清华大学数学实验报告6
余年寄山水
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2021年01月30日 01:07
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实验六
非线性方程求解
实验目的
1.
掌握用
matlab
软件求解非线性方程和方程组的基本用法
,
并对结果做初步分析
.
2.
练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解
.
实验内容
题目
3
（
1
）小张夫妇以按揭方式贷款买了
1
套价值
20
万元的房子，首付了
5
万元，每月还
款
1000
元，
15
年还清。问贷款利率是多少？
（
2
）某人欲贷款
50
万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还
4500
元，
15
年还清；第二家银行开出的条件是每年还
450000
元，
20
年还清。从利率
方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=
月利率×
12
）？
建立模型：
设房价为
b
，首付款为
b0
，银行按照月利率
(
复利
)来计算，月利率为
r
，月
付款
(
月末支付
)
为
a
，共需要支付的月数为
n
。根据经济学中资金的时间价值概念，可
以得到：房价在
n
个月之后的实际价值为：
b(1
+
r)
n
按揭购房期间交的所有款项在第
n
个月末的实际价值为：
b
0
(1
+
r)
+
a
(1+
r)
n
n
−
1
+
(1
+
r )
n
−
2
(1
+
r)
n
−
1+
⋯
+
1
=
b
0
(1
+< br>r)
+
a
×
r
n
由于在第
n个月末还清了贷款，因此上述两个时间价值相等，则得到下面的关系式，
即为解答此问题的方程：< br>
(1
+
r)
n
−
1
b(1
+r)
=
b
0
(1
+
r)
+
a
×
r
n
n
即：
(1
+r)
n
−
1
(b
−
b
0
)(1
+
r)
−
a
×
=
0
r
n(1)
代入已知条件：
b=200000
，
b0=50000
，
a=1000
，
n=180
，利用
MATLAB
解此非线性
方程，经过简单的估测之后，给定初始值为
r0=0.001
，得到结果为：
r=0.0020812
，即贷款月利率为
0.20812%
。
（
2
）
I.
第一家银行 相应的已知条件为：
b=500000
，
b0=0
，
a=4500< br>，
n=180
，利用
MATLAB
计
算，经过简单的估测之后 ，给定初始值为
r0=0.005
，得到结果为：
r=0.0058508
，即这家银行的贷款月利率为
0.58508%
。
II.
第二家银行由于按照年利率计算，因此方程中相应参数的意义有所改变，故已知条
件为：
b=5 00000
，
b0=0
，
a=45000
，
n=20
，利用
MATLAB
计算，经过简单的估测之后，
给定初始值也为
r0=0 .06
，得到结果为。
r=0.063949
，即这家银行的贷款年利率为
6.3949%
，则月利率为
0.53291%
实验结果：
以月利息为比较条件，第二家银行比较优惠。
结果分析：
(1)
本题第二问里，将第二家银行的年利率近似看作是月利率 的
12
倍，会造成一定的误
差，若将计算结果
0.53291%
代入 方程，可以得出每月需交付
3697
元，这样一年需要
交付
44364
元，比题目中的
45000
元略小一些，说明计算得到的月利率偏小，但不至
于影响 最终的判断。
问题
6
：给定
4
种物质对应的参数
ai, bi, ci
和交互作用矩阵
Q
如下
:
a1=18.607, a2=15.841, a3=20.443, a4=19.293;
b1=2643.31, b2=2755.64, b3=4628.96, b4=4117.07;
c1=239.73, c2=219.16, c3=252.64, c4=227.44;
Q=[ 1.0 0.192
0.316 1.0
0.377
0.524
2.169
1.611
0.524
0.296
1.0]
0.477
1.0
0.360
0.282
2.065
在压强
p=760mmHg
下，为了形成均相共沸混 合物，温度和组分分别是多少？请尽量找
出所有的可能解。
解
:
设该混合物由
n
个可能的组分组成，组分
i
所占的比例为
x i(i=1, … , n)
，则∑
_(i=1)^n
▒
〖
x(i)
〗
=1, xi>=0 -------(1)
xi((b(i))/(T+c(i))+ln(
∑
_(j=1)^n
▒〖
x(j)
〗
q(ij))+
∑
_(j=1)^n
▒< br>(x(j)q(ij))/(
∑
_(k=1)^n
▒
〖
x(k )q(jk)
〗
) -1-
aij+lnP)=0, i=1, … ,
n.-------(2)
qij
表示组分
i
与组分
j< br>的交互作用参数，
qij
构成交互作用矩阵
Q
程序
:
function f =azeofun(XT,n,P,a,b,c,Q)
x(n)=1;
for i=1:n-1
x(i)=XT(i);
x(n)=x(n)-x(i);
end
T=XT(n);
p=log(P);
for i=1:n
d(i)=x*Q(i,1:n)';
dd(i)=x(i)/d(i);
end
for i=1:n
f(i)=x(i)*(b(i)/(T+c(i))+log (x*Q(i,1:n)')+dd*Q(1:n,i)-a(i)-1+p);
end
n=4;
P=760;
a=[18.607, 15.841, 20.443, 19.293]';
b=[2643.31, 2755.64, 4628.96, 4117.07];
c=[239.73, 219.16, 252.64, 227.44];
Q=[1.0 0.192 2.169 1.611
0.316 1.0 0.477 0.524
0.377 0.360 1.0 0.296
0.524 0.282 2.065 1.0];
XT0=[0.25,0.25,0.25,50];
[XT,Y]=fsolve(@azeofun,XT0,[],n,P,a,b,c,Q)
结果
:XT=[0.0000 0.5858 0.4142 71.9657]
Y= 1.0e-006 *[-0.0009 -0.0422 0.4428 -0.4701]
分析
:
在上面计算中，对初值
XT0
的取法是< br>:4
种物质各占
1/4,
温度为
50
。
C
。
初值解
XT0
x1
x2
x3
x4
T
[0.25,0.25,0.25,50]
[0.7,0.9,0.5,100]
[0,1,0,72]
[0,0,1,72]
[0,0,0,90]
[1,0,0,30]
……
分析
:
……
0.0000
0.5858
0.4142
0.0000
71.9657
0.0000
1.1425
0.0182
-0.1607 87.2356
0.0000
0.7803
0.0000
0.2197
76.9613
-0.0000 0.0000
1.0000
0.0000
82.5567
-0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
97.7712
1.0000
-0.0000 -0.0000 0.0000
-18.9700
……
……
……
……
(i)
第一、三行解分别代表了组分二、三与组分二、四形成的均相共沸物，其组成与温度均符合要求；
(ii)
第四、五、六行解中均只有一种组分，违背了均相共沸 物是由两种或两种以上物质
组成的液体混合物的定义，故这些解均不符合要求；
(iii)
第二行第四种组分为负数，不符合要求。
即符合要求的均相共沸物的组成与温度分别是
(i)
第一种组分占
0
，第二种组分占
0.5858
，第三种组分占
0.4142
，最 后一种组分占
0
，
温度为
71.9657
℃；
( ii)
第一种组分占
0
，第二种组分占
0.7803
，第三种组分占
0
，最后一种组分占
0.2197
，
温度为
76
、