数学实验(猎狗追兔子问题)
绝世美人儿
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2021年01月29日 20:04
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Matlab
上机实验报告
一．
题目
如图所示，有一只猎狗在
B
点位置发现了已知兔子在正东北方向距
离它
200
米的地方
O处，此时兔子开始以
8
米
/
秒的速度向正西北方向距
离为
120
米的洞口全速跑去，
假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的
方向全速奔跑 按要去完成以下的实验：
（
1
）问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
（
2
）选取猎狗的速度分别为
15
、
18
米
/
秒，计算猎狗追 上兔子时跑
过的路程和时间。
（
3
）画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。
N
A
O
W
B
二．
问题分析
（
1
）本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建 立有约束条
件的微分方程加以模拟。
（
2
）通过运用欧拉公式及改 进欧拉公式的原理，结合高等数学的有
关知识，对微分方程进行求解。
（
3
）将数学求解用
Matlab
程序语言进行实现，得出方程的近似解。
（
4
）最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。
三．
假设约定
（
1
）假设在兔子和猎狗的运动过程中，两者的速度保持恒定，且不
受其他因素的影响。
（
2
）假设在较短的时间内猎狗运动的轨迹为直线。
（
3
）
当猎狗与兔子之间的距离相当小时，
认为猎狗已经追上了兔子。
四．
模型建立
以
BO
所在的直线为
x
轴，以
OA
所在的直线为
y
轴建立如图所示的
直 角坐标系，则
O
点坐标（
0
，
0
）
，
B< br>点坐标（
-200
，
0
）
，
A
点坐标（0
，
120
）
，设猎狗跑够的路程为
s
，经历的时间为
t
。
Y
X
N
A
W
O
从猎狗发现兔子时起，
在
t
时刻，
兔子到达
C(0
，
8t)
点，
猎狗到达
(x,y)
点，设猎狗的速度为
v
，由题意可知：
dy/dx=(y-8t)/a
ds/dt=b
对两边关于
x
求导可得：
B
x*d2y=-a(dt/dx)
dt/dx=-1
/b*(1+(dy/dx)^2)^0.5
于是
：
x*d2=8
/v*(1+(dy/dx)^2)^0.5
y(-200)=0,dy(-200)=0
则该问题的模型建立