法庭辩论-四季作文

2021年1月29日发(作者：高见远识)

集合的基本运算

第
1
课时

并集与交集

学习目标

1.
理解并集、交集的概念
.2.
会用符号、
Venn
图和数轴表示并集、交集
.3.
会求简 单集合的并集
和交集
.


知识点一

并集

思考

某次校运动会上，
高一
(1)
班有
10
人报名参加田赛，
有
12
人报名参加径赛
.已知两项都报的有
3
人，
你能算出高一
(1)
班参赛人数吗？< br>
答案

19
人
.
参赛人数包括参加田赛的，也包括 参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能
重复计算，故有
10
＋
12
－
3
＝
19
人
.

梳理

(1)
定义：一般地，由所有属于集合
A
或属于集合
B
的元 素组成的集合，称为集合
A
与
B
的并集，
记作
A
∪
B
(
读作
“
A
并
B
”
).

(2)
并集的符号语言表示为
A
∪
B
＝
{x
|
x
∈
A
，或
x
∈
B
}.

(3)
图形语言：
、
阴影部分为
A
∪
B
.

(4)
性质：
A
∪
B
＝
B< br>∪
A
，
A
∪
A
＝
A
，
A< br>∪
∅
＝
A
，
A
∪
B
＝
A< br>⇔
B
⊆
A
，
A
⊆
A
∪
B< br>.

知识点二

交集

思考

一副扑克牌，既是红桃又是
A
的牌有几张？

答案

1
张
.
红桃共
13
张，
A
共
4
张，其中两项要求均满足的只有红桃
A
一张
.

梳理
(1)
定义：一般地，由属于集合
A
且属于集合
B
的所有元素组 成的集合，称为
A
与
B
的交集，记作
A
∩
B
(
读作
“
A
交
B
”
).

(2 )
交集的符号语言表示为
A
∩
B
＝
{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}.

(3)
图形语言：
阴影部分为
A
∩
B
.

(4)
性质：
A
∩
B
＝
B
∩
A< br>，
A
∩
A
＝
A
，
A
∩
∅< br>＝
∅
，
A
∩
B
＝
A
⇔
A< br>⊆
B
，
A
∩
B
⊆
A
∪
B< br>，
A
∩
B
⊆
A
，
A
∩
B< br>⊆
B
.


类型一

求并集

命题角度
1

数集求并集

例
1

(1)
已知集合
A
＝
{3,4,5}
，
B
＝{1,3,6}
，则集合
A
∪
B
是
(


)

A.{1,3,4,5,6}


C.{3,4,5,6}


答案

A


B.{3}

D.{1,2,3,4,5,6}


解析

A
∪
B
是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合
(
相同元素算一个
)
，
因此

A
∪
B
＝
{1,3,4,5,6}
，
故
选
A.
(2)
A
＝
{
x
|
－
1<
x
<2}
，
B
＝
{
x
|1<
x
<3}
，求
A
∪
B
.

解

如图：


由图知
A
∪
B
＝
{
x
|
－
1<
x
<3}.

反思与感悟

有限集求并集 就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数
轴求并集
.
由于
A
∪
B
中的元素至少属于
A
，
B
之 一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并
集
.

跟踪训练
1

(1)
A
＝
{
－
2 ,0,2}
，
B
＝
{
x
|
x
2
－
x
－
2
＝
0}
，求
A
∪
B
.

解

B
＝
{
－
1,2}
，
∴
A
∪
B
＝
{
－
2
，－
1,0,2}.

(2)
A
＝
{
x
|
－< br>1<
x
<2}
，
B
＝
{
x
|
x
≤
1
或
x
>3}
，求
A
∪
B
.

解

如图：


由图知
A< br>∪
B
＝
{
x
|
x
<2
或
x
>3}.

命题角度
2

点集求并集

例
2

集合
A
＝
{(
x
，
y
)|
x
>0}
，
B
＝
{(
x
，
y
)|
y
>0}
，求
A
∪
B
， 并说明其几何意义
.

解

A
∪
B
＝{(
x
，
y
)|
x
>0
或
y
>0}.

其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和
x
轴、
y
轴的非正半轴后剩下的区域内所有点
.

反思与感悟

求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数
.

跟踪训练
2

A
＝
{(
x
，
y< br>)|
x
＝
2}
，
B
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
2}.
求
A
∪
B
，并说明其几何意义
.

解

A
∪
B＝
{(
x
，
y
)|
x
＝
2
或
y
＝
2}
，其几何意义是直线
x
＝
2
和直 线
y
＝
2
上所有的点组成的集合
.

类型二

求交集

例
3

(1)
若集合
A
＝
{
x
|
－
5<
x
<2 }
，
B
＝
{
x
|
－
3<
x
<3}
，则
A
∩
B
等于
(


)

A.{
x
|
－
3<
x
<2}


C.{
x
|
－
3<
x
<3}


答案

A

解析

在数轴上 将集合
A
，
B
表示出来，如图所示，由交集的定义可得
A
∩
B
为图中阴影部分，即
A
∩
B
＝
{
x|
－
3<
x
<2}
，故选
A.

< br>(2)
若集合
M
＝
{
x
|
－
2≤
x
＜
2}
，
N
＝
{0,1,2}
， 则
M
∩
N
等于
(


)

A.{0}


C.{0,1,2}


答案

D


B.{
x
|
－
5<
x
<2}

D.{
x
|
－
5<
x
<3}

B.{1}

D.{0,1}


解析

M
＝
{
x
|
－
2
≤
x
＜
2}
，
N
＝
{0,1,2}
，

则
M∩
N
＝
{0,1}
，故选
D.

(3)
集合
A
＝
{(
x
，
y
)|
x
> 0}
，
B
＝
{(
x
，
y
)|
y< br>>0}
，求
A
∩
B
并说明其几何意义
.

解

A
∩
B
＝
{(
x
，
y
)|
x
>0
且
y
>0}
，其几何意义为第一象限 所有点的集合
.

反思与感悟

求集合
A
∩
B
的步骤

(1)
首先要搞清集合
A
，
B
的代表元素是什么；

(2)
把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成
“
A
∩
B
”
的形式；

(3)
把化简后的集合
A
，
B
的所有公共元素都写出来即可
.

跟踪训练
3

(1)
集合
A
＝
{
x
|
－
1<
x
<2}
，
B
＝
{
x
|
x
≤1
或
x
>3}
，求
A
∩
B
；

(2)
集合
A
＝
{
x
|2
k
<< br>x
<2
k
＋
1
，
k
∈
Z
}
，
B
＝
{
x
|1<
x
<6}
，求
A
∩
B
；

(3)
集合
A
＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋
2 }
，
B
＝
{(
x
，
y
)|
y＝
x
＋
3}
，求
A
∩
B
.

解

(1)
A
∩
B
＝
{
x
|
－
1<
x
≤
1}.

(2)
A
∩
B
＝
{
x
|2<
x
<3
或
4 <
x
<5}.

(3)
A
∩
B
＝
∅
.

类型三

并集、交集性质的应用

例
4

已知
A
＝
{
x
|2
a
≤
x
≤a
＋
3}
，
B
＝
{
x
|
x< br><
－
1
或
x
>5}
，若
A
∪
B
＝
B
，求
a
的取值范围
.

解

A
∪
B
＝
B
⇔
A
⊆
B
.

当
2
a
>
a
＋
3
，即
a
>3
时，
A
＝
∅
，满足
A
⊆
B
.

当
2
a
＝
a
＋
3
，即
a
＝
3
时，
A
＝
{6}< br>，满足
A
⊆
B
.

当
2
a
<
a
＋
3
，即
a
<3
时，要使
A
⊆
B
，




a
<3
，

a
<3
，
需

或



a
＋
3<
－
1
2
a
>5
，




5
解得
a
<
－
4
，或
<
a
<3.

2
综上，
a
的取值范围是

5
{
a
|
a
>3}
∪
{
a
|
a
＝
3}
∪
{
a
|
a
<
－
4
，或
<
a
<3}

2
5
＝
{
a
|a
<
－
4
，或
a
>
}.

2
反思与感悟

解此类题，首先要准确翻译，诸如
“
A∪
B
＝
B
”
之类的条件
.
在翻译成子集关系后 ，不要忘了
空集是任何集合的子集
.

跟踪训练
4

设集合
A
＝
{
x
|2
x
2
＋
3
px
＋
2
＝
0}
，
B
＝
{
x
|2
x
2
＋
x
＋
q
＝
0}< br>，其中
p
、
q
为常数，
x
∈
R
，当
A
∩
B
＝
1
{
}
时，求
p
、
q
的值和
A
∪
B
.

2
1
1
解

∵
A
∩
B
＝
{
}
，
∴
∈
A
，

2
2
1
1
∴
2
×
(
)
2
＋
3
p
×
＋
2
＝
0
，

2
2


5
1
∴
p
＝－
，
∴
A
＝
{
，
2}.

3
21
1
又
∵
A
∩
B
＝
{
}，
∴
∈
B
，

2
2
1
1∴
2
×
(
)
2
＋
＋
q
＝0
，
∴
q
＝－
1.

2
2
1
∴
B
＝
{
，－
1}.

2
1∴
A
∪
B
＝
{
－
1
，
，2}.

2

1.
已知集合
M
＝
{< br>－
1,0,1}
，
N
＝
{0,1,2}
，则
M
∪
N
等于
(


)

A.{
－
1,0,1}


C.{
－
1,0,2}


答案

B

2.
已知集合
A
＝
{
x
|< br>x
2
－
2
x
＝
0}
，
B
＝
{0,1,2}
，则
A
∩
B
等于
(


)

A.{0}


C.{0,2}


答案

C

3.
已知集合
A
＝
{
x
|
x
>1}
，
B
＝
{
x
|0<
x
<2}
，则
A
∪
B
等于
(


)

A.{
x
|
x
>0}


C.{
x
|1<
x
<2}


答案

A

4.
已知
A
＝
{x
|
x
≤
0}
，
B
＝
{
x< br>|
x
≥
1}
，则集合
A
∩
B
等于< br>(


)

A.
∅



C.{
x
|0
≤
x
≤
1}


答案

A

5.
已知集合
A
＝
{ 1,3
，
m
}
，
B
＝
{1
，
m< br>}
，
A
∪
B
＝
A
，则
m
等 于
(


)

A.0
或
3


C.1
或
3


答案

B


1.
对并集、交集概念的理解

(1)对于并集，要注意其中
“
或
”
的意义，
“
或
”
与通常所说的
“
非此即彼
”
有原则性的区别，它们是
“相
容
”
的
.
“
x
∈
A
，或
x
∈
B
”
这一条件，
包括下列三种情况：
x
∈
A
但
x
∉
B
；
x
∈
B
但
x
∉
A
；
x
∈
A
且
x
∈
B
.
因此，
A
∪
B
是由所有至少属于< br>A
、
B
两者之一的元素组成的集合
.


B.{
－
1,0,1,2}

D.{0,1}

B.{0,1}

D.{0,1,2}

B.{
x
|
x
>1}

D.{
x
|0<
x
<2}

B.{
x
|
x
≤
1}

D.{
x
|0<
x
<1}

B.0
或
3

D.1
或
3

< br>(2)
A
∩
B
中的元素是
“
所有
”
属于集合
A
且属于集合
B
的元素，而不是部分，特别地，当集合
A< br>和集合
B
没有公共元素时，不能说
A
与
B
没有交集， 而是
A
∩
B
＝
∅
.

2.
集合的交、并运算中的注意事项

(1)
对于元素个数有限的集 合，可直接根据集合的
“
交
”“
并
”
定义求解，但要注意集 合元素的互异性
.

(2)
对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可 借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取
到与否
.

课时作业

一、选择题

1.
已知集合
M
＝
{1,2,3,4}
，
N
＝
{
－
2,2}
，下列结论成立的是
(


)

A.
N
⊆
M



C.
M
∩
N
＝
N



答案

D

解析

∵
－
2
∈
N
，但－
2
∉
M
，

∴
A
，
B
，
C
三个选项均不对
.

2.
若集合
M
＝
{
x
|
－
3≤
x
＜
4}
，
N
＝
{
－
3, 1,4}
，则
M
∩
N
等于
(


)

A.{
－
3}


C.{
－
3,1,4}


答案

D

解析

M
＝
{
x
|
－
3
≤
x
＜
4}
，
N
＝
{
－
3,1,4}
，

则
M
∩
N
＝
{
－
3,1}
，故选
D.

3.
已知集合
A
＝
{
x
|
－
1
≤
x
≤
1}
和集合
B
＝
{
y
|
y
＝
x
2
}
，则
A
∩
B
等于
(


)

A.{
y
|0<
y
<1}


C.{
y
|
y
>0}


答案

B

解析

∵
B
＝
{
y
|
y
＝
x
2
}
，

∴
B
＝
{
y
|
y
≥
0}
，A
∩
B
＝
{
y
|0
≤
y
≤< br>1}.

4.
点集
A
＝
{(
x
，< br>y
)|
x
<0}
，
B
＝
{(
x，
y
)|
y
<0}
，则
A
∪
B
中的元素不可能在
(


)

A.
第一象限



C.
第三象限



答案

A

解析

A
∪
B
＝
{(
x
，
y
)|
x
<0
或
y
<0}
，
表示的区域是平面直角坐标系中第二、
三、< br>四象限和
x
，
y
轴的负半轴，
故不可能在第一象限
.

5.
设
A
，
B
是非空集合，定义
A*
B
＝
{
x
|
x
∈
A
∪B
且
x
∉
A
∩
B
}
，已知
A
＝
{
x
|0
≤
x
≤
3}
，
B
＝
{
y
|
y
≥
1}
，则
A< br>*
B
等于
(


)

A.{
x
|1
≤
x
<3}


B.
M
∪
N
＝
M

D.
M
∩
N
＝
{2}

B.{1}

D.{
－
3,1}

B.{
y
|0
≤
y
≤
1}

D.{(0,1)
，
(1,0)}

B.
第二象限

D.
第四象限


B.{
x
|1
≤
x
≤
3}

C. {
x
|0
≤
x
<1
或
x
>3}

D.{
x
|0
≤
x
≤
1
或
x≥
3}

答案

C

解析

由题意知，
A
∪
B
＝
{
x
|
x
≥
0}
，

A
∩
B
＝
{
x
|1
≤
x
≤
3}
，

则
A
*B
＝
{
x
|0
≤
x
<1
或
x
>3}.

6.
若集合
A
＝
{
x
|
x
≥
0}
，且
A
∩
B
＝
B，则集合
B
可能是
(


)

A.{1,2}


C.{
－
1,0,1}


答案

A

解析

∵
A
∩
B
＝
B
，
∴
B
⊆
A
，

四个选项中，符合
B
⊆
A
的只有选项
A.

二、填空题

7.
若集合
A
＝
{0,1,2
，
x
}
，
B
＝
{1
，
x
2}
，
A
∪
B
＝
A
，则满足条件的实数
x
有
________
个
.

答案

2

解析

∵
A
＝
{0,1,2
，
x
}
，
B
＝
{1
，
x
2
}
，
A
∪
B
＝
A
，

∴
B
⊆
A
，
∴
x
2
＝
0
或
x
2
＝
2
或
x
2
＝
x
，

解得
x
＝
0
或
2
或－
2
或< br>1.

经检验当
x
＝
2
或－
2
时满 足题意
.

8.
已知集合
P
＝
{
x
||
x
|>
x
}
，
Q
＝
{
x< br>|
y
＝
1
－
x
}
，则
P
∩
Q
＝
________.

答案

{
x
|
x
<0}

解析

|
x
|>
x
⇒
x
<0
，

∴
P
＝
{
x
|
x
<0},1
－
x
≥
0
⇒
x
≤
1
，

∴
Q
＝
{
x
|
x
≤
1}
，故
P∩
Q
＝
{
x
|
x
<0}.

9.
已知集合
A
＝
{
x
|
x
≤
1 }
，
B
＝
{
x
|
x
≥
a
}
，且
A
∪
B
＝
R
，则实数
a
的 取值范围是
________.

答案

a
≤
1

解析

A
＝
{
x
|
x
≤
1}
，
B
＝
{
x
|
x
≥
a
}
，要使
A
∪
B
＝< br>R
，只需
a
≤
1.
如图
.

10.
已知集合
A
＝
{(0,1)
，
(1,1)
，
(
－
1,2)}
，
B
＝
{(
x
，
y
)|
x
＋
y
－
1
＝
0，
x
，
y
∈
Z
}
，则
A
∩< br>B
＝
________.

答案

{(0,1)
，
(
－
1,2)}

解析

A
、
B
都表示点集，
A
∩
B
即是由
A
中在直线
x
＋
y
－
1
＝
0
上 的所有点组成的集合，代入验证即可
.

三、解答题


3
－
x
>0
，

11.
已知集合
A
＝
{
x
|

}
，集合
B
＝
{m
|3>2
m
－
1}
，求
A
∩
B，
A
∪
B
.



3
x
＋
6>0
，

B.{
x
|
x
≤
1}

D.
R





3
－
x
>0
，
解

解不等式组

得－
2<
x
<3
，


3
x
＋
6>0
，


则
A
＝
{
x
|
－
2<
x
<3}
，

解不等式
3>2
m
－
1
得
m
< 2
，则
B
＝
{
m
|
m
<2}.

用数轴表示集合
A
和
B
，如图所示，


则
A
∩
B
＝
{
x
|
－
2<
x
<2}
，
A
∪
B
＝
{
x
|< br>x
<3}.

12.
已知集合
A
＝
{
x
|
－
1
≤
x
≤
3}
，
B＝
{
x
|
m
－
2
≤
x
≤m
＋
2}.

(1)
若
A
∩
B
＝
{
x
|1
≤
x
≤
3}
，求实数
m
的值；

(2)
若
A
∩
B
＝
∅
，求实数
m
的取值范围
.

解

A＝
{
x
|
－
1
≤
x
≤
3}< br>，
B
＝
{
x
|
m
－
2
≤< br>x
≤
m
＋
2}.

(1)
∵
A∩
B
＝
{
x
|1
≤
x
≤
3}
，
∴


m
－
2
＝
1
，



m
＋
2
≥
3
，

解得
m
＝
3.

(2)
A
∩
B< br>＝
∅
，
A
⊆
{
x
|
x
<< br>m
－
2
或
x
＞
m
＋
2}.

∴
m
－
2
＞
3
或
m
＋
2 <
－
1.

∴
实数
m
的取值范围是
{m
|
m
＞
5
或
m
<
－
3}.

13.
已知集合
A
＝
{
x
|
x
2
－
8
x
＋
15
＝
0}
，
B
＝
{
x
|
x
2
－
ax
－b
＝
0}.

(1)
若
A
∪
B
＝
{2,3,5}
，
A
∩
B
＝
{3}
， 求
a
，
b
的值；

(2)
若
∅
B
A
，求实数
a
，
b
的值
.

解

(1)
因为
A
＝
{3,5}
，
A
∪
B
＝
{2,3,5}
，
A
∩
B＝
{3}
，

所以
3
∈
B,
2
∈
B
，故
2,3
是一元二次方程
x
2
－
ax
－
b
＝
0
的两个实数根，所以
a
＝
2
＋
3
＝
5
，－
b
＝
2
×
3
＝
6
，
b
＝－
6.

(2)
由
∅
B
A
，且
A
＝
{3,5}
，得
B
＝
{3}
或
B
＝
{5}.

当
B
＝
{3}
时，解得
a
＝
6
，
b
＝－
9
；

当
B
＝
{5}
时，解得
a
＝
10
，
b
＝－
25.




a
＝
6
，

a
＝
10
，

综上，
或



b
＝－
9



b
＝－
25.


四、探究与拓展

14.
已知集合
A
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
x
2
，
x∈
R
}
，
B
＝
{(
x
，
y< br>)|
y
＝
x
，
x
∈
R
}
， 则
A
∩
B
中的元素个数为
________.

答案

2

2




y
＝
x
，

x
＝
0
，

x
＝
1
，
解析

由

得

或



y
＝
x
，


y
＝
1.


y
＝
0




15.
某班有
3 6
名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、
物 理、化学小组的人数分别为
26
、
15
、
13
，同时参加数 学和物理小组的有
6
人，同时参加物理和化学小组
的有
4
人，则同时 参加数学和化学小组的有多少人？

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