初三中考数学总复习资料(备考大全)
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 03:55
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历久弥新的意思-隐隐约约的反义词
--
2011
年中考数学总复习资料
代数部分
第一章：实数
基础知识点
:
一、实数的分类
:
正整数
整数
零
负整数
有理数
数
有限小数或无限循环小
实数
正分数
分数
负分数
< br>
正无理数
无理数
< br>无限不循环小数
负无理数
p
１、< br>有理数：
任何一个有理数总可以写成
的形式
,
其中ｐ、
ｑ是互 质的整数
,
这是有理数的
q
重要特征。
2
、无理 数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如
2
、
3
4
；特定结 构的不限环
无限小数
,
如１
.10
１……；特定意义的数
,
如π、
sin
45
°等。
３、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1
、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1
）实数
a
的相反数是
-a; (2
）
a
和ｂ互为相反数
ａ
+b
＝０
2
、倒数
:
(
１）实数
a(a
≠０）的倒数是< br>1
;(2)a
和
b
互为倒数
ab
1
；
(3
）注意
0
没有倒数
a
３、绝对值
:
(1
）一个数ａ
的绝对值有以下三种情况：
a
,
a
0
,
a
,
a
0
a
0
a
0
(2)实数的绝对值是一个非负数
,
从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的< br>点到原点的距离。
（
3
）去掉绝对值符号
(
化简< br>)
必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认
,
再去
掉绝 对值符号。
４、
n
次方根
（
1)
平方 根，算术平方根
:
设
a
≥
0,
称
a叫ａ的平方根，
a
叫
a
的算术平方根。
(2
）正数的平方根有两个
,
它们互为相反数；
0
的平方根是
0;
负数没有平方根。
(3)
立方根
:
3
a
叫实数ａ的立方根。
--
--
(4
）一个正数有一个正的立方根；０的立方根是
0;
一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴
1
、数轴 ：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数
轴的三要素。
2
、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较
1
、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
２、正数大于
0;
负数小于
0
；正数大于一切负数
;
两个负数绝对值大的反而小 。
五、实数的运算
1
、加法
:
(
１）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加
;
(
２
)
异号两数相加
,
取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值。可使
用加法交换律、结合律。
２、减法
:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3
、乘法
:
(1
）两数相乘
,
同号取正，异号取负
,
并把绝对值相乘。
< br>（２
)
ｎ个实数相乘
,
有一个因数为０
,
积就为0
；若
n
个非０的实数相乘，积的符号由负因数
的个数决定，当负因数有 偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（
3)
乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
４、除法：
（
1)
两数相除
,
同号得正
,
异号得负，并把绝对值相除。
(2)
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（
3
）
0
除以任何数都等于
0
，
0
不能做被除数。
５、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
６、实数的运算顺序
:
乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算
,
加、减是一级运算，如果
没有括号，在同 一级运算中要从左到右依次运算
,
不同级的运算，先算高级的运算再算低级
的运算，有 括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
六、有效数字和科学记数法
1
、科学记数法
:
设Ｎ
>0
，则
N
＝
a
×
10
（其中１≤ａ ＜
10
，
n
为整数
)
。
2
、有 效数字
:
一个近似数
,
从左边第一个不是０的数
,
到精确到 的数位为止，所有的数字
,
叫做
这个数的有效数字。精确度的形式有两种：
（
1
）精确到那一位；
(
２
)
保留几个有效数字。
例题
:
例
1
、已知实数
a
、
b
在数轴上的对应点的位置如图所示，且
a
b
。
化简:
a
a
b
b
a
分析
:
从数轴上
a
、ｂ两点的位置可以看到：
a<< br>０，
b
＞０且
a
b
所以可得
:
解：
原式
a
a
b
b
a
a
例
2
、若a
(
)
,
n
3
4
3
3
b
(
)
3
,
43
c
(
)
3
，比较
a
、
b
、ｃ的大小。
4
--
--
4
3< br>
3
分析：
a
(
)
1
；
b
1
且
b
0
；ｃ
>0;
所以容易得出：
3
4
a
:
略
例
3
、若
a
2
与
b
2
互为相反数，求ａ＋
b
的值
分析：
由绝对值非负特性，
可知
a
2
0
,
又由题意可知
:
a
2
b
2
0
b
2
0
，
3
所以只能是
:a
–
2=0,b
＋
2=0
，即
a=2,
ｂ＝
–
２
,
所以
a+b=0
解
:
略
例４、已知ａ与
b
互为相反数
, c
与
d
互为倒数
,m
的绝对值是１
,
求
解
:
原式
=
0
1
1
0
2
2
a
b
cd
m
2
的值。
m
1
1
< br>
e
e
19 94
1994
e
e
0
.
125
(
２）
例
5
、计算
:(
１
)
8
2
2
1994
1
1994
1
解：
(1
）原式
=
(
8
0
.
125
)
1
1
1
1
e
e
e
e
e
e
e
e
=
e
1
1
（
2)
原式
=
2
2
2
e
2
代数部分
第二章
:
代数式
基础知识点：
一、代数式
1
、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子， 叫代数式。单独一个数
或者一个字母也是代数式。
2
、代数式的值
:
用数值代替代数里的字母
,
计算后得到的结果叫做代数式的值。
３、代数式的分类：
单项式
整式
有理式
多项式
代数式
分式
无理式
二 、整式的有关概念及运算
1
、概念
(1)
单项式：像ｘ 、
7
、
2
x
y
,
这种数与字母的积叫做单项式。单 独一个数或字母也是单
项式。
单项式的次数
:
一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。
（
2)
多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：多项式 中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项
,
就叫几项
2
--
--
式。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项 式的次数。不含字母
的项叫常数项。
升（降）幂排列
:
把一个多项 式按某一个字母的指数从小（大
)
到大
(
小
)
的顺序排列起 来
,
叫做把多项式按这个字母升
(
降
)
幂排列。
(
３）同类项：所含字母相同
,
并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类 项。
2
、运算
（１
)
整式的加减
:
合并同类项
:
把同类项的系数相加
,
所得结果作为系数，字母及字母 的指数不变。
去括号法则
:
括 号前面是“
+
”号
,
把括号和它前面的“
+
”号去掉，括号 里各项都不变；
括号前面是“
–
”号，把括号和它前面的“
–
”号去 掉
,
括号里的各项都变号。
添 括号法则：括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“
–
”号，
括到括号里的各项都变号。
整式 的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号
,
再合并同
类项。
(
２）整式的乘除：
幂的运算法则
:
其中
m
、
n
都是正整数
同
底
数
幂
相
乘
:
a
a
a
m
n
mn
n
m
n
m
n
n
；
同
底
数
幂
相
除
：
a
a
a
n
m
n
m
n
；
幂
的
乘
方
:
(
a
)
a
积的乘方
:
(< br>ab
)
a
b
。
单项式乘以单项式
:
用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它 们的指数的
和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母
,
则连同它的指 数作为积的一个
因式。
单项式乘以多项 式
:
就是用单项式去乘多项式的每一项
,
再把所得的积相加。
多项式乘以多项式
:
先用一个多项式的每 一项乘以另一个多项式的每一项
,
再把所得的
积相加。
单项除单项式
:
把系数
,
同底数幂分别相除，
作为商的因式
,
对于只在被除式里含有字母，
则连同它的指数作为商的一个因 式。
多项式除以单项式
:
把这 个多项式的每一项除以这个单项
,
再把所得的商相加。
乘法公式
:
平方 差公式：
(
a
b
)(
a
b
)
a
b
;
完全平方公式：
(
a
b
)
a
2
ab
b，
(
a
b
)
a
2ab
b
三、因式分解
1
、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式
,
叫因 式分解。
2
、常用的因式分解方法：
（
1
）提取公因式法：
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
（
2)
运用公式法
:
平方差公式
:
a
b
(
a
b
) (
a
b
)
；完全平方公式：
a
2ab
b
(
a
b
)
< br>(3
）十字相乘法
:
x
(
a
b
)
x
ab
(
x
a
)(
x
b
)
(4
）分组分解法
:将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
(5)
运用求根公式法： 若
ax
bx
c
0
(
a
0
)
的两个根是
x
1
、
x
2
，则有：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ax
2
bx
c
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
3
、因式分解的一般步骤
:
--
--
（
1
）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式
;
(2)提出公因式或无公因式可提
,
再考虑可否运用公式或十字相乘法；
(< br>３）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解
,
不行的再用求根公式法。
(
４）最后考虑用分组分解法。
四、分式
1
、分式定义：形如
A
的式子叫分式，其中
A
、Ｂ是整式
,
且
B
中含有字母。
B
（
1)
分式无意义
:B=0
时，分式无意义
;
B
≠０时，分式有意义。
(2
）分式的值为
0:A=
０，
B
≠
0
时，分式的值等 于
0
。
(3)
分式的 约分：
把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分
子、分母因 式分解
,
再约去公因式。
（４
)
最简分式
:
一个分式的分子与分母没有公因式时
,
叫做最 简分式。分式运算的最终
结果若是分式，一定要化为最简分式。
（５）
通分
:
把几个异分母的分式分别化成与原来分式 相等的同分母分式的过程，
叫做
分式的通分。
(
６
)
最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（
7
）有理式：整式和分式统称有理式。
2
、分式的基本性质
:
（
1)
A
A
M
A
A
M< br>（２
)
(
M
是
0
的 整式
)
；
(
M
是
0
的整式
)< br>
B
B
M
B
B
M
（
3
）分式的变号法则：分式的分子
,分母与分式本身的符号
,
改变其中任何两个
,
分式的
值不变。< br>
３、分式的运算
:
（
1)
加、减
:
同分母的分式相加减
,
分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把
它们通分成同分母的分式再相加减。
(2)
乘
:
先对各分式的 分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
(3)
除
:
除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（４）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
五、二次根式
1
、二次根式的概念
:
式子a
(
a
0
)
叫做二次根式。
（
1)
最简二次根式
:
被开方数的 因数是整数，
因式是整式
,
被开方数中不含能开得尽方的
因式的二次根式叫最 简二次根式。
(2
）同类二次根式：化 为最简二次根式之后
,
被开方数相同的二次根式，叫做同类二次
根式。
(3)
分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
(4)
有理化因式
:
把两个含有二次根式的代数式相乘 ，如果它们的积不含有二次根式
,
我
们就说这两个代数式互为有理化因式
(< br>常用的有理化因式有：
a
与
a
；
a
b
c
d
与
a
b
c
d
）
２、二次根式的性质：
2
（
1)
(
a
)
a
(
a
0
)
；
（
2
）
a
2
a
a
a
(
a
0
)
(
a
0
)
；
(3)
ab
a
b
(a
--
--
≥
0,b
≥
0);
（
4)
a
a
(
a
0
,
b
0
)
b
b
3
、运算
:
（１
)< br>二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
(
２）二次根式的乘法：
a
b
（
3)
二次根式的除法
:
ab
（a
≥
0
，ｂ≥
0
）
。
a
b
a
(
a
0
,
b
0
)
b
二次根式运算的最终结果如果是根式
,
要化成最简二次根式。
例题
:
一、因式分解：
1
、提公因式法：
例
1
、
24
a
(
x
y
)
6
b
(
y
x
)
分析
:
先提公因式
,
后用平方 差公式解
:
略
[
规律总结
]
因式分解本着先提取 ，
后公式等，
但应把第一个因式都分解到不能再分解为
止
,
往往需要 对分解后的每一个因式进行最后的审查
,
如果还能分解
,
应继续分解。
2
、十字相乘法
:
4
2
例
2
、(
１）
x
5
x
36
;(2)(
x
y
)
4
(
x
y
)
12
2
2
2
分析
:
可看成是
x
和
(x+
ｙ
)
的二次三项式
,
先用十字相乘法
,
初步分解。解：略
[
规律总结
]
应用十字相乘法时，
注意某一项可是单项的一字母，
也可是某个多项式或整
式
,
有时还需要连续用十字相乘法。
３、分组分解法
:
例
3
、
x
2
x
x
2
分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解
:
略
[
规律总结
]
对多项式适当分组转化成基本方法因式分 组，分组的目的是为了用提公因
式，十字相乘法或公式法解题。
4
、求根公式法：
例４、
x
5
x
5
解：略
二、式的运算
巧用公式
例
5
、计算：
(
1
2
3
2
2
1
2
1
2
)
(
1
)
a
b
a
b
分析
:
运用平方差公式因式分解
,
使分式运算简单化。解
:
略
[
规律总结
]
抓住三个乘法公式的特征
,
灵活运用
,
特别要掌握公式的几种变形
,
公式的逆
用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。
2
、化简求值：
例
6
、先化简，再求值：5
x
(
3
x
5
x
)
(
4
y
7
xy
)
,
其中
x=
–
1 y =
1
2
［规律总结
]
一定要先化到最简再代入求值
,
注意去括号的法则。< br>
３、分式的计算
:
例７、化简
2
2
2
2
a
5
16
(
a
3
)
2
a
6
a
3
--
--
a
2
9
分析：
–
a
3
可看成
解：略
a< br>
3
［规律总结
]
分式计算过程中：
（
1
） 除法转化为乘法时
,
要倒转分子、分母；
（
2
）注意负号
4
、根式计算
例
8
、已知最简二次根式
2
b
1
和
7
b
是同类二次根式
,求ｂ的值。
分析
:
根据同类二次根式定义可得
:2b+
１
=7
–
b
。解
:
略
[
规律 总结
]
二次根式的性质和运算是中考必考内容
,
特别是二次根式的化简、求值 及性
质的运用是中考的主要考查内容。
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1
、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2
、方程的解
:
使方程左右两边 的值相等的未知数的值叫方程的解
,
含有一个未知数的方
程的解也叫做方程的根。
3
、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
４、方程的增根：在方程变形时
,
产生的不适合原方程的根叫做 原方程的增根。
二、一元方程
1
、一元一次方程
（
1)
一元一次方程的标准形式：
ax+b=0
（其中
x
是未知数
,a
、
b
是已知数
,a
≠
0
）
(2
）一玩 一次方程的最简形式
:ax=b(
其中
x
是未知数
,a
、< br>b
是已知数，
a
≠
0
）
（
3)
解一元一次方程的一般步骤
:
去分母、 去括号、移项、合并同类项和系数化为
1
。
(
４
)
一元一次方程有唯一的一个解。
2
、一元二次方程
（
1
）一元二次方程的一般形式
:
ax
bx
c
0
（其中ｘ是未知数，
a
、ｂ、ｃ是 已
知数，
a
≠
0
）
(
２）一元二次方程的解法
:
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
< br>(3)
一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般
,
如没有要求，一般不用 配方法。
（
4
）一元二次方程 的根的判别式：
b
4
ac
当Δ＞
0
时
方程有两个不相等的实数根；
当Δ
=0
时
方程有两个相等的实数根；
当Δ
< 0
时
方程没有实数根
,
无解；
当Δ≥０时
方程有两个实数根
(
５）一元二次方程根与系数的关系
:
若
x
1
,
x
2
是
一
元
二
次
方
程
ax
bx
c
0
的
两
个
根
,
那
么
：
x
1
x
2
2
2
2
b
，
a
x
1
x
2
c
a
(6
）
以两
个
数
x
1
,
x
2
为
根的
一
元
二
次
方
程
（
二
次项
系
数
为
1)
是
：
x
2
< br>(
x
1
x
2
)
x
x< br>1
x
2
0
三、分式方程
(1
）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
--
--
(2
）分式方程的解法
:
一般解法：去分母法
,
方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法
:
换元法。
（
3
）检验方法
:
一般把求得的未知数的值代入最简公分 母，使最简公分母不为
0
的就
是原方程的根；使得最简公分母为
0
的 就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得
的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组
1
、方程组的解
:
方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2
、解方程组
:
求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
３、一次方程组
:
(
１
)
二元一次方程组：
一般形式：
a
1
x< br>
b
1
y
c
1
(
a
1< br>,
a
2
,
b
1
,
b
2
,< br>c
1
,
c
2
不全为
0)
a2
x
b
2
y
c
2
解法
:
代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解
,
当两个方程相同时有无数的解。
（２）三元一次方程组
:
解法
:
代入消元法和加减消元法
4
、二元二次方程组：
(1)
定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元 二次
方程组成的方程组叫做二元二次方程组。
< br>(2
）解法：消元，转化为解一元二次方程
,
或者降次
,
转化 为二元一次方程组。
考点与命题趋向分析
例题
:
一、一元二次方程的解法
例
1
、解下列方程
:
(1
）
1
2
2
（
3
）
4
(
x
3
)
25
(
x
2
)
(
x
3
)
2
2
;(
２）
2
x
2
3
x
< br>1
；
2
2
分析
:
（
1)
用直接开方 法解
;(2)
用公式法
;(
３
)
用因式分解法
解：略
[
规律总结］如果一元二次方程形如
(
x
m
)
n
(
n
0
)
，就可以用直接开方法来解；利用
公式法可以解任何一个有解的一元二次方程
,
运用公 式法解一元二次方程时，一定要把方程
化成一般形式。
例
2
、解下列方程
:
(1
）
x
a
(
3
x
2
a
b
)
0
(
x
为未知数
)
；
（
2)
x
2
ax
8
a
0
分析：
（
1
）先化为一般形式，再用公式法解；
（
2
）直 接可以十字相乘法因式分解后可求解。
[
规律总结］
对于带字母 系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，
在用公式法时要注意
判断△的正负。
二、分式方程的解法
:
例
3
、解下列方程
:
2
2
2
x
2
2
6
x
2
1
5
1
(2
）
；
(
２）
2
2
x
x
1
x
2
1
x
分析：
(1)
用去分母的方法；（
2
）用换元法
解
:
略
[
规律总结
]
一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如
:
有平方 关系，倒数关系
--
--
等的分式方程，可采用换元法来解。
三、根的判别式及根与系数的关系
例
4
、已知关于
x的方程：
(
p
1
)
x
2
px
p
3
0
有两个相等的实数根，求
p
的值。
分析：由题意可得
=0,
把各系数代入
＝
0
中就可求出
p
，但要先化为一般形式。
［规律总结
]
对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项 系数不能为０
例
5
、已知
a
、
b
是方程
x
2
x
1
0
的两个根，求 下列各式的值
:
（
1)
a
b
;
（２）
2
2
2
2
1
1
a
b
分析：先算出
a
＋
b
和
a
ｂ的值，再代入把
(1
）
（
2)
变形后的式子就可求出解。
[
规 律总结
]
此类题目都是先算出两根之和和两根之积，
再把要求的式子变形成含有两根之 和
和两根之积的形式
,
再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。
例
6
、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程
x
x
5
0
的两个根小３
分析
:
先出求原方程的两根之和
x
1
x
2
和两根之积
x
1
x
2
再代入求出
(
x
1
3< br>)
(
x
2
2
)
和
2< br>(
x
1
3
)(
x
2
3
)
的值
,
所求的方程也就容易写出来。解：略
[
规律总结
]
此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂
,
用 根与系数的关
系就比较简单。
三、方程组
例
7
、解下列方程组
:
x
y
2
z
1
2
x
3
y
3
（１）
;
（
2)
2
x
y
z
5
x
2
y
5
x
y
3
z
4
分析
:
（
1)
用加减消元法消 ｘ较简单；
（
2
）
应该先用加减消元法消去
y
，
变 成二元一次方程组，
较易求解。解
:
略
[
规律总结
]
加减消元法是最常用的消元方法
,
消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未< br>知数。
例
8
、解下列方程组：
2
2
x
y
7
3
x
xy
4
y
3
x
4< br>y
0
(1)
;
（
2
）
2
2
xy
12
x
y
25
分析：
（
1)
可用代入消远法，也可用根与系 数的关系来求解；
(
２
)
要先把第一个方程因式分
解化成两个二元一 次方程
,
再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解
:
略
[
规律总结
]
对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消 元法
,
对
于两个二元二次方程组成的方程组
,
一定要先把其中一个方 程因式分解化为两个一次方程再
和第二个方程组成两个方程组来求解。
代数部分
第四章：列方程
(
组
)
解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1
、审题：
2
、设未知数；
--
--
3
、找出相等关系
,
列方程
(
组
);
4
、解方程
(
组）
；
５、检验，作答；
二、列方程
(
组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1
、工程问题
< br>(1)
基本工作量的关系
:
工作量
=
工作效率×工作时间
(2)
常见的等量关系：甲的工作量
+
乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量
(
３）注意
:
工程问题常把总工程看作“
1
”
，水池注水 问题属于工程问题
2
、行程问题
(1)
基本量之间的关系
:
路程
=
速度×时间
（２
)
常见等量关系：
相遇问题
:
甲走的路程
+
乙走的路程
=
全路程
追及问题（设甲速度快
)
：
< br>同时不同地：甲的时间
=
乙的时间
;
甲走的路程
–
乙 走的路程＝原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲 的时间＝乙的时间
–
时间差
;
甲的路程
=
乙的路程
3
、水中航行问题
:
顺流速度
=
船在静水中的速度
+
水流速度
;
逆流速度
=
船在静水中的速度
–
水流速度
４、增长率问题：
常见等量关系
:
增长后的量
=
原来的量＋增长的量
;
增长的量
=
原来的量×（
1+
增长率
);
５、数字问题
:
基本量之间的关系
:
三位数
=
个位上的数
+
十位上的数×
10+
百位上的数×
100
三、列方程解应用题的常用方法
1
、
译式法：
就是将题目 中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式
,
然后根据
代数之间的内在联系找 出等量关系。
２、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段 长度
的内在联系，找出等量关系。
3
、列表法
:
就是把已 知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
４、图示法
:
就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，
这种方法能帮助我们更好地理 解题意。
例题：
例
1
、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作
5
天后，甲组另有任务
,
由乙组再
单独工作
1
天就可完成
,
若单独完成这项工程乙组比甲组 多用
2
天，求甲、乙两组单独完成
这项工程各需几天？
分析
:
设工作总量为
1,
设甲组单独完成工程需要
x
天
,则乙组完成工程需要
（
x+2)
天
,
等量
关系是甲组< br>5
天的工作量
+
乙组６天的工作量
=
工作总量
解
:
略
例
2
、某部队奉命派甲连跑步前往９0
千米外的Ａ地，
1
小时
4
５分后，因任务需要
,又
增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快
2
８千米，恰好在全程的1
处追上甲连。
3
求乙连的行进速度及追上甲连的时间
分析< br>:
设乙连的速度为
v
千米
/
小时
,
追上甲连 的时间为
t
小时
,
则甲连的速度为
(v
–
28）千
米
/
小时，这时乙连行了
(
t
)
小时，其等量关系为
:
甲走的路程
=
乙走的路程＝３
0
例
3
、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备
60
台支援抗洪
,< br>由于改进了操作技术；
7
4
--
--
每天生产的台数比原 计划多
50%,
结果提前２天完成任务
,
求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台
?
分析：设原计划每天生产通讯设备
x
台
,
则改进操作技术后每天生产ｘ（
1+
０．
5
）台，
等量关系为:
原计划所用时间
–
改进技术后所用时间
=2
天
解
:
略
例４、某商厦今年一月份销售额为６
0
万元
,
二月份由于种种原因
,
经营不善
,
销售额下 降
１
0%
，以后经加强管理
,
又使月销售额上升，到四月份销售额增 加到
96
万元，求三、四月
份平均每月增长的百分率是多少
?
分析 ：设三、四月份平均每月增长率为
x%,
二月份的销售额为６
0(
１
–
10%)
万元
,
三月份
的销售额为二月份的
(1+x)< br>倍
,
四月份的销售额又是三月份的
(
１
+x
）
倍，
所以四月份的销售额
2
为二月份的
(1+x)
倍
,< br>等量关系为：四月份销售额为
=
９６万元。解
:
略
例
5
、
一年期定期储蓄年利率为
2.25%
，
所得利息要交 纳
20
％的利息税，
例如存入一年
期
1
０
0
元
,
到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：
税后利息
=100
2
.
25
%
100
2
.
25
%
20
%
100
2
.
25
%(
1
20
%)
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是
4
５
0
元 ，问该储户存入了
多少本金
?
分析：设 存入
x
元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为２
.2
５
%(1 -20%)x
元
,
方程容易得出。
例６、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出
20
件
,
每件盈利
4
０元
,
为了扩大销售，
增加盈利
,
减少 库存，商场决定采取适当的降低成本措施
,
经调查发现
,
如果每件衬衫每降价
1
元
,
商场平均每天可多售出
2
件。
若商场平均每 天要盈利
1
２
00
元，
每件衬衫应降价多少元
?
分析
:
设每件衬衫应该降价
x
元< br>,
则每件衬衫的利润为（
40-
ｘ
)
元
,
平 均每天的销售量为
（２０
+2x)
件，由关系式：
总利润
=
每件的利润×售出商品的叫量
,
可列出方程
解：略
代数部分
第五章：不等式及不等式组
知识点
:
一、不等式与不等式的性质
1
、不等式：表示不等关系的式子。
(
表示不等关系的常用符号：≠，＜
,>
）
。
２、不等式的性质
:
(
ｌ）不等式的两边都加上
(
或 减去）同一个数
,
不等号方向不改变
,
如
a
＞
ｂ，
c
为实
数
a
＋
c>b+
ｃ
< br>(2)
不等式两边都乘以（或除以
)
同一个正数，不等号方向不变
,< br>如
a>b
，
c
＞０
ac>b
ｃ。
(3)
不等式两 边都乘以（或除以
)
同一个负数，不等号方向改变
,
如
a>b,c<
０
a
ｃ＜
bc.
< br>注
:
在不等式的两边都乘以
(
或除以
)
一个实数时， 一定要养成好的习惯、就是先确定该
数的数性
(
正数，
零
,
负数）
再确定不等号方向是否改变
,
不能像应用等式的性质那样随便，
以防出错。
３、任意两个实数
a,b
的大小关系
(
三种
):
（１
)a
–
ｂ
>0
a>b
(2)a
–
b
＝
0
ａ
=b
(
３）
a
–
b<0
a
＜ｂ
a
b
2
2
(2)a
＞
b>0
a
b
4
、
(1)a
＞
b
＞０
--
--
二、不等式
(
组）的解、解集、解不等式
1
、能使一个不等式
(
组
)
成立的未知数的一个 值叫做这个不等式
(
组
)
的一个解。
不等式的所有解的集合
,
叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2
．求不等式（组
)
的解集的过程叫做解不等式
(
组）
。
三、不等式（组）的类型及解法
1
、一元一次不等式：
(ｌ
)
概念
:
含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫 做一元一次
不等式。
(2)
解 法：与解一元一次方程类似
,
但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一
个负数 时
,
不等号方向要改变。
2
、一元一次不等式组
:
(l
）
概念
:
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，
叫做一元一次不
等式组。
（
2
）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
例题：
方法
1
：利用不等式的基本性质
１、判断正误：
（
1
）若
a
＞ｂ
,
ｃ为实数
,
则
ac
>
bc
;
(2< br>）若
ac
＞
bc
,
则
a>
ｂ
分析：在
(l
）中
,
若 ｃ
=0,
则
ac
=
bc
;
在
( 2)
中
,
因为”＞”
，所以。
C
≠
0,
否 则应有
2
2
2
2
2
2
ac
2
=< br>bc
2
故
a
＞ｂ
解
:
略
[
规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等 式的三条基本性质
,
不等式的两边都
乘以或除以含有字母的式子时
,
要对字母进行讨论。
方法
2:
特殊值法
例
2
、若
a
＜ｂ
<
０，那么下列各式成立的是（< br>
）
A
、
1
1
a
a
Ｂ、
ab
＜
0
C
、
1
D
、
1
a
b
b
b
a
1
,
所以选
D
b
分析
:
使用直接解法解答常常费时间，
又因为答案在一般情况下成 立，
当然特殊情况也
成立，因此采用特殊值法。
解：根据
a
0
的条件，可取
a=
–
2
，ｂ
=
–
l
，代入检验
,
易知
[
规律总结
]
此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用 特殊值
法，既快，又能找到符合条件的答案。
方法
3:
类比法
例
3
、解下列一元一次不等式
,
并把解集在数轴上表示出 来。
(1)8
–
2
（
x+
２）＜４ｘ
–
2
；
(2
）
1
x
1
x
1
2
2
3
分 析
:
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似
,
主要步骤有去分母,
去括号、移
项、合并同类项
,
把系数化成
1,
需要注 意的是
,
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不
等号要改变方向。解：略
[
规律总结］
解一元一次不等式与解 一元一次方程的步骤类似，
但要注意当不等式的两
--
--
边都乘以或除 以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题
,
使学生容易理解新知
识和掌握 新知识。
方法
4:
数形结合法
2
(
x
8
)
10
4
(
x
3
)
例
4
、求不等 式组
:
x
1
6
x
7
的非负整数解
1
3
2
分析：要求一个不等式组的非负整数解
,
就应先求出不等式组的解集
,
再从解集中找出
其中的非负整数解。解
:
略
方法
5:
逆向思考法
例
5
、已知关于
x
的不等式
(
a
2
)
x
10
a
的解集 是
x
＞
3,
求
a
的值。
分析
:
因为关于ｘ的不等式的解集为
x
＞3
，
与原不等式的不等号同向
,
所以有
a
–
2
>0,
即原不等式的解集为
x
10
a
10
a
，
3
解此方程求出
a的值。解：略
a
2
a
2
[
规律总结
]
此题先解字母不等式，后着眼 已知的解集，探求成立的条件，此种类型题
都采用逆向思考法来解。
代数部分
第六章
:
函数及其图像
知识点：
一、平面直角坐标系
1
、平面内有公共原点且 互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标
系内的点和有序实数对之间建立了—一对应 的关系。
2
、不同位置点的坐标的特征：
（１
)
各象限内点的坐标有如下特征：
点
P
（
x,
ｙ
)
在第一象限
x
＞
0
，
y>0;
点
P
（
x
，
y)
在第二象限
x<
０
,y>0;
点Ｐ（
x, y
）在第三象限
x<0
，ｙ＜
0
；
点
P(x,
ｙ）在第四象限
< br>x
＞
0
，
y<0
。
(
２）坐标轴上的点有如下特征
:
点
P(x
，
y)
在
x
轴上< br>
y
为
0,x
为任意实数。
点
P(x
，
y)
在
y
轴上
< br>ｘ为
0,y
为任意实数。
3
．点
P(x,
ｙ）坐标的几何意义
:
(1)
点
P
（
x
，
y
）到
x
轴的距离是
| y |
；
（
2
）点
P(x,
ｙ
)
到
y
袖的距离是
| x |
；
(3)
点
P
（
x, y)
到原点的距离是
x
y
４
.
关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：
（
1)
点
P(a
，
b
）关于
x
轴的对称点是
P
1
(
a
,
b
)
；
（
2
）点
P
（
a,
ｂ
)
关于< br>x
轴的对称点是
P
2
(
a
,
b< br>)
;
(3
）点Ｐ
(a,
ｂ
)
关于原点的对称点是
P
3
(
a,
b
)
；
二、函数的概念
1
、常量和变 量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量
叫做常量。
2
2
--
--
２、
函数
:
一般地
,
设在某一变化过程中有两个变量
x
和
y,
如果对于ｘ的每一个值，
y
都
有唯一的值与它对应，那么就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数。
（
1)
自变量取值范围的确是
:
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数
,
自变量 取值范围是使分母不为０的实数。
③解析式是只 含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负
的实数。
注意
:
在确定函数中自变量的取值范围时
,
如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意
义。
(2)
函数值
:
给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对 应值。
(3
）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法
（
4
）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线
三、几种特殊的函数
1
、一次函数
直线位置与ｋ，
b
的关系：
(1
）
k
＞
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的 夹角为锐角
;
（２）
k
＜
0直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的夹角为钝角；
（
3) b
＞
0
直线与
y
轴交点在ｘ轴的上方；
(4)b
＝０直线过原点；
(
５
)
ｂ
<
０直线与
y
轴交点在
x
轴的下方
;
2
、二次函数
--
--
抛物线位置与
a,b
，ｃ的关系
:
（１）
a
决定抛物线的开口方向
a
0
开口向上
a
0< br>
开口向下
（
2
）
c
决定抛物线与
y
轴交点的位置：
c>0
图像与
y
轴交 点在
x
轴上方；
c=
０
图像过原点
;c<0
图像与
y
轴交点在
x
轴下方
;
（
3)a
，
b
决定抛物线对称轴的位置
:a，
b
同号，对称轴在
y
轴左侧；
b
＝
0
，对称轴是
ｙ轴；
a
，
b
异号。对称轴在
y
轴右侧
;
３、反比例函数：
4
、正比例函数与反比例函数的对照表
:
--
--
例题：
例１、
正比例函数图象 与反比例函数图象都经过点
P
(
m
，
4
),
已知点
P
到
x
轴的距离是到
y
轴的距离
2
倍.
⑴求点
P
的坐标
.
;
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。
分析
:
由点
P
到ｘ轴的距离是到
y
轴的 距离
2
倍可知
:2|
ｍ
|=4
，
易求出点
P
的坐标，
再
利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。解
:
略
例２、已知
a
，
b
是常数
,
且
y+b
与
x+
ａ成正比例
.
求证：< br>y
是
x
的一次函数
.
分析：应写出ｙ＋ｂ与
x+a
成正比例的表达式
,
然后判断所得结果是否符合一次函数定
义
. < br>证明
:
由已知，有ｙ＋ｂ
=k
（
x
＋
a），其中
k
≠
0.
整理
,
得ｙ＝
k
ｘ
+(
ｋａ
-b)
．
①
因为
k
≠
0
且
ka
－
b
是常数， 故ｙ＝ｋ
x+(ka
－ｂ
)
是
x
的一次函数式
.
例
3
、填空
:
如果直线方程
ax
＋
by
＋
c=
０中
,a<0,b<
０且b
ｃ＜
0,
则此直线经过第
_
＿
______
象限
.
分析
:
先把
ax+b
ｙ
+c
＝< br>0
化为
a
b
x
c
b
． 因为
a
＜
0
，
b<0
，所以
a
b
0
,
a
b
0
,
又
bc
＜
0,
即
c
b
＜
0,
故
-< br>c
b
＞０
.
相当于在一次函数
y=kx
＋ｌ中
,k=
－
a
b
<0,
ｌ
=
－
c
b
>
０
,
此直线与ｙ轴
的交点
(0
，
-< br>c
b
)
在ｘ轴上方
.
且此直线的向上方向与
x
轴正方向所成角是钝角，
所以此直线
过第一、二、四象限
.
例
4
、把反比例函数
y=
k
x
与二次函数
y< br>＝
kx
２
（
k
≠０）画在同一个坐标系里
,
正确的是
（
).
答
:
选
(
Ｄ
).
这两个函数式中的
k
的正、负号应相同
(
图
13
－
1
１
0)
．
--
--
例５、画出二次函数ｙ
=x
-
６ｘ
+7
的图象，根据图象回 答下列问题：
2
（
1
)
当
x=-1< br>,
1
，３时
y
的值是多少
?
(
2
）当
y=2
时，对应的
x
值是多少
?
(
３）当
x
＞
3
时
,
随ｘ值的增大
y
的值怎样变化？
（
4
)
当
x
的值由３增加1
时，对应的
y
值增加多少
?
2
2
分析
:
要画出这个二次函数的图象，
首先用配方法把
y=
ｘ
-
６
x
＋
7
变形为
y=
(
ｘ－
3
）
-2
,
确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图
.
解：图象略．
例
6
、
拖拉机开始工 作时
,
油箱有油４５升，如果每小时耗油
6
升
.
(
1
）求油箱中的余油量Ｑ（升）与工作时间
t
（时
)
之间 的函数关系式
;
（
2
）画出函数的图象
.
答
:(
1
）
Q
＝
45
－
6t
．
（
2
）图象略．注意
:
这是实际问题，图象只能由自变 量
t
的取值范围
0
≤
t
≤７
.5
决定是一条线段，而不是直线
.
代数部分
第七章
:
统计初步
知识点：
一、总体和样本
:
在统计时，
我们把所要考察的对象的全体叫做总体
,
其中每一考察对象叫做个体。
从总
体 中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本
,
样本中个体的数目叫做样本容量。
二、反映数据集中趋势的特征数
1
、平均数
1
(
x1
x
2
x
n
)
n
（
2)
加权 平均数
:
如果
n
个数据中
,
x
1
出现f
1
次
,
x
2
出现
f
2
次< br>,
……，
x
k
出现
f
k
次（这
1< br>里
f
1
f
2
f< br>k
n
）
，则
x
(
x
1
f
1
x
2
f
2
x
k
f
k
)
n
（
1)
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
的平均数
,
x< br>
(
３）平均数的简化计算：
当一组数据
x
1
,
x< br>2
,
x
3
,
,
x
n
中各 数据的数值较大，并且都与常数
a
接近时，设
x
1
a,
x
2
a
,
x
3
a,
,
x
n
a
的平均数为
x
'
则
:
x
x
'
a
。
2
、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排 列，处在最中间位置上的数据叫做这组数
据的中位数
,
如果数据的个数为偶数中位数就 是处在中间位置上两个数据的平均数。
3
、众数：在一组数据中
,
出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数
可能不止一个。
--
--
三、反映数据波动大小的特征数：
1
、方差
:
(
x
1
x
)2
(
x
2
x
)
2
(
x
n
x
)
2
(l
）
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
的方差，< br>
S
n
2
2
2
2
x< br>1
x
2
x
n
2< br>
x
(
x
1
,
x
2
,
x< br>3
,
,
x
n
为较小的整数时用
（
2)
简化计算公式
:
S
n
2
这个公式要比较方便）
2
(
３）
记
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
的方差为
S
，
设ａ 为常数，
x
1
a
,
x
2
a< br>,
x
3
a
,
,
x
n< br>
a
的方差为
S
`
，则
S
=
S`
。
注
:
当x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
各数据较大而常数ａ较接近时
,
用该法计算方差较简便。
2
、标准差：方差（
S
）的算术平方根叫做标准差（
S
）
。
注：通常由方差求标准差。
四、频率分布
１、有关概念
（
1)
分组：将一组数据按照统一的标准 分成若干组称为分组，当数据在
100
个以内时
,
通常分成
5-1< br>２组。
（
2
）频数:
每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据
总数
n
。
(3)
频率
:每个小组的频数与数据总数
n
的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为
ｌ。
(4)
频率分布表
:
将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布
表。
（５
)
频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘 制成的，以数据的各分点为横坐标
,
以频率除以组距为纵坐标的直方图
,
叫做 频率分布直方图。
图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。
每个小长方形的面积等于该组的频率。
所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于
1
。
样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量
n
的比 例的大小
,
总体分
布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是 用样本的频率分布去
估计总体的频率分布。
２、研究频率分布的方法
;
得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图
,
其步骤是：
（
1
）计算最大值与最小值的差；
（２）决定组距与组数；
（
3 )
决定分点
;
（４）列领率
分布表
;(5)
绘频率分布直方 图。
例题：
例
1< br>、某养鱼户搞池塘养鱼
,
放养鳝鱼苗２０
00
０尾，其成活率为
70
％，随意捞出１
0
尾鱼，
称得每尾的重量如下
(
单位 ：
千克）
０．
８、
0
．
9
、
1.
２、
1.
３、
0.8
、
1
．
ｌ、
１
.0
、
1
．
2
、
0
．８、
0.9
根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克
?
分析
:
先算出样本的平均数
,< br>以样本平均数乘以
200
０
0
，再乘以７
0%
。解： 略
［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给 数据比较分散时
,
一般用平均数的概念来
求
;
著所给数据较大且都在 某一数
a
上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现
2
2
2
2
--
--
时，通常采用加权平均数公式来计算。
例
2
、一次科技知识竞赛
,
两次学生成绩统计如下
已经算得两个组的人均分都是
8
０分，
请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个
组成绩谁优谁次
,
并说 明理由
解
:(l)
甲组成绩的众数
9
０分，
乙组成绩的众数为
70
分，
从众数比较看，
甲组成绩好些。
(2
）算得S
甲
=1
７２
,
S
乙
256
所以甲组成绩较乙组波动要小。
(3)
甲、乙两组成绩的中位数都是８
0
分
,
甲组成绩在中位数以上的有
33
人
,
乙组成绩在
中位数以上的有
26
人，从这一角度看甲组的成绩总体要好。
(4
）从成绩统计表看，甲组成绩高于８０分的人数为
20人
,
乙组成绩高于
80
分的人数
为
2
４人，所 以
,
乙组成绩集中在高分段的人数多
,
同时，乙组得满分的人数比甲组得满分 的
人数多
6
人，从这一角度看
,
乙组的成绩较好。
[
规律总结］明确方差或标准差是衡量一组数据的 波动的大小的
,
恰当选用方差的三个
计算公式
,
应抓住三个公式的特 征，根据题中数据的特点选用计算公式。
例3
、
到从某学校
3600
人中抽出
50
名男生，
取得他们的身高
（单位
c
ｍ
)
，
数据如下
:1< br>８
1
18
１
179
177
１
7
７
１７
7
1
７
6
17
５
17
５
175
１
75
174
174
１
７４
１
74
173
１
73
173
１
73
172
172
１
72
1
７２
172
171
17
１
171
１７
0
1
７０
１
69
l69 16
８
16
７
167
167
166
ｌ
66
l66
1
６
6
１
66
165
165
165
163
1
６
3
１
62
161
160
158
157
１、计算频率
,
并画出频率分布直方图
２、上指出身高在哪一组内的男学生人数所占的比最大
3
．请估计这些初三男学生身高在１
66
．
5 c
ｍ以下的约有多少人？
2
2
解
:1
、各组频率 依次是
:0.08,0.
２
2,0.22
，０
.36
，0
．１
2
--
--
2
、从频率分布表（或图）中
,
可见身高在１７
1.5
—
17 6
．５组内男学生人数所占的比最
大。
3
、这个地方男学生身高
166.5
侧以下的约为
3000
(
0
.
08
0
.
22
)
900
（人）
[
规律总结］
要掌握获得一组数据的频率分布的五大步骤，
掌握整理数据的步骤和方法。
会对数据进行合理的分组。
几何部分
第一章：线段、角、相交线、平行线
知识点
:
一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两
方无限延伸”
。
二、
直线的性质
:
经过两点有一条直线，
并且只有一条直线，
直线的这条性质是以 公
理的形式给出的，可简述为
:
过两点有且只有一条直线
,
两直线相 交
,
只有一个交点。
三、射线：
1
、射线的定义
:
直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。
2
．射线的特征：
“向一方无限延伸,
它有一个端点。
”
四、线段
:
1
、线段的定义： 直线上两点和它之间的部分叫做线段
,
这两点叫做线段的端点。
2
、线段的性质（公理
):
所有连接两点的线中
,
线段最短。
五、线段的中点
:
1
、定义如图１一
1
中
,
点
B
把线段
A< br>Ｃ分成两条相等的线段，点Ｂ叫做线段图
1-1AC
的中点。
2
、表示法
:
∵
AB
＝
B
Ｃ
∴点
B
为
AC
的中点
或∵
AB=
1
MAC
2
∴点
B
为
AC
的中点， 或∵
AC
＝
2AB
，∴点Ｂ为
AC
的中点
反之也成立
∵点
Ｂ为
AC
的中点
,
∴
AB
＝
B
Ｃ
或∵点
B
为
A
Ｃ的中点
,
∴
AB
＝
1
Ａ
C
2
或∵点
B
为Ａ
C
的中点，
∴
AC=2BC
--
--
六、角
１、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 。要弄清定
义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置
的射线与终 止位置的射线就形成了一个角。
2.
角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角
,
这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种
:
如图
1
—
2
（１）∠Ａ
OC
＝∠
B
Ｏ
C
(2
）∠
AOB=
２∠
A
Ｏ
C=
2
∠
C
ＯＢ
（
3
）∠
A
ＯＣ＝∠
C
Ｏ
B
＝
1
∠
AO
Ｂ
2
七、角的度量：度量角的大小，可用 “度”作为度量单位。把一个圆周分成３
6
０等
份
,
每一份叫做一度 的角。
1
度
=60
分
;1
分
=
６
0
秒。
八、角的分类
:
(1)
锐角：小于直角的角叫做锐角
（
2
）直角
:
平角的一半叫做直角
（３
)
钝角
:
大于直角而小于平角的角
（
4)
平角：
把一条射线
,
绕着它的端点顺着一个方向旋转
,
当终止位置和起始位置成一直
线时，所成的角叫做 平角。
(5)
周角
:
把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所
成的角叫做周角。
(6
）周角、平角、直角的关系是：
< br>l
周角＝
2
平角
=4
直角
=360
°
九、相关的角：
1
、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个 角叫做对顶
角。
2
、互为补角
:
如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3
、互为余角
:
如果两个角的和 是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4
、邻补角
:
有公共顶点
,
一条公共边
,
另两条边互为反向延长线的两个角做互为 邻补角。
注意：互余、互补是指两个角的数量关 系，与两个角的位置无关
,
而互为邻补角则要求
两个角有特殊的位置关系。
十、角的性质
1
、对顶角相等。
２、同角或等角的余角相等。
３、同角或等角的补角相等。
十一、相交线
1
、斜线：两条 直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的
交点叫做斜足。
2
、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说
这两条直线互相垂直。
< br>3
、
垂线：
当两条直线互相垂直时，
其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线
,
它们的交
点叫做垂足。
4
、垂线的性质
（ｌ
)
过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
(2)
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说 ：垂线段最短。
--
--
十二、距离
1
、两点的距离
:
连结两点的线段的长度叫做两点的距离。
2
、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
3
、
两条平行线的距离
:
两条直线 平行，
从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，
垂线段的长度
,
叫做两 条平行线的距离。
说明
:
点到 直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，
它们与点到直
线的垂线段是分不开 的。
十三、平行线
1
、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2
、平行公理
:
经过直线外一点，有且只有一条直线与 这条直线平行。
3
、
平行公理 的推论
:
如果两条直线都和第三条直线平行
,
那么这两条直线也互相平行。< br>
说明
:
也可以说两条射线或两条 线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
4
、平行线的判定：
(1
）同位角相等
,
两直线平行。
（
2
）内错角相等
,
两直线平行。
（
3)
同旁内角互补
,
两直线平行。
５、平行线的性质
（
1
）两直线平行，同位角相等。
(2)
两直线平行，内错角相等。
(3)
两直线平行，同旁内角互补。
< br>说明
:
要证明两条直线平行，用判定公理（或定理
)
在已知条件中有两 条直线平行时
,
则
应用性质定理。
6
、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边
,
那么这两个角 相等或互补。
注意
:
当角的两 边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一
边方向相同另一方向相反时，这两 个角互补。
例题：
方法
1:
利用特殊“点”和线段的长
例
1
、已知：如图
1
－
3,C
是线段< br>AB
的中点
,
Ｄ是线段ＣＢ
的中点
,BD
＝
1.2cm
。求：
AD
的长。
[
思路分析
]
由
D
是Ｃ
B
中点
,D
Ｂ已知可求出ＣＢ
,
再由
C
点
是< br>AB
中点可求出Ａ
B
长，用
A
Ｂ减减去
D
Ｂ 可求
AD
。解
:
略
［规律总结
]
利用线 段的特殊点如“中点”
“比例点”求线段的长的方法是较为简便的解法。
方法
2:
如何辨别角的个数与线段条数。
例
2
、
如图
1-4
在线段
AE
上共有
5
个点
A
、
B
、
Ｃ、
D
、
E
怎样才数出所有线段，
[< br>思路分析
]
本问题如不认真审题会误以为有
4
点恰有
４个空就 是
4
条线段即
AB
、
B
Ｃ、
ＣＤ、
Ｅ
D
；而如果从
一个端点出发、再找出另一个端点 确定线段
,
就会发现有
10
条线段：
即
:
Ａ
B
、Ａ
C
、
AD
、
AE
、
BC
、
BD
、
BE
、
CD
、
CE
、
DE
共
1< br>０条。
[
规律总结< br>]
此类型题如果做到不重不漏
,
最好方法是
先从一个端点出发
,
再找出另一个端点确定线段。
例3
、
如图
1
一
5
指出图形中直线
AB
上方角的个数
（不
含平角
)
--
--
[
思路分析］
此题有些同学不认真分析误认为就
4个角
,
其实共有
9
个角。
即：
∠ＡＯ
C
、
∠
AOD
、∠
AOE
、∠
CO
Ｄ、∠
COE
、∠
COB
、∠
DO
Ｅ、∠
DO
Ｂ、∠EOB
共
9
个角。
[
规律总结］从一个顶点引出多条射线时
.
为了确定角的个数,
一般按边顺序分类统计，
避免既不重复又不遗漏。
方法
3
：用代数法求角度
例４、已知一个锐角的余角，是这个锐角的补角的
1
,
求这个角。
6
[
思路分析］本题涉及到的角是锐角同 它的余角及补角。根据互为余角，互为补角的概
念
,
考虑它们在数量上有什么关系?
设锐角为ｘ，则它的余角为９
0
–
x
。
,
它的补角为
1
８
0
–
x,
这就可以列方程了。解
:
略
[
规律总结］有关余角、补角的问题
,
一般都用代数方法先设未知数，再依题 意列出方
程
,
求出结果。
方法
4
：添加辅助线平移角
例< br>5
、已知
:
如图
l
—
6
，
AB∥ＥＤ
求证
:
∠
B
＋∠
B
Ｃ
D+
∠
D
＝
36
０°
[
思路分析
]
我们知道只有周角是等于360
°，
而图中又出现了
与∠Ｂ
CD
相关的以
C为顶点的周角，若能把∠
B
、∠
D
移到与
∠
BCD相邻且以
C
为顶点的位置，即可把∠
B
、∠
BCD
和∠
D
三个角组成一分周角，则可推出结论。证时：略
规律总结
]此题虽是三种证法但思想是一样的，都是通过加
辅助线
,
平移角达到目的，这种处 理方法在几何中常常用到。
几何部分
第二章
:
三角形
知识点：
一、关于三角形的一些概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫三角形的边
;
相邻两边的公共端点叫三角形 的顶点
;
相邻两边所组
成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。
1
、三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段
(
顶点与内角平分线和对边交线间的距离）
2
、三角形的中线
三角形的中线也是一条线段
(
顶点到对边中点间的距离
)
３．三角形的高
三角形的高线也是一条线段
(
顶点到对边的距离）
注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
如图
2-l
，
AD
、
BE
、
Ｃ
F
都是么< br>ABC
的角平分线
,
它们都在△
ABC
内
如图２
-2,A
Ｄ、Ｂ
E
、
CF
都是△Ａ
B
Ｃ的中线
,
它们都在△
A
ＢC
内
--