排列组合的基本理论和公式
绝世美人儿
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2021年01月29日 16:04
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排列组
合的基本理论和
公式
排列与元
素的顺序有关，组合与顺序无关．如
231
与
213
是两个排列
，
2
＋
3
＋
1
的和
与
2
＋
1
＋
3
的和是一个组合．
(
一
)
两
个基本原理是排
列和组合的基础
(1)
加法原理：做一件事，完成它可以
有
n
类
办法，在第一类办法中有
m1
种不
同的方法，在第二类
办法中有< br>m2
种不
同的方法，„„
，在第
n
类办
法中有
mn
种不同的方法，那么完成这件事共有
N
＝
m1
＋
m2
＋
m3
＋
„＋
mn
种
不同方法．
(2)
乘法原理：做一件事
，完成它需要分成
n
个步骤，做
第一步有
m1
种不同的方法
，做第二步有
m2
种不同的方法，„„，做
第
n
步有
mn
种不
同的方法，那< br>么完成这件事共有
N
＝m1×m2×m3ׄ×mn
种不同的方法．
这里要注
意区分两个原理，要做一件事，
完成它若是有
n
类办法，是
分类问题，第
一类中的方法都是独立的，因此
用加法原理；做一 件事，需
要分
n
个步骤
，步与步之间是连续的，只有将
分成的若干个 互相联系的步
骤，依次相继
完成，这件事才算完成，因此用
乘法原理．
这样完成
一件事的分“类”和“步”是有
本质区别的，因此也将 两个
原理区分开来
．
(
二
)
排
列和排列数
(1 )
排列：从
n
个不同元
素中，任取
m(m≤n)个元素，按照一定< br>的顺序
排成一列，叫
做从
n
个不同元素中取
出
m个元
素的一个排列．
从排列的
意义可知，如果 两个排列相同，
不仅这两个排列的元素必须
完全相同，而
且排列的顺序必须完全相同， 这
就告诉了我们如何判断两个
排列是否相同
的方法．
(2)
排列数公式：
从
n
个
不同元素中取出
m(m ≤n)个元素的所有
排列
当
m
＝
n
时，为全排
列
Pnn=n(n
－
1)(n
－2)„3·2 ·1＝
n
！
(
三
)
组
合和组合数
(1 )
组合：
从
n
个
不同元素中，
任
取
m(m ≤
n)个元
素并成一组，
叫做从
n
个不同元素中
取出
m
个元素的一个组合．
从组合的
定义
知，如果两个组合中的元素
完全相同，不管元素的顺 序
如何，都是相
同的组合；只有当两个组合中的
元素不完全相同时，才是不
同 的组合．
(2)
组合数：从
n
个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有组合
的个
这里要注
意排列和组合的区别和联系
，
从
n
个不同元素中
，
任取
m(m≤n)
个元素，“按
照一定的顺序排成一列”与“不
管 怎样的顺序并成一组”这
是有本质区别
的．
一、排
列组合部分是中
学数学中的难点之
一
原因在于
(1)
从千差万别的实际问
题中 抽象出几种特定的数学模型
，需要较强的
抽象思维能力
；
(2)
限制条件有时比较隐
晦，需要我们对问题中的关键性
词(
特别是逻
辑关联词和量
词
)
准确理解；
(3)
计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理
的计算方案时需< br>要的思维量较
大；
(4)
计算方案是否正确 ，往往不可用直观
方法来检验，要求我们搞清概
念、原理，并
具有较强的
分析 能力
。
二、两
个基本计数原理
及应用
(1)
加法原理和分类计数
法
1
．加法原理
2
．加法原理的集合形式
3
．分类的要求
每一类中
的每一种方法都 可以独立地完成
此任务；两类不同办法中的
具体方法，互
不相同
(
即 分类
不重
)
；完成此任
务的任何一种方法，都属于
某一类
(
即分类不漏
)
(2)
乘法原理和分步计数
法
1
．乘法原理
2
．合理分步的要求
任何一步
的一种方法 都不能完成此任务，
必须且只须连续完成
这
n
步
才能完成此任
务；各步计数相互独立；只要有
一步中所采取的方法不同，
则对应的完成
此事的方法 也不同
编辑本
段
[
例题
分析
]
排列
组合
思维
方法选讲
1
．首先明确任
务的意义
例
1.
从
1
、
2
、
3
、„„、
20
这二 十个数中任取三个不
同的数组成
等差
数列
，这样的
不同等差数列有< br>________
个。
分析：首
先要把复杂 的生活背景或其它数
学背景转化为一个明确的排
列组合问题。
设
a,b,c
成等差，∴ 2b=a+c, 可
知
b
由
a,c
决定，
又∵
2b
是偶数，∴
a,c
同奇或同偶，即： 分
别从
1
，
3
，
5
，„„，
19
或
2
，
4
，
6
，
8
，„„，
20
这十个数中选出两个数进行
排列，由此就可确定
等差数列，
C
（2,10
）
*2*P
（
2,2
），因而本题
为
180
。
例
2.
某城市有
4< br>条东西街道和
6
条南北的街道
，
街道之间的间距相同
，
如图。若规定
只能向东或向北两个方向沿图中
路线前进，则从
M
到
N
有多
少种不同的走
法
?
分析：对
实际背景的分析可以逐层深入
（一）从
M
到
N
必须向上走三步，向右走
五步，共走八步。
（二）每
一步是向上还是向右，决定了不
同的走法。
（三）事
实上，当把向上的步骤决定后，
剩下的步骤只能向右。
从而，任
务可叙述为：从八个步骤中选出
哪三步是向上走，就可以确
定走法数，
∴ 本题
答案为：
=56
。
2
．分析是分类
还是分步，是排
列还是组合
注意加法
原理与乘法原理的特点，分析是
分类还是分步，是排列还是
组合
例
3
．在一块并排
的
10
垄 田地中
，选择二垄分别种植
A
，
B
两种作物，
每种种植一垄 ，
为
有利于作物生长，
要求
A
，
B
两种作物的间隔 不少
于
6
垄
，
不同的选法共
有
______
种。
分析：条件中“要
求
A
、
B
两种作物的间隔不少
于
6
垄
”这个条件不容
易用一个包含
排列数，组合数的式子表示，因
而采取分类的方法。
第一类：
A
在第一
垄，
B
有
3
种选择；
第二类：
A
在第二
垄，
B
有
2
种选择；
第三类：
A
在第三
垄，
B
有一种选择，
同
理
A
、
B
位置互换
，
共
12
种。
例
4．
从
6
双不同颜色的手套中任
取
4
只，
其中恰 好有
一双同色的取法
有
________
。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显
然本题应分步解决。
（一）
从< br>6
双中选出一双同色的手套，
有
6
种方法；
（二）从
剩下的十只手套中任选一只，
有
10
种方法。
（三）从
除前所涉及的两双手套之外的八
只手套中任选一只，< br>有
8
种
方法；
（四）由
于 选取与顺序无关，因（二）（
三）中的选法重复一次，因
而共
240
种。
例
5
．
身高互不相同的
6
个 人排
成
2
横行
3
纵列，
在第
一行的每一个人
都比他同列的
身后的人个子矮，则所有不同的
排法种数为
_______
。
分析：每
一纵列中的两人只要选定，则他
们只有一 种站位方法，因而
每一纵列的排
队方法只与人的选法有关系，共
有三纵列，从而有=90
种。
例
6
．在
11< br>名工人中，
有
5
人只
能当钳工，
4
人只能当车工，另
外
2
人能当钳工也
能当车工。现从
11
人中选出
4
人当钳工，
4
人当车工
，问共
有多少种不同
的选法
?
分析：采
用加法原理首先要做到分类不重
不漏，如何做到 这一点？分
类的标准必须
前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以
他们当中有几个去当钳工为
分类标准。
第一类：
这两个人都去当钳工，
有
10
种；
第二类：
这两人有一个去当钳工，
有
100
种；
第三类：
这两人都不去当钳工，
有
75
种。
因而共
有
185
种。
例
7
．现有印
着
0
，
l
，
3
，< br>5
，
7
，
9
的六张卡片，如果允
许
9
可
以作
6
用，那么从中
任意抽出三张可以组成多少个不
同的三位数
?
分析
：有同学认为只要
把
0
，
l
，
3
，
5
，
7
，
9
的 排法数乘以
2
即为所求
，
但实际上抽出
的三个数中有
9的话才可能
用
6
替换，因而必须分类。
抽出的三
数含
0
，
含
9
，
有
32
种方法；
抽出的三
数含
0
不含
9
，有
24
种
方法；
抽出的三< br>数含
9
不含
0
，有
72
种
方法；
抽出的三
数不含
9
也不含
0
，有24
种方法。
因此共
有
32+24+72+24=152
种方法。
例
8
．停车场划一
排
12
个停车位
置， 今有
8
辆车需要停放，要
求空车
位连在一起，
不同的停车方法是________
种。
分析：把
空车位看成一 个元素，
和
8
辆车
共九个元素排列，因而共有
362880
种停车方法。
3
．特殊优先
特殊元素
，优先处理；特殊位置，优先考
虑
例
9
．六人站成一
排，求
(1)
甲不在排头，乙不在
排尾的排列数
(2)
甲不在排头，乙不在
排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（
1
）先考虑排头，排尾，但这两个要求相
互有影响，因而 考虑
分类。