嫦娥的故事-

2021年1月30日发(作者：中秋节几月几号)

初三数学各章节重要知识点概要

倪月舟

第
21
章

二次根式

1
．二次根式：一 般地，式子
a
,
(
a

0
)
叫做二次根式
.
注意：
（
1
）若
a

0
这个 条件不成立，则

a
不是二次根式；

（
2
）
a
是一个重要的非负数，即；
a

≥
0.
(
a

0
)

a
2
．重要公式：
（
1
）
(
a
)
2

a
(
a

0
)
,
（
2
）
a
2

a



；


a
(
a

0
)

3
．积的算 术平方根：
ab

a

b
(
a

0
,
b

0
)

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

4
．二次根式的乘法法则：

a

b

a b
(
a

0
,
b

0
)
.
5
．二次根式比较大小的方法：

（
1
）利用近似值比大小；

（
2
）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（
3
）分别平方，然后比大小
.
6
．商的算术平方根：< br>a
a

(
a

0
,
b
< br>0
)
，

b
b
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
.
7
．二次根式的除法法则：

（
1
）
a
b

a
(
a

0
,
b

0
)
；
（
2
）
a

b

a

b
(
a

0
,
b

0
)
；

b
（
3
）分母有理化的方法是：分式的分子 与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式
.
8
．最简二次根式：

（
1
）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①

被开方数的因数是整数，因式是整式，
②

被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（
2
）最简二次根式中， 被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于
2
，且不含分母；

（
3
）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（
4
）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式
.

10
．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做< br>同类二次根式
.
12
．二次根式的混合运算：

（
1
）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数
范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（
2
）二次 根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法
运算有时转化为 分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等
.
第
22
章

一元二次方程


1.
一元二次方程的一般形式
: a< br>≠
0
时，
ax
+bx+c=0
叫一元二次方程的一般形式，研 究一元二次方
程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的
a
、
b
、
c
；

其中
a
、

b,
、
c
可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式
.
2.
一元二次方程的解法
:

一元二次方程的四种解法要求灵活运用，

其中直接开平方法虽然简单，
但是 适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范
围较大，且计 算简便，是首选方法；配方法使用较少
.
3.
一元二次方程根的判别式
:
当
ax
+bx+c=0 (a
≠
0)
时，Δ
=b
-4ac
叫一元二次方程根的判别式
.
请
注意以下等价命题：

Δ＞
0 <=>
有两个不等的实根；

Δ
=0 <=>
有两个相等的实根；Δ＜
0 <=>
无实根；

4
．平均增长率问题
--------
应用题的类型题之一

（设增长率为
x
）
：

(1)
第一年为
a ,
第二年为
a(1+x) ,
第三年为
a(1+x)
.
（
2
）常利用以下相等关系列方程：

第三年
=
第三年

或

第一年
+< br>第二年
+
第三年
=
总和
.

2
2
2
2

第
23
章

旋转

1
、概念：

把一个图形绕着某一点
O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点
O
叫做旋转中心，转动的角叫做旋
转角．< br>
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角

2
、旋转的性质：

（
1
）

旋转前后的两个图形是全等形；

（
2
）

两个对应点到旋转中心的距离相等

（
3
）

两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角

3
、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转
180
°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．


这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

4
、中心对称的性质：

（
1
）关于中心对称的两个图形，对称点所 连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．


（
2
）关于中心对称的两个图形是全等图形．

5
、中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转
180
°，如果 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图
形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
6
、坐标系中的中心对称






两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，

即点
P
（
x
，
y
）关于原点
O
的对称点
P
′（< br>-x
，
-y
）
．



第
24
章

圆

1
、
（要求深刻理解、熟练运用）

1.
垂径定理及推论
:
几何表达式举例：


如图：有五个元素，
“知二可推三”
；需记忆其中四个定理，






A
D
O
E
B
过 圆心
垂直于弦
平分弦
平分劣弧
C
平分优弧
∵
CD
过圆心

即“垂径定理”
“中径定理”

“弧径定理”
“中垂定理”
.
∵
CD
⊥
AB
∴

AE=BE
AC=
BC
AD
=
BD
3.
“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）

“等角对等弦”
；

“等弦对等角”
；

“等角对等弧”
；

“等弧对等角”
；

“等弧对等弦”
；
“等弦对等
(
优，劣
)
弧”
；

“等弦对等弦心距”
；
“等弦心距对等弦”
.

4
．圆周角定理及推论
:
（
1
）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

C
F
A
B
E
O
几何表达式举例：

(1) ∵∠
AOB=
∠
COD
∴
AB = CD
(2) ∵
AB = CD
D
∴∠
AOB=
∠
COD
（
3
）……………

几何表达式举例：

（
1
）

∵∠
ACB=
（
2
）一 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
(
如图
)
（
3
）
“等弧对等角”
“等角对等弧”
；

（
4
）
“直径对直角”
“直角对直径”
；
(
如图
)
（
5
）
如三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这 个三角形是直
角三角形
.(
如图
)



O
B
C
B
1
∠
AOB
2
∴

……………

∴

∠
ACB=90
°

（
2
）

∵
AB
是直径

（
3
）

∵

∠
ACB=90
°

C
A
C
∴
AB
是直径

D
A
O
B
（
4
）

∵
CD=AD=BD
∴

Δ
ABC
是
Rt
Δ


几何表达式举例：

∵
ABCD
是圆内接四边形

∴

∠
CDE =
∠
ABC
∠
C+
∠
A =180
°

A
（
1
）

（
2
）
（
3
）

（
4
）

5
．圆内接四边形性质定理
:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外

角都等于它的内对角
.



6
．切线的判定与性质定理
:
如图：有三个元素，
“知二可推一”
；

需记忆其中四个定理
.
（
1
）经过半径的外端并且垂直于这条

半径的直线是圆的切线；

（
2
）圆的切线垂直于经过切点的半径；



A
O
B
C
是
半
径
垂
直
是
切
线
A
D
E
B
C
几何表达式举例：

（
1
）

∵
OC
是半径

∵
OC
⊥
AB
∴
AB
是切线

（
2
）

∵
OC
是半径

∵
AB
是切线

∴
OC
⊥
AB

9
．相交弦定理及其推论
:
（
1
）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；

（
2
）
如果弦与直径垂直相交，
那么弦的一半是它分直径所成的两条
线段长的比例中项
.



C
D
A
P
B
几何表达式举例：

（
1
）

∵
PA
·
PB=PC
·
PD
∴………

（
2
）

∵
AB
是直径

C
A
B
∵
PC
⊥
AB
∴
PC
=PA
·
PB
2
O
P
（
1
）

（
2
）

11
．关于两圆的性质定理
:
（
1
）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

（
2
）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上
.



O1
B
A
几何表达式举例：

（
1
）

∵
O
1
，
O
2
是圆心

∴
O
1
O
2
垂直平分
AB
（
2
）

∵⊙
1
、⊙
2
相切

A
∴
O
1
、
A
、
O
2
三点一线

O2
O2
O1
（
1
）

（
2
）

公式举例：

O
D
12
．正多边形的有关计算
:
（
1
）中心角

n
，半径
R
N
，

边心距
r
n
，



边长
a
n
，内角

n
，

边数
n
；


n

R
n
A
E
（
2
）有关计算在
Rt
Δ
AOC
中 进行
.


二

定理：

1
．不在一直线上的三个点确定一个圆
.
r
n
a
n
C
B

n

360

；

n

180

(2)
n


2
n
(1)

n
=
2
．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
. < br>3
．正
n
边形的半径和边心距把正
n
边形分为
2n< br>个全等的直角三角形
.

三

公式：

1.
有关的计算：

（
1
）圆的周长
C=2
π
R
；
（
2
）弧长
L=
n

R
2
；
（
3
）圆的面积
S=
π
R
.
180
n

R
2
1
（
4
）扇形面 积
S
扇形

=

LR
；

360
2
（
5
）弓形面积
S
弓形

=
扇形面积
S
AOB
±Δ
AOB
的面积
.
（如图）

2.
圆柱与圆锥的侧面展开图：

（
1
）圆柱的侧面积：
S
圆柱侧
=2
π
rh
；
(r:
底面半径；
h:
圆柱高
)
1
（
2
）圆锥的侧面积：
S
圆锥侧
=
LR
=
π
rR.
（
L=2
π
r，
R
是圆锥母线长；
r
是底面半径）

2
四

常识：

1
．

圆是轴对称和中心对称图形
.
2
．

圆心角的度数等于它所对弧的度数
.
3
．

三角形的外心



两边中垂线的交点



三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心



两内角平分线的交点



三角形的内切圆的圆心
.

嫦娥的故事-

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