五年级数学手抄报-

2021年1月30日发(作者：小周天功法)
标准


初中数学知识点总结

九年级数学（上）知识点

第二十一章

二次根式

一．知识框架




二．知识概念

１、二次根式的定义：式子
叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数。

２、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：

（１）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。

３、同类二次根式：几个二次根式 化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二
次根式叫做同类二次根式。

４、二次根式的性质：

（１）
（２）

＝
|
ａ
|
＝

ａ


（ａ＞０）















－ａ

（ａ＜０）















０


（ａ＝０）

（３）积的算数平方根性质：

（ａ≥０，ｂ≥０）

（４）商的算数平方根性质：


a

b
a
b
（ａ≥０，ｂ＞０）

５、二次根式的乘法：

＝
相乘。

文案

（ａ≥０，ｂ≥０）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数
标准

注意：法则是由积的算数平方根的性质
６、二次根式的除法：

（ａ≥０，ｂ≥０）反过来即得。

a
b

a
（ａ≥０，ｂ＞０）

b
a
b
a
b
（ａ≥０，ｂ＞０）反过来得到的。

注意： 法则是由商的算数平方根的性质
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次 根式，在合并同
类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，
被开方数和根指数不变。

注意：
二次根式加减混合运算的实质就是合并同类 二次根式，
不是同类二次根式不能合并。

８、二次根式的混合运算：
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有
括号的先算括号内 的。在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的
运算中仍然适用。

９、比较两数大小的常用方法：

（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ
²
＞ｂ
²
，则ａ＞ｂ；

（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。



第二十二章

一元二次根式

一．知识框

二
.
知识概念

文案

标准

１
.
一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）
，并且未知数的最高 次
数是
2
（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2

一般地，
任何一个关于
x
的一元二次方程，
•
经过整理，< br>•
都能化成如下形式
ax
+bx+c=0
2
（
a≠
0
）
．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
ax
是二 次项，
a
是二次项系数；
bx
是一次项，
b
是一次项系数；
c
是常数项．

２
.
一元二次方程的解法：
< br>2
（
1
）运用开平方法解形如（
x+m
）
=n
（
n
≥
0
）的方程；领会降次──转化的数学思想．

２
（
2
）配方法：将一元二次方程变形为
(x+p)
=q
的形式，如果
q
≥
0
，方程的根是
x=-p
±√
q
；如果
q
＜
0,
方程无实根．

2
2
（
3
）公式法：将方程化为一般形式
ax
+bx+c= 0
，当
b
-4ac
≥
0
时，
•
将
a
、
b
、
c
代入式子

b

b< br>2

4
ac
x=
就得到方程的根．

2
a

第二十三章

旋转

一
.
知识框架


二．知识概念

1.< br>旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形
的旋转。这 个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

注意：图形的旋转是图形上的每一点在平面上 绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，
其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角 的大小相等，旋转前后图形
的大小和形状没有改变。
）

2.
旋转对 称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形
叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，
旋转的角度叫做旋转角
（旋转角小于
0
°，
大于
360
°）
。

3
．中心对称图形与中心对称：

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点 旋转
180
度后能与自身重合，那么我们就说，
这个图形成中心对称图形。

文案

标准

中心对称：
如果把一个图形绕着某一点旋转< br>180
度后能与另一个图形重合，
那么我们就说，
这两个图形成中心对称。
4.
中心对称的性质：

（１）关于中心对称的两个图形是全等形。

（２）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（３）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。




第二十四章

圆

一．知识框架


二．知识概念



1.
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称
为半 径。

2.
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优 弧，
小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分
别与圆 有另一个交点的角叫做圆周角。

4.
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角 形的外接圆，其圆心叫做三角形
的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为 内心。

5.
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.
圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

文案

标准

7.
圆和点的位置关系：
以点
P
与圆
O
的为例
（设
P
是一点，
则
PO
是点到圆心的距离）
，
P
在⊙
O
外，
PO
＞
r
；
P
在⊙
O
上，
PO
＝
r< br>；
P
在⊙
O
内，
PO
＜
r
。

8.
直线与圆有
3
种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交< br>,
这条直线叫做
圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个 唯一的公
共点叫做切点。

9.
两圆之间有
5
种位置关系： 无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内
含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在 之内叫内切；有两个公共点的
叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为
R< br>和
r
，且
R
≥
r
，圆
心距为
P：外离
P
＞
R+r
；外切
P=R+r
；相交
R -r
＜
P
＜
R+r
；内切
P=R-r
；内含
P
＜
R-r
。

10.
切线的判定方法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
< br>11.
切线的性质：
（
1
）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线 。






（
2
）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。






（
3
）圆的切线垂直于经过切点的半径。

12.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

13.
有关定理：

（１）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（２）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．


（３）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
半．


（４）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90
°的圆周角所对的弦是 直径．

14.
圆的计算公式：





（１）圆的周长
C=2
π
r=
π
d
；

2

（２）圆的面积
S=
π
r
;


（３）扇形弧长
l=n
π
r/180
；

2
2


（４）扇形面积
S=
π（
R
-r
）

；



（５）圆锥侧面积
S=
π
rl
；


第二十五章

概率

一．知识框架


二．知识概念

1
．
生 活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，
确定事件又分为必然事件和不可能
事件，
其中必然事件发生的概率为
1
，
即
P(
必然事件
)=1；
不可能事件发生的概率为
0,
即
P
（不可能事件）
= 0
；如果
A
为不确定事件，那么
0文案

标准

2
．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（１）只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，
对一类概率模型进行 的计算；

（２）通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生
的概率．

九年级数学（下）知识点

第二十六章

二次函数

一．知识框架


二．
.
知识概念

2
1.
定义：一般地，自变量< br>x
和因变量
y
之间满足
y=ax
+bx+c(a
≠
0
，
a
、
b
、
c
为常数
)
，则
称
y
为
x
的二次函数。

2.
二次函数的解析式三种形式。

2
一般式：

y=ax
+bx+c(a
≠
0)
顶点式

：


y

a
(
x

h
)

k

2
b
2
4
ac

b
2
)



y

a
(
x


2
a
4
a
交点式

：


y

a
(
x

x
1
)(
x
x
2
)

3.
二次函数
y=ax
+ bx+c(a
≠
0
，
a
、
b
、
c
为常数
)
图像与性质

对称轴：
x


文案

2
b

2
a
y


O
x
标准

b
4
ac

b
2
,
)

顶点坐标：
(

2
a
4
a
与
y
轴 交点坐标（
0
，
c
）

4.
增减性：
< br>当
a>0
时，对称轴左边，
y
随
x
增大而减小；对称 轴右边，
y
随
x
增大而增大；

当
a<0
时，对称轴左边，
y
随
x
增大而增大；对称轴右边，
y
随< br>x
增大而减小．

5.
五点法画二次函数图像：顶点、与
x< br>轴两个交点、与
y
轴交点及其对称点。

6.
图像平移步骤

（
1
）配方

y

a
(
x

h
)

k
， 确定顶点（
h,k
）

（
2
）对
x
轴

左加右减；对
y
轴

上加下减

7.
二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，若两个对称点的横坐标分别为
x
1,
x
2
，
那么对称轴
x

2
x
1

x< br>2

2
8.
根据图像判断
a,b,c
的符号

（
1
）
a
——开口方向

（
2
）
b
——对称轴与
a
左同右异

9.
二次函数与一元二次方程的关系

2
2

（１）抛物线
y=ax
+bx+c
与
x
轴交点的横坐标
x< br>1,
x
2
是一元二次方程
ax
+bx+c=0
（
a
≠
0
）
的根。

2
2
（２ ）抛物线
y=ax
+bx+c
，当
y=0
时，抛物线便转化为一元二 次方程
ax
+bx+c=0
（３）
b

4
ac< br>>0
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与
x
轴有两个交点；
b

4
ac
=0
时，一元二次方程有两个相等的实 根，二次函数图像与
x
轴有一个交点；
2
2
b
2

4
ac
<0
时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与
x轴没有交点

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此 ，
以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师
在讲解本章 内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。


第二十七章

相似

一．知识框架

文案

标准


二
.
知识概念：

1.
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2.
相似三角形的判定方法
:
（１）根据定义判断：对应边成比例，对应角相等；

（２）
平行于三角形一 边的直线
(
或两边的延长线
)
和其他两边相交
,
所构成的三 角形与原三
角形相似；

（３）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等
,
那么这两个三角形相
似；

（４）如果两个三角形的两组对应 边的比相等
,
并且相应的夹角相等
,
那么这两个三角形相
似；

（５）如果两个三角形的三组对应边的比相等
,
那么这两个三角形相似；

3.
直角三角形相似判定定理
:
（１）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

（２）直角三角形被斜边 上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分
成的两个直角三角形也相似。

4.
相似三角形的性质
:
（１）相似三角形的一切对应线段
(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、
内切圆半径等）的比等于相似比。

（２）相似三角形周长的比等于相似比。

（３）相似三角形面积的比等于相似比的平方。


第二十八章

锐角三角函数

文案

标准

一．知识框架




二．知识概念


△
ABC
中

(1)
∠
A
的对边 与斜边的比值是
∠
A
的对边
∠
A
的正弦，记作
si nA
＝


斜边
∠
A
的邻边
(2)∠
A
的邻边与斜边的比值是∠
A
的余弦，记作
cosA
＝


斜边
∠
A
的对边
(3)
∠
A
的对边与邻边的比值是∠
A
的正切，记作
tanA
＝


∠
A
的邻边
∠
A
的邻边
(4)
∠
A
的邻边与对边的比值是∠
A
的余切，记作
cota
＝


∠
A
的对边




2.
特殊值的三角函数：

a
30
°

45
°

60
°


第二十九章

投影与视图

知识框架

sina
1

2
2

2
3

2
cosa
3

2
2

2
1

2
tana
3

3
1
3
cota
3
1
3

3
文案

标准



八年级数学（上）知识点

第十一章

全等三角形

一．知识框架


二．知识概念

1.
全等三角形：大小和形状完全相同的两个三角形叫做全等三角形。

2
．全等三角形的性质：

全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3.
三角形全等的判定公理及推论有：

（
1
）“边角 边”简称“
SAS
”：两边及其夹角对应相等，两三角形全等；

（
2
）“角边角”简称“
ASA
”：两角及其夹边对应相等，两三角形全等；

文案

标准

（
3
）“边边边”简称“
SSS
”

：三组对应边相等，两三角形全等；

（
4
）“角角边”简称“AAS
”：两角及其中一角的对边对应相等，两三角形全等；

（
5）斜边和直角边相等的两直角三角形全等，简称“
HL
”
。

4.
角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。


第十二章

轴对称

一．知识框架


二．知识概念

1.
对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，




那
么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2.
性质：

（
1
）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（
2
）角平分线上的点到角两边距离相等。

（
3
）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（
4
）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（
5
）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
；
4.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”
。

5.
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

6.
等边三角形角的特点：三个内角相等，等于
60
°，

7.
等边三角形的判定：

三个角都相等的三角形是等边三角形。


有一个角是
60
°的等腰三角形是等边三角形


有两个角是
60
°的三角形是等边三角形。

8.
直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。

9
．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。


第十三章

实数

2
1.
算术平方根：一般地， 如果一个正数
x
的平方等于
a
，即
x
=a
，那么正 数
x
叫做
a
的算
术平方根，记作
a
。
0< br>的算术平方根为
0
；从定义可知，只有当
a
≥
0
时< br>,a
才有算术平方
根。

2
2.
平方根：一般地，如 果一个数
x
的平方根等于
a
，即
x
=a
，那么数< br>x
就叫做
a
的平方根。

文案

标准

3.
正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；
0只有一个平方根，就是它本身；负
数没有平方根。

4.
正数的立方根是 正数；
0
的立方根是
0
；负数的立方根是负数。

５
.
实数的分类





< br>自然数
(
0
,
1
,
2
,
3

)



整数





负整数
(

1
,

2
,
< br>3

)

有理数




正分数
(
1
,
2

)
(
整数
、< br>有限小数
、
无限循环小数
)
实数





分数
(
小数
)

2
3

负分数
1
2





(

2
,

3

)
６
.




正有理数
a

b

a b

a

0
,
b

0




无理数


负有理数
(
无限不循环 小数
)
第十四章

一次函数

一
.
知识框架


二．知识概念

1.< br>一次函数：若两个变量
x,y
间的关系式可以表示成
y=kx+b(k
≠
0)
的形式
,
则称
y
是
x
的
一 次函数
(x
为自变量
,y
为因变量
)
。特别地
,< br>当
b=0
时
,
称
y
是
x
的正比例函 数。




b
.


(1)

k

0

b
.

0

1



b

0

2

k

0

0
1


b

0

2

(3)
(2)
2.
正比例函 数一般式：

b

0

3

y=kx（
k
≠
0
）
，其图象是经过原点


b
(0,0)

0
的一条直线。当

3

k>0
时，直
线
y=kx

经过第一、
三象限
,y
随
x
的增大而增大，
(1)
当
k<0
时，
直线
y=kx
经过第二、
四象限
随
x
的增大而减小，在一次函数
y=kx+b
(2)
,y
中
(3)
:< br>当
k>0
时
,y
随
x
的增大而增大
;
当
k<0
时
,y
随
x
的增大而减小。

文案

a
b

标准

３
.
已知两点坐标求函数解析式的方法叫待定系数法



第十五章

整式的乘除与分解因式

1.
同底数幂的乘法法则
:
a

a

a
2..
幂的乘方法则：
(< br>a
)

a
n
m
n
mn
m
n
m

n
(
m,n
都是正数
)
(
m,n
都是正数
)

a
n
(
当
n
为偶数时
),
一般地
,
(

a)


n


a
(
当
n为奇数时
).

3.
整式的乘法

（
1
）

单项式乘法法则
:
单项式相乘
,
把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单
项式里含有的字母，连同它的指数作为积的 一个因式。

（
2
）单项式与多项式相乘
:
单项式与多项式 相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再
把所得的积相加。

（
3
）
．多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再
把所得 的积相加。

2
2
(
a

b
)(
a

b
)

a

b
4
．平方差公 式
:

2
2
2
(
a

b
)

a

2
ab

b
5
．完全 平方公式
:

6.
同底数幂的除法法则
:
同底数幂相 除
,
底数不变
,
指数相减
,
即
a

a

a
n
都是正数
,
且
m>n).
0
a

1
(
a

0
)
；

注意：（１）任何不等于
0
的数的
0
次幂等于
1,
即
m
n
m

n
(a
≠
0,m
、



（２）任何不等于
0
的数的
-p
次幂
(p
是正整数
),
等于这个数 的
p
的次幂的倒数
,
即
a

p

1
a
p
( a
≠
0,p
是正整数
)
；

7
．整式的除法

单项式除以单项式
:
单项式相除，把系数 、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被
除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 ；

多项式除以单项式
:

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得
的商相加
. 8.
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式
,
这种变形叫做把这个多项 式分解因
式
.
９
.
分解因式的一般方法：
1.
提公共因式法；
2.
运用公式法；
3.
十字相乘法。

文案

标准

１０
.
分解因式的步骤：

(1)
先看各项有没有公因式
,
若有
,
则先提取公因式;
(2)
再看能否使用公式法
;
(3)
看能不能用十字相乘法分解；


注意：

(1)
因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积
,
否则不是因式分解
; < br>(
２
)
因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.



八年级数学（下）知识点

第十六章

分式

一．知识框架


二．知识概念

1.
分式：形如
A
，
A
、
B
是整式，
B
中含有未知数且
B
不等于
0
的整式叫做分式。其中
A
叫
B
做分式的分子，
B
叫做分式的 分母。

2.
分式有意义的条件：分母不等于
0
．

3.
约分：把一个分式的分子和分母的公因式
(
不为
1
的数）约去 ，这种变形称为约分。

4.
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

５． 分式的基本性质
:
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为
0
的整式 ，分式的
值不变。

６
.
最简分式
:
一个分式的 分子和分母没有公因式时
,
这个分式称为最简分式
.
约分时
,
一
般将一个分式化为最简分式
.
７．分式的四则运算：

文案

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