
，垂足为
P
.
过
D
作
DE
与
CB
的延长线垂直，垂足为
E
，
DE
交
AF
于
H
.
邮箱：
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