《数学实验》试题答案
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2021年01月30日 00:45
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关于环保的画-喜看稻菽千重浪
北京交通大学海滨学院考试试题
课程名称：
数学实验
2010-2011
第一学期
出题教师：数学组
适用专业
: 09
机械
,
物流
,
土木
,
自动化
班级：
学号：
姓名：
选做题目序号：
1.
一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔
,
成兔再经过一个月后可以
繁殖出一对幼兔
.
如果不计算兔子的死亡数
,
请用
Matlab
程序给出在未来24
个
月中每个月的兔子对数。
解
:
由题意每月的成兔与幼兔的数量如下表所示：
成兔
幼兔
1
0
1
2
1
0
3
1
1
4
2
1
5
3
2
6
5
3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
运用
Matlab
程序：
x=zeros(1,24);
x(1)=1;x(2)=1
；
for i=2:24
x(i+1)=x(i)+x(i-1);
end
x
结果为
x =
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
7711
28657
46368
2.
定积分的过程可以分为分割、
求和、
取极限三部分
,
以
e
x
dx
为例
,
利用
0
1
已学过的
Matlab
命令
,
通过作图演示计算积分的过程
,
并与使用命令
int()
直接
积分的结果进行比较
.
解：根据求积分的过程，我们先对区间
[0,1]
进行
n
等分，
n
然后针对函数e
取和，取和的形式为
x
1
0
e
dx
x
i
1
e
i
n
10
，其中
i
[
i
i
1
i
,
]
。这
n
n
里取
i
为区间的右端点，则当
n
1
0
时，
e
dx
可用
x
0
i
1
i
x< br>当
n
1
0
0
时，
e
d x
0
1
100
1
e
10
10
1
1.8056
来近似计算，
i
100
i
1
e
100
x
当
n
1
0< br>000
时，
=1.7269
，
e
dx
< br>0
10000
i
1
e
10000
10000
=1.7184
.
示意图如下图，
Matlab
命令如下：
x=linspace (0,1,21);
y=exp(x);
y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20
y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20
plot(x,y);
hold
on
for
i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i), x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')
end
syms k;symsum(exp(k/10)/10,k,1,10)
；
%n=10
symsum(exp(k/100)/100,k,1,100)
；
%n=100
symsum(exp(k/10000)/10000,k,1,10000)
；
% n=10000
对上一 步的和
i
1
n
e
i
n我们取极限，
其中
i
取区间的右端点，
Matlab
程序如下：
syms k n
s=symsum (exp(k/n)/n,k,1,n);
limit(s,n,inf)
结果为：
exp(1)
1
1.7183
直接使用
Matlab
命令
syms x int(exp(x),0,1)
积分得，结果为
exp(1)
1
1
由上述两种方法得到的结果相同，即
0
e
x
dx
的结果为
exp(1)
1
。显然将
区间分的越细计算出的结果越接 近于真实值
.
3.
现有一个木工、一个电工和一个油漆工
,
三人相互同意彼此装修他们自
己的房子
.
在装修前
,
他们达成了如下协议
:
每人总共工作
10
天
(
包括给自己
家干活在内
);
每人的日工资根据一般的市价
,
在
6
0
～
80
元之间
;
每人的日工资
数应使得每人的总收入与总支出相等
.
表
1
是他们协商后制定出的工资天数的分
配方案
,
如何计算出他们每人应得的工资
(
工资数要求为正整数
)
？
工种
天数
在木工家的工作天数
在电工家的工作天数
在油漆工家的工作天数
解：
设木
表
1
木工
2
4
4
电工
1
5
4
油漆工
6
1
3
x
1
,
x
2
,
x
3
，根据条件每人的
日工 资数应使得每人的总收入与总支出相等可得方程组，
8x
1< br>
x
2
6x
3
5x
1
4x
2
x
3
7x
4x
4x
2
3
1
运用
Matlab
程序解：
format rat;a = [ -8
1
6; 4
-5
1 4
4
-7] rref(a)
>> ans =
1
0
31/36
0
1
32/36
0
0
0
所以
x
1
31
36x
3
,
x
2
32
36
x
3
，又因为他们的工资在
6
0
～
80
元之间
即
62
元，
64
元，
木工，
电工，
油漆工的工资 分别为
x
1
62,
x
2
64,
x
3
72
，
72
元
。
4.
电影院的监测系统显示，
当一场电影刚散场时，
剧场内的二氧 化碳的含量
是
4%.
排风扇每分钟换入
1000
m
3的新鲜空气，其中二氧化碳的含量是
0.02%.
电影院的容积是
10000
m
3
.
假设在整个换气过程中空气的变化时均匀的
.
问，经
过多长时间后剧场内二氧化碳的含量才能降到
1%.
解：
设 电影院内二氧化碳的浓度为
y
(
t
)
是
t
的连续函 数，
则根据
t
时刻二氧化碳的
变化量可得微分方程：
10
4
dy
dt
10
(
y
0.02%
)
3
又初始时刻二氧化碳的浓度
y
(0)
4%
。利用
Matlab
dsolve(
'10^4* Dy=-10^3*(y-0.02/100)'
,
'y(0)=4/100'
)
求解上述微分方程初值问题得：
y=199/(5000*exp(t/10)) + 1/5000
在利用
syms t;solve(199/(5000*exp(t/10)) + 1/5000-1/100)
得
t=14.0148,
即经过
14.0148
分钟后剧场内二氧化碳的含量才 能降到
1%.
5.
取函数
f
(
x
)
xe
x
为实验函数
,
用
Matlab
命令分别就
x
0
1,
0,
2
,
将
f
(
x
)
按
x
x
0
展开成
8
阶
Taylor
公式
,
求出相应的
8
次近似多项式
,
在区间
[-4, 4]
上画出这些近似多项式
.
从这个实验中能给你哪些思考？
解：
Matlab
命令如下：