关于思乡的诗-信件格式

2021年1月30日发(作者：包公赔情词)
12
、分式方程及其应用


【知识精读】

1.
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2.
解分式方程的一般步骤：

（
1
）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

（
2
）解这个整式方程；

（
3
）验根：把整式方 程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的
根是原方程的增根，必须舍去，但对 于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3.
列分式方程解应用题和列 整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的
解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解读】

例
1.
解方程：
x
2


1

x
1
x

1
分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个 公分母时不要漏乘，解完
后记着要验根

解：方程两边都乘以
(
x< br>
1
)(
x

1
)
，得

x
2

2
(
x

1
)

(
x

1
)(
x

1
)
，
即
x
2

2
x

x
2


1

2
，

x

3
2
3
是原方程的根。
2

经检验：
x


例
2.
解方程
x

1
x

6< br>x

2
x

5



< br>x

2
x

7
x

3
x< br>
6
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
(
x

6
)
与
(
x

7
)
、
(
x

2
)
与
(
x

3
)
的值相差
1
，而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差
1
的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利 用
分式的等值性质求值。

1 / 7
解：原方程变形为：
方程两边通分，得

x

6
x

5
x

2
x

1




x

7
x

6
x

3
x

2
1
1

(
x

6
)(
x

7
)
(
x

2
)(
x

3
)
所以
(
x
6
)(
x

7
)

(
x
< br>2
)(
x

3
)
即
8
x


36
9

x


2
经检验：原 方程的根是
x



例
3.
解方程：

9
。

2
12
x

10
32x

34
24
x

23
16
x

19




4
x

38
x

9
8
x

7
4
x
5
分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分 数
式之和。

1
2
2
1


4< br>

3


4

4
x
< br>3
8
x

9
8
x

7
4< br>x

5
2
2
2
2
即

< br>

8
x

9
8
x

6< br>8
x

10
8
x

7
解：由原方程 得：
3


1
1

，
(
8
x

9
)(
8
x

6
)
(8
x

10
)(
8
x

7
)
所以
(
8
x

9
)(
8
x

6
)

(
8
x

10
)(< br>8
x

7
)

于是
解得：
x

1
经检验：
x

1
是原方程的根。

6
y

12
y
2

4
y
2
例
4.
解方程：




0

y

4
y

4
y
2

4
y

4
y
2

4
分析：此题若用一般解法，则计 算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分
母有相同的因式，于是可先约分。
< br>6
(
y

2
)
(
y

2< br>)(
y

2
)
y
2
解：原方程变形为：


0

(
y

2
)(< br>y

2
)
(
y

2
)
2< br>(
y

2
)
2
6
y

2< br>y
2



0

约分，得
y

2
y

2
(
y

2
)(y

2
)
2 / 7
方程两边都乘以
(
y< br>
2
)(
y

2
)
，得

6
(
y

2
)

(
y

2
)
2

y
2

0

整理，得< br>2
y

16

y

8
经检验：y

8
是原方程的根。
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形， 因式分解等知识。因此要学会根据方程
结构特点，用特殊方法解分式方程。


5
、中考题解：

例
1
．若解分式方程
A.

1
或

2

C.
1
或
2



2
x
m

1
x

1
产生增根，则
m
的值是（）



x

1
x

x
x


B.

1
或
2

D.
1
或

2

分
析
：
分
式
方
程
产
生
的
增
根
，
是
使
分
母
为
零
的
未
知
数
的
值
。
由
题
意
得
增
根
是
：
x

0
或
x


1
，
化简原方程为 ：
2
x
2

(
m

1
)

(
x

1
)
2
，
把
x

0
或
x


1
代入解得
m
< br>1
或

2
，故选择
D
。

例
2.
甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种
2
棵树，甲班种
60
棵所用的时间与乙班种
66
棵树所用的时间相等 ，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？

分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种
x< br>棵树，则乙班每小时种（
x+2
）棵树，

由题意得：
60
66


x
x

2
60
x

120

66
x

x

20
经检验：
x

20
是原方程的根

x

2

22
答：甲班每小时种树
20
棵 ，乙班每小时种树
22
棵。

说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。


6
、题型展示：


3 / 7

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