党员自我总结-

2021年1月30日发(作者：出国留学英语学习)
实用标准

初中数学知识要点及典型例题

第一章

实数


第一讲

实数的有关概念

【回顾与思考】

知识点：
有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对
值

课标要求：

1
．

2
．

使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．

了解有理数、
无理数以及实数的 有关概念；
理解数轴、
相反数、
绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

3
．

4
．

会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小

画数轴，
了解实数与数轴 上的点一一对应，
能用数轴上的点表
示实数，会利用数轴比较大小。

考查重点：

1
．

有理数、无理数、实数、非负数概念；

2
．相反数、倒数、数的绝对值概念；

3
．在已知中，以非负数< br>a
2
、
|a|
、
a (a
≥
0)
之和为零作为条件，解
决有关问题。

实数的有关概念

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实用标准

(1)
实数的组成




正整数


整数



零


< br>
负整数
有理数
有尽小数或无尽循环小数





正分数


实数


分数



负分数



正无理数
无理数


负无理数
无尽不循环小数





(2)
数轴：
规定了原点、< br>正方向和单位长度的直线叫做数轴
(
画数轴
时，要注童上述规定的三要素缺一个 不可
)
，实数与数轴上的点是一
一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的 点对应的数，

(3)
相反数

实数的相反数是一对数
(< br>只有符号不同的两个数，叫做互为相反
数，零的相反数是零
)
．

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．

(4)
绝对值


a
(
a

0
)


|
a
|


0
(
a

0
)



a
(
a

0
)

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离

(5)
倒数

实数
a(a
≠
0)
的倒数是
(
乘积为
1
的两个数，叫做互为倒数
)
；
零没有倒 数．

【例题经典】

理解实数的有关概念

1
a
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实用标准

例
1
①
a
的相反数是
-
,
则
a
的倒数是
__ _____
．

②
实
数
a
、
b
在
数
轴
上
对
应
点
的
位
置
如
图
所
示
:
b
1
5
0
a

则化简│
b-a
│
+
(
a

b
)
2
=______
．

③去年泉州市林业用地面积约为
10 200000
亩
,
用科学记数法表示
为约
____________ __________
．

例
2.(-2)
3
与
-2
3
( )
．

(A)
相等
(B)
互为相反数
(C)
互为倒数
(D)
它们的和为
16
分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：
A
例
3.-
3
的绝对值是

；
-3

的倒数是

；
的平方
根是

．

分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不
要混淆。

答案：
3
，
-2/7
，±
2/3
例
4.
下列各组数中，互为相反数的是
( )D
A
．
-3
与
3
B
．
｜
-3
｜与一
C
．
｜
-3
｜与
D
．
-3
与
(-3)
2

分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念

掌握实数的分类

例
1


下列实数
22

、
si n60
°、
、
（
2
）
0
、
3.14159
、
-
9
、
7
3
1
3
1
3
1
2
4
9
（
-
7
）
-2
、
8
中无理数有（

）个

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A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果
去判断．

第二讲

实数的运算

【回顾与思考】

知识点 ：
有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科
学计数法、近似数与有效数字。< br>
课标要求：

1
．

了解有理数的加、减、乘、除 的意义，理解乘方、幂的有关概
念、
掌握有理数运算法则、
运算委和运算顺序，
能熟练地进行有理
数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

2
．

了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，
复习
巩固有理数的运算法则，
灵活运用运算律简化运算能正确进行实数
的加、减、乘、除、 乘方运算。

3
．

了解近似数和准确数的概念，
会根据指 定的正确度或有效数字
的个数，
用四舍五入法求有理数的近似值
（在解决某些实际问题 时
也能用进一法和去尾法取近似值）
，会按所要求的精确度运用近似
的有限小数代替无 理数进行实数的近似运算。

4

了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。

考查重点：

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实用标准

1
．

2
．

考查近似数、有效数字、科学计算法；

考查实数的运算；

实数的运算

(1)
加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减
去较小的绝对值；

任何数与零相加等于原数。

(2)
减法
a-b=a+(-b)
(3)
乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何
数都得零．即


|
a
|

|
b
|
(
a
,
b
同号
)


ab



|
a
|

|
b
|
(
a
,
b
异号
)


0
(
a
或
b
为零
)

1
b
(5)
乘 方

a
n

aa

a




n
个
(4)
除法


a

(
b

0
)

a
b
(6)
开方

如果
x
2
＝
a
且
x
≥
0
，
那么
a
＝
x
；

如果
x
3
=a
，
那么
3
a

x

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减 ．有括号
时，先算括号里面．

3
．实数的运算律

(1)
加法交换律
a+b
＝
b+a
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(2)
加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
(3)
乘法交换律
ab
＝
ba
．

(4)
乘法结合律
(ab)c=a(bc)
(5)
分配律
a(b+c)=ab+ac
其中
a
、
b
、
c
表示 任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

【例题经典】

例
1< br>、若家用电冰箱冷藏室的温度是
4
℃，冷冻室的温度比冷藏室的
温度低
22
℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为

A
．
4
―
22
＝－
18
Ｂ．
22
－
4
＝
18
Ｃ．
22
―（―
4
）＝
26
Ｄ．―
4
―
22
＝－
26
点评：本题涉及对正负 数的理解、简单的有理数运算，试题以应
用的方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。选（
A
）

例
2
．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了
14
周，飞行
轨道近似看作圆，
其半径约为
6
．
71
×
10
3
千米，
总航程约为
(
π取
3
．
14
，
保留
3
个有效数字
) ( )
A
．
5
．
90
×
10
5
千米
B
．
5
．
90
×
10
6
千米

C
．
5
．
89
×
10
5
千米
D
．
5
．
89
×
10
6
千米

分析：本题考查科学记数法

答案：
A
例
3.
化简
3
7

2
的结果是
( )
．

(A)
7
-2 (B)
7
+2 (C)3(
7
-2) (D)3(
7
+2)
分析：考查实数的运算。答案：
B
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实用标准

例
4.
实数
a
、
b
、
c
在数轴上 的对应点的位置如图所示，下列式子中
正确的有
( )
．

①
b+c>0
②
a+b>a+c
③
bc>ac
④
ab >ac

(A)1
个
(B)2
个
(C)3
个
(D)4
个

分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。答案：
C
1

2
0
例
5
计算：
-



+（
-2
）
×（
-1
）
-
│
-
12
│．


3


1
【点评】按照运算 顺序进行乘方与开方运算。

例
5.
校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午 餐时浪费现象十分严
重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请
你帮他 把标语中的有关数据填上．
(
已知
1
克大米约
52
粒
)
如果每人每天浪费
1
粒大米，全国
13
亿人口，每天就要 大约浪费

吨大米

分析：本题考查实数的运算。答案：
25
例
7.
阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，
玩着玩着 两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增
加时，楼梯的上法数依次为：
1，
2
，
3
，
5
，
8
，
13< br>，
21
，
．
．
．…
(
这就
是著名的 斐波那契数列
)
．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上
10
级台阶共有< br>
种上法．

分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和

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答案：
89
例
8.
观察下列等式(
式子中的“
!
”是一种数学运算符号
)
1!=1
，
2!=2
×
1
，
3!=3
×
2
×
1
，
4!=4
×
3
×
2
×
1
，… ，

计算：
100
!
=
．
98
!
分析：阅读各算式，探究规律，发现
100
！
=100* 99*98
！答案：
9900
第二章

代数式

中考要求及命题趋势

1
、

掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式
等；

2
、熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练
掌握，灵活运用；

3
、熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式

；

4
、了解分式的有关概念式的基本性质；

5
、熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。

应试对策

掌握整式

的有关概念及

运算法则，
在运算过程中注意

运算顺序，
掌握运算规律，掌握乘法

公式并能灵活运用，在实际问题中，抽 象
的代数式以及代数式的应用题值得重视。
要掌握并灵活运用分式的基
本性质，在通分 和约分

时

都要注意分解因式知识的应用。化解

求
殖题，一要注意

整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题，要能从实际问题中抽象出数学模型。

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实用标准

第一讲

整式

【回顾与思考】


知识点

代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号
法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正
整数指数幂、零指数幂、负整数指数 幂。

课标要求

1
、

了解代数式的概念，会列简单的代数式。
理解代数式的值的概
念，能正确地求出代数式的值；

2
、

理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂
（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；

3
、

掌握 同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，
并能熟练地进行数字指数幂的运算；

4
、

能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（
x+ a
）
(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab
）进行运算；

5
、

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掌握整式的加减乘除乘方运算，
会进行整式的加减乘除乘方的
实用标准

简单混合运算。

考查重点

1
．代数式的有关概念．

(1)
代数式：
代数式 是由运算符号
(
加、
减、
乘、
除、
乘方、
开方)
把数或表示数的字母连结而成的式子．
单独的一个数或者一个字母也
是代数式．

(2)
代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结
果
p
叫做代数式的值．


求代数式的值可以直接代入、计算．
如果给出的代数式可以化简，
要先化简再求值．

(3)
代数式的分类

2
．整式的有关概念

(1)
单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．

对于给出的单项 式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，
各个字母的指数分别是什么。

(2)
多项式：几个单项式的和，叫做多项式

对于给出的多项式，要注意分 析它是几次几项式，各项是什么，对
各项再像分析单项式那样来分析

(3)
多项式的降幂排列与升幂排列

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，
叫做
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把这个多项式按这个字母降幂排列

把—个多项式按某一 个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，
叫做
把这个多项式技这个字母升幂排列，

给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．

(4)
同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类
顷．


要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即
ax

bx

(
a

b
)
x
其中的
X
可以代 表单项式中的字母部分，代表其他式
子。

3
．整式的运算

(1)
整式的加减：
几个整式相加减，
通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：

(i)
如果遇到括 号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”
号，把括号和它前面的“
+
”号去掉。括 号里各项都不变符号，括号
前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变
符号．

(ii)
合并同类项：

同类项的系数相加，
所得的结果作为系数．
字
母和字母的指数不变．

(2)
整式的乘除：单项式相乘
(
除
)
，把它们的 系数、相同字母分
别相乘
(
除
)
，
对于只在一个单项式(
被除式
)
里含有的字母，
则连同它
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的指数作为积
(
商
)
的一个因式相同字 母相乘
(
除
)
要用到同底数幂的
运算性质：


a
m

a
n

a
m

n
(
m
,
n
是整数
)
a

a

a
m
n
m

n
(
a

0
,
m
,
n
是整数
)

多项式乘
(
除
)
以单项式，
先把这个多项式的每一项乘
(
除
)
以这个单
项式，再把所得的积
(
商
)
相加．

多项式与多项式相乘，
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式
的每一项，再把所得 的积相加．

遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：

(
x< br>
a
)(
x

b
)

x
2

(
a

b
)
x

ab
,

(
a

b
)(
a
< br>b
)

a
2

b
2
,
(< br>a

b
)

a

2
ab

b
,
(
a

b
)(
a
2

ab

b
2
)

a
3

b
3
.
2
2

(3)
整式的乘方
单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字
母的指数分别相乘所得的幂作为结 果的因式。

单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：


(
a
m
)
n

a
mn
(
m
,
n
是整数
),
(
ab
)

a
b
(
n
是整数
)
n
n
n

多项式的乘方只涉及


(
a

b
)
2

a
2

2
ab

b
2
,
(
a

b

c
)

a

b

c

2
ab
2
bc

2
ca
.
2
2
2
2

【例题经典】

代数式的有关概念

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实用标准

例
1
、已知－
1
＜
b
＜
0
，
0
＜
a
＜
1
，那么在代数式< br>a
－
b
、
a+b
、
a+b
2
、a
2
+b
中，对任意的
a
、
b
，对应的代数式 的值最大的是（

）

(A)
a+b
(B)
a
－
b
(C)
a+b
2
(D)
a
2
+
b

评析：本题一改将数值代入求值的面貌，要求学 生有良好的数感。选
（
B
）

同类项的概念

例< br>1
若单项式
2a
m+2n
b
n-2m+2
与
a
5
b
7
是同类项，求
n
m
的值．


m

2
n

5,

解出即
n

2
m

2

7
【点评 】
考查同类项的概念，
由同类项定义可得

可

例
2
（
05
宝应）一套住房的平面图如右图所示，其
中卫生间、厨房的面积和是 （

）

A
．
4xy
Ｂ．
3xy
Ｃ．
2xy
Ｄ．
xy
评析：本题是一 道数形结合题，考查了平面图形的
面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对
代数式的理 解。选（
B
）

幂的运算性质

例
1
（< br>1
）
a
m
·
a
n
=_______
（
m
，
n
都是正整数）
；

（
2
）
a
m
÷
a
n
=________
（
a< br>≠
0
，
m
，
n
都是正整数，且
m>n
）
，特别地：
a
0
=1
（
a
≠
0
）
，
a
-p
=
1
（
a
≠
0，
p
是正整数）
；

p
a

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实用标准

（
3
）
（
a
m
）
n
=______
（
m
，
n
都是正整数）
；
（
4
）
（
ab
）
n=________
（
n
是正整数）

（
5
） 平方差公式：
（
a+b
）
（
a-b
）
=_____ ____
．
（
6
）完全平方公式：
（
a
±
b
）
2
=__________
．

【点评】能够熟练掌握公式进行运算
.
例
2.
下列各式计算正确的是
( )
．

(A)(a
5
)
2
=a
7
(B)2x
-2
=
1
(c)4a
3
·
2a
2
=8a
6
(D)a
8
÷
a
2
=a
6
2
x
分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：
D
例
3.
下列各式中，运算正确的是
( )
A
．
a
2
a
3
=a
6
B
．
(-a+2b)
2
=(a-2b)
2

c
．
a

b
1
2
(a+b
≠
O) D
．

(
1

3
)

1

3

2
2
a

b
a

b
分析：考查学生对幂的运算性质

答案：
B
例
4
、
(
泰州市
)
下列运算正确的是

A
．

a
2

a
3

a
5
; B
．
(
－
2x)
3
=
－
2x
3< br>
C
．
(a
－
b)(
－
a
＋< br>b)=
－
a
2
－
2ab
－
b
2
D
．
2

8

3
2

评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运
算等的掌握情况。选

（
D
）

整式的化简与运算

例
5< br>计算：
9xy
·
(-
x
2
y)=
；

（
2006
年江苏省）先化简，再求值：

[
（
x-y
）
2
+
（
x+y
）
（< br>x-y
）
]
÷
2x
其中
x=3
，
y =-1
．
5
．

1
3
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实用标准

【点评】
本例题主要考查整式的综合运算，
学生认真分析 题目中的代
数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．

第二讲

因式分解与分式

【回顾与思考】



因式分解

知识点

因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组 分解法、二次三项
式的因式（十字相乘法、求根）
、因式分解一般步骤。

课标要求

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等
因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，
能把简单多项式分解因式。

考查重点与常见题型

考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。 重
点考查的分式提取公因式、
应用公式法、
分组分解法及它们的综合运
用。习 题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

因式分解知识点

文档大全

实用标准

多项式的因式分解，
就是把一个多项 式化为几个整式的积．
分解因
式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有 ：

(1)
提公因式法

如多项式
am

bm

cm

m
(
a

b
c
),

其中
m
叫做这个多项式各项的公因式，
m
既可以是一个单项式，也
可以是一个多项式．

(2)
运用公式法，即用

a
2

b
2< br>
(
a

b
)(
a

b
) ,
a
2

2
ab

b
2

(
a

b
)
2
,
a
3

b
3

(
a

b
)(
a
2
ab

b
2
)
写出结果．

(3)
十字相乘法

对于二次项系数为
l
的二次三项式x
2

px

q
,

寻找满足ab=q
，
a+b=p
的
a
，
b
，如有，则< br>x
2

px

q

(
x

a
)(
x

b
);
对于一般的二次三项式
ax
2

bx

c
(
a

0),
寻找满足

a
1
a
2
=a
，< br>c
1
c
2
=c,a
1
c
2
+a2
c
1
=b
的
a
1
，
a
2< br>，
c
1
，
c
2
，
如
有
，< br>则
ax
2

bx

c

(
a
1
x

c
1
)(
a
2
x

c
2
).
(4)
分组分解法：
把各项适当分组，先使
分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

分组时要用到添括号 ：括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不
变符号；括号前面是“
-”号，括到括号里的各项都改变符号
.
(5)
求根公式法：如果
ax< br>2

bx

c

0
(
a

0
),
有两个根
X
1
，
X
2
，那 么

ax
2

bx

c

a(
x

x
1
)(
x

x
2< br>).

【例题经典】

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实用标准

掌握因式分解的概念及方法

例
1
、分解因式：

①
x
3
-x
2
=_______________________ ;
②
x
2
-81=______________________;
③
x
2
+2x+1=___________________;
④
a
2
-a+
=_________________;
⑤
a
3
-2a
2
+a=____________________ _.
【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。

例
2.
把式子
x
2
-y
2
-x
—
y
分解因式的结果是

．
．

分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：
(x+y)(x-y-1)
例
3.
分解因式：
a
2
—
4a+4=
分析：考查运用公式法分解因式。答案：
(a-2)
2
分

式

知识点
:
分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零 指数，负整
数，整数，整数指数幂的运算

课标要求
:
了解分式的 概念，
会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。
掌握分式的基本性质，会约分，通分。会 进行简单的分式的加减乘除
乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。

考查重点与常见题型
:
1
4
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实用标准

1
．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题 中，
如：下列运算正确的是（

）

1
（
A
）
-4
=1 (B) (-2)
=
(C) (-3
m-n
)
2
=9
m-n
(D)(a+b)
-1
=a
-1
+b
-1
2
0
-1
2.
考查分式的化简求值。
在中考题中，
经常出现分式的计算就或化简
求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：

化简并求值：

x
x
3
-y
3
2x+2

–
2) ,
其中
x=cos30
°
,y=sin90
°

2
.
2
2
+(
(x-y)
x
+xy+y
x-y
知识要点

1
．分式的有关概念

设
A
、
B
表示两个 整式．
如果
B
中含有字母，
式子
就叫做分式．
注
意 分母
B
的值不能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因
式，要进行约分化简

2
、分式的基本性质

A
A

M
A
A

M
（
M
为不等于零的整式）


,


B
B

M
B
B

M
A
B
3
．分式的运算

(
分式的运算法则与分数的运算法则类似
)
．

a
c
ac


;
a
n
a
n
a
c
ad

bc


(
异分母相加，先通分
)
；
b
d
bd

(
)

n
.

b
b
b
d
bd
a
c
a
d
ad




;
b
d
b
c
bc
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实用标准

4
．零指数

a
0

1
(
a

0
)

5
．负整数指数

a

p

1
(
a

0
,
p
为正整数
).

p
a
a
m

a
n

a
m

n
,
m
注意正整数幂的运算性质

a

a
n

a
m

n
(
a

0
),

(
a
m
)
n

amn
,
(
ab
)
n

a
n
b
n
可以推广到整数指数幂，
也就是上述等式中的
m
、
n
可以是
O
或负整
数．

熟练掌握分式的概念：性质及运算

x
2

3
例
4
（
1
）若分式
的值是零，则
x=______
．

x

3
【点评】分式值为
0
的条件是：有意义且分子为0
．

x
2

3
x
x
5
（
2
）同时使分式
2
有意义，又使分式
无意
2
(
x

1)

9
x

6
x

8
义的
x
的取值范围是（

）

A
．
x
≠
-4
且
x
≠
-2 B
．
x=-4
或
x=2
C
．
x=-4 D
．
x=2
（
3
）如果把分式
的值（

）

A
．扩大
10
倍
B
．缩小
10
倍
C
．不变
D
．扩大
2
倍

例
5
：化简
(
x
x
4
x
)
÷
的结果是

．


2

x
x

2
x

2
1

x

2
x

2
y
中的
x
和
y
都扩大
10
倍，那么分式
x
分析：
考查分式的混合运算，
根据分式的性质和运算法则。
答案：
-
1

2
a

a
2
a
2

2
a

1

例
6.
已知
a=
，求
的值．

2
a

1
a

a
2

3
1
分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质 和运算法则，分解因式
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实用标准

进行化简。

答案：
a=2-
3
<1
，原式
=a-1+=3
．< br>
a
2

ab
a
2

ab

2
例
7.
已知
|a-4|+
b
-
9 =0
，计算
的值

2
2
b
a
b
答案：由条件，得
a-4=0
且
b-9=0
∴
a=4 b=9
原式
=a
2
/b
2

当
a=4
，
6=9
时，原式
=16/81
例8.
计算
(x
—
y+
4
xy
4
xy< br>)(x+y-
)
的正确结果是
( )
x

y
x

y
A y
2
-x
2
B.x
2
-y
2
c
．
x
2
-4y
2
D
．
4x
2
-y
2
分析：考查分式的通分及四则运算。答案：
B
因式分解与分式化简综合应用

例
1
先化简代数式：


x

1
2
x

1

2


2
，
然后选取一个使原式有意
x

1
x

1
x

1


义的
x
的值代入求值．

【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．

例
2
、
（
05
河南）有一道题“先化简，再求值：
(
x
2
4
x
1
，

2
)

2x

2
x

4
x

4
其中< br>x


3
。”小玲做题时把“
x


3
”错抄成了“
x

3
”，但她
的计算结果也是正确的， 请你解释这是怎么回事？

点评：化简可发现结果是
x
2

4
，因此无论
x


3
还是
x


3
其计算
结果都是
7
。

可见现在的考试特别重视应用和理解。


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实用标准

第三讲

数的开方与二次根式

【回顾与思考】


〖知识点〗

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次
根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

〖课标要求〗

1.< br>理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平
方根、立方根和算术平方根。会求 实数的平方根、算术平方根和立方
根（包括利用计算器及查表）
；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最
简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，
会化简简单的二
次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；

3.
掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运
算，会进 行简单的分母有理化。

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实用标准

内容分析

1
．二次根式的有关概念

(1)
二次根式

式子
a
(
a

0
)
叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或
O
．

(2)
最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽 方的
因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

(3)
同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次
根式．

(< br>a
)
2

a
(
a

0
);

a
(
a

0
),
a
2

|
a
|




a
(
a

0
);
ab

a

b
(a

0
;
b

0
);
a
< br>b
a
b
(
a

0
;
b
< br>0
).
2
．二次根式的性质


3
．二次根式的运算

(1)
二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同
类三次根式分别合并．

(2)
三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方
根，即

a

b

ab
(
a

0
,
b

0
).

文档大全

实用标准

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如 果它们的积不含有二次根式，
那么这两个三次根式互为有理化因式．

(3)
二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、 分母都乘以分母
的有理化因式，把分母的根号化去
(
或分子、分母约分
)．把分母的根
号化去，叫做分母有理化．

〖考查重点与常见题型〗
< br>1.
考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出
现的频率很高，习题 类型多为选择题或填空题。

2.
考查最简二次根式、
同类二次根式概念。< br>有关习题经常出现在选
择题中。

3.
考查二次根式的计算或化简求值 ，
有关问题在中考题中出现的频率
非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

【例题经典】

理解二次根式的概念和性质

例
1
（
1
）式子
x
有意义的
x
取值范围是
_____ ___
．

2

x
【点评】
从整体上看分母不为零 ，
从局部看偶次根式被开方数为
非负．

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实用标准

（
2
）已知
a
为实数，化简

a
3

a

．

【点评】要注意挖掘其隐含条件：
a<0
．

掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法

例
2
下列根式中能与
3
合并的二次根式为（

）

3
2
1
a
A
．
24
B
.
12
C
.
D
.
18

【点评 】
抓住最简二次根式的条件，
结合同类二次根式的概念去解决
问题．

掌握二次根式化简求值的方法要领

例
3
先化简，再求值
:
若
a=4+
3
，
b=4-
3
，求
a
a

ab

b
．

a

b【点评】
注意对求值式子进行变形化简约分，
再对已知条件变形整体
代入．


第三章方程（组）

中考要求及命题趋势

一元

一次方程与一元

一次方程组是初中有关方程的基础，
在各
地中考题

中，
多数以填空

、
选择和解答题的形式出现，
大多考查

一
元一次方程及一 次方程组的概念和解法，一般占
5%
左右。方程和方
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实用标准

程组的应用题是中考的必考题，
考查学生建模能力和分析问题和解 决
问题的能力，以贴进生活的题目为主。占
10%
左右。

应试对策

1
、

要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的
解（整数解）等概念。

2
、

要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程组的解法。

3
、

要弄清一元一次方程与一次函数、
一元一次不等式之间的关系。

4
、

要弄清一元二次方程的定义，
ax +bx+c=0(a 0),a,b,c
均为常
数，尤其
a
不为零要切记。

5
、

要弄清一元二次方程的解的概念。

6
、

要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法
等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。

7
、

要加强

一元二次方程与二次函数之间的综合的训练。

8
、

让学生理解化分式方程为整式方程的思想。

9
、

熟练掌握解分式方程的方法。

10
、

让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的
分析。

让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训
练。

〖知识点〗

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实用标准

等式及基本性 质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二
次方程、简单的高次方程

〖课标要求〗

1.

理
解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

2.

理
解等式的基本性质，
能利用等式的基本性质进行方程的变形，
掌
握解一元一次 方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；

3.

会
推导一元二 次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、
配方法解一元二次方程的关系，
会选用适当 的方法熟练地解一元二
次方程；

4.

了
解高次方程的概 念，
会用因式分解法或换元法解可化为一元一次
方程和一元二次方程的简单的高次方程；

体验“未知”与“已知”的对立统一关系。

内容分析

1
．方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程．
使方程左右两边 的值相等的未知数的值
叫做方程的解
(
只含有—个未知数的方程的解，也叫做根
)
．

2
．一次方程
(
组
)
的解法和应用

只含 有一个未知数，并且未知数的次数是
1
，系数不为零的方程，叫
做一元一次方程．
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和
系数化成
1
．

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实用标准

3.
一元二次方程的解法

(!)
直接开平方法

形如
(mx+n)
2
=r(r
≥
o)
的方程，
两边 开平方，
即可转化为两个一元
一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．

(2)
把一元二次方程通过配方化成

(mx+n)
2
=r(r
≥
o)
的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．

(3)
公式法

通过配方法可以求得一元二次方程

ax
2
+bx+c=0(a
≠
0)

b

b
2

4
ac
的求根公式：
x


2
a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

(4)
因式分解法

如果一元二次方程
ax
2
+b x+c=0(a
≠
0)
的左边可以分解为两个一次因
式的积，
那么根 据两个因式的积等于
O
，
这两个因式至少有一个为
O
，
原方 程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．

〖考查重点与常见题型〗

考查一元一次方程、
一元二次方程及高次方程的解 法，
有关习题常出
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实用标准

现在填空题和选择题中。

第一讲

一次方程（组）及应用

【回顾与思考】


【例题经典】

掌握一元一次方程的解法步骤

x

1
x

2


2

2
3
例
1
解方程：
x -
【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1
，五步
进行< br>
掌握二元一次方程组的解法

例
2


已 知方程组


ax

by

2,

x

2,
的解为

，求
2a-3b
的值．


y

1.

ax

by

4

x

2,
【点评】将

代入原方程组 后利用加减法解关于
a
，
b
的方程组．

y
1.

例
3
、
某电视台在黄金时段的
2min
广告时间内，
计划插播长度为
15s
和
30s
的两种广告，
15s
广告每播
1
次收费
0.6
万元，
30s
广告
每播
1
次收费
1
万元。若要求每种广告播放不少于
2
次。问：

⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？

文档大全

实用标准

⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？

点评：
本题只能列出一个二元一次方程，
因此需要学生对二元一
次方程的解有深刻的理解。体现了“从 知识立意向能力立意转变”的
新命题理念。

解：
（
1
）设
15s
广告播放
x
次，
30s
广告播放
y
次。

15x+30y=120
而
x,y
均为不小于
2
的正整数，


x

4

x

2
∴


或



y

2
y

3


（
2
）方案
1 4.4
万元；方案
2 4.2
万元。

一次方程的应用

例
1
．
下图是学校化学实验室用于放试管的木架，
在每
层长
29 cm
的木条上钻有
6
个圆孔，每个圆孔的直径
均为
2
．
5
cm
．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之
间的距离都相等并设为
X cm
，则
x
为
( )
A
．
2 B
．
2
．
15 C
．
2
．
33 D
．
2
．
36
分析：考查列一元一次方程并解方程

答案：
A
例
2< br>据某统计数据显示，在我国的
664
座城市中，按水资源
情况可分为三类：暂不缺水城市，
一般缺水城市和严重缺水城市，
其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的
4
倍少
50
座，一般
缺水城市是严重缺水城市数的
2
倍，求严重缺水城市有多少座？

【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题．

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实用标准

例
4.
小红家春天粉刷房间，雇用了
5
个工人，干了
10
天完成；用了
某种涂料
150
升，
费用为
4800
元；粉刷的面积是
150m
2
．最后结算工
钱时， 有以下几种方案：

方案一：按工算，每个工
30
元；
(1
个工人干
1
天是一个工
)
；

方案二：按涂料费用算，涂料费用的
30
％作为工钱；

方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱
12
元．

请你帮小红家出主意，选择方案

付钱最合算
(
最省
)
．

分析：
考查方程 和方程的应用，
方案一：
5*10*30+4800=6300
元

方
案二：
4800*30%=1440
元，方案三：
12*150=1800
元

答案：方案二


第二讲

一元二次方程及应用

【回顾与思考】



【例题经典】

掌握一元二次方程的解法

例
1
解方程：

（
1
）
3x
2
+8x-3=0
；
（
2
）
9x
2
+6x+1=0
；
（
3
）
x-2=x
（
x-2
）
；
（4
）
文档大全

实用标准

x
2
-2
5
x+2=0
例
2.
用换元法 解方程
(x-
)
2
-3x+
+2=0
时，如果设
x -
=y
，那么原
方程可转化为
( )D
(A)y
2
+3y+2=O (B)y
2
—
3y-2=0 (C)y
2
+3y-2=0 (D)y
2
-3y+2=0
分析：考查用换元法解方程

答案：
D
例
3.
若关于
x
的方程
x2
+px+1=0
的一个实数根的倒数恰是它本身，
则
p
的值是

．

分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±
1
答案：±
2
例
4.
关于
x
的一元二次方程
x
2

bx

c

0
的两根为
x
1

1，
x
2

2
，则
x
2

bx

c
分解因式的结果为
________________________ _
；

1
x
3
x
1
x
分析：考查 一元二次方程和分解因式的综合。将
x1
、
x2
的值代入方
程求出< br>b
、
c
答案：
(x-1)(x-2)
会判断一元二次方程根的情况

例
1
不解方程判别方程
2x
2
+3x-4=0
的根的情况是（

）

A
．有两个相等实数根；
B
．有两个不相等的实数根；

C
．只有一个实数根；
D
．没有实数根

【点评】根据
b
2
-4ac
与< br>0
的大小关系来判断

例
2
已知一元二次方程
x2
-4x+k=0
有两个不相等的实数根

(1)
求
k
的取值范围
;
文档大全

实用标准

(2)
如果
k
是符合条件的最大整数，且一元二次方程
x
2
-4x+k=0
与
x
2
+mx-1=0
有一个相同的根，
求此时
m
的值
.
点评：
本
题考查了解一元 二次方程的解法、根的判别式、不等式的整
数解等知识点。


一元二次方程的应用

例
3
某印刷厂
1
•月份印刷了书籍
60
•
万册，
•
第一季度共印刷
了200
万册，问
2
、
3
月份平均每月的增长率是多少？

【点评】设
2
、
3
月份平均每月的增长率为
x
，即
60+60
（
1+x
）
+60
（
1+x
）
2
=200

第三讲

分式方程及应用

【回顾与思考】


〖知识点〗

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

〖课标要求〗

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、
文档大全

实用标准

二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方
法，会 用换元法解方程，会检验。

内容分析

1
．分式方程的解法

(1)
去分母法


用去分母法解分式方程的一般步骤是：


（
i
）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方
程；

(ii)
解这个整式方程；

(iii)
把整式方 程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最
简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的 根是增根，
必须舍去
.

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母
.
(2)
换元法


用换元法解分式方程，
也就是把适当的分式 换成新的未知数，
求
出新的未知数后求出原来的未知数．

2
．二次根式方程的解法

(1)
两边平方法


用两边平方法解无理方程的—般步骤是：

(i)
方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；

(ii)
解这个有理方程；

(iii)
把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原
文档大全

实用标准

方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．


在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．

(2)
换元法

用换元法解无理方程，
就是把适当的根号下台有未知数的式子 换成新
的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．

〖考查重点与常见题型〗

考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能
力，
常出现

在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，
习
题出现在中档解答题中。

【例题经典】

理解分式方程的有关概念

例
1

指出下列方程中，分式方程有（

）

x
2
x< br>1
1
5
2
①

2
=5
②

=5
③
2
x
2
-5x=0
④
x

+3=0
2
3
2
x
3< br>x
5
x
2
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．

掌握分式方程的解法步骤

例
2
解方程：

1
1
2


；

6
x

2
2
1

3
x
3
5

（
2
）
。

x

1
x

1
（
1
）
【点评】注意分式方程最后要验根。

文档大全

实用标准

例
3.
解方程：
(
x
2
x
)


6

0

x

2
2

x
分析：考查解分式方程

答案：
x
1
=3
，
x
2
=4/3
都是原方程的根

3x
x
2
－
1
3x
例
4
（
1
）
、
用换元法解分式方程
2

＋

＝
3
时，
设
2

＝
y
，
x
－
1
3x
x
－
1
原方程变形为（

）

（
A
）
y
2
－
3y
＋
1
＝
0
（
B
）
y
2
＋
3y
＋
1
＝
0
（
C
）
y
2
＋
3y
－
1
＝
0
（
D
）
y2
－
y
＋
3
＝
0
（
2
）、 用换元法解方程
x
2
＋
8x
＋
x
2
＋8x
－
11
＝
23
，若设
y
＝
x< br>2
＋
8x
－
11
，则原方程可化为（

）

（
A
）
y
2
＋
y
＋
12
＝
0
（
B
）
y
2
＋
y
－
23
＝
0
（
C
）
y
2
＋
y
－
12
＝
0
（
D
）
y2
＋
y
－
34=0
分式方程的应用

例5
某服装厂装备加工
300
套演出服，在加工
60
套后，采用了 新技
术，使每天的工作效率是原来的
2
倍，结果共用
9
天完成任务，
•
求
该厂原来每天加工多少套演出服．

【点评】要用到关系式：工作效率＝
工作量
。

工作时间
例
6
某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，
现有甲、
乙两个
文 档大全

实用标准

工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，
6
天可以完成，共需
工程费用
10
200
元；
若单独完成 此项工程，
甲队比乙队少用
5
天．
但
甲队每天的工程费用比乙队多< br>300
元，
工程指挥部决定从这两个队中
选一个队单独完成此项工程，
若从节省资金的角度考虑，
应该选择哪
个工程队
?
为什么
?
解：设甲队每天费用为
a
元，乙队每天费用为
b
元，则

(a+b)
×
6=10200 a-b=300
解：
设甲队独做 需
x
天完成，
则乙队
独做
(x+5)
天完成．

由题意，列方程．

1
x
1
1


x

5
6
整理得
x
2
-7x-30=O
．解之得
x
1
=10
，
x
2
=-3
．
经检验
x
1
’
x2
都是原方程的根，但
x< br>2
=-3
不合题意舍去．

∴甲队独做需
10
天完成，

乙队独做需
15
天完成．

解之得
a=1000 b=700
所以甲队独做的费用为
1000
×
10=10 000(
元
)
，

乙队独做的费用为
700
×
15=10 500(
元
)
．

∵
10 500>10 000
．

．若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队．

例7
为满足用水量不断增长的需求，
昆明市最近新建甲、
乙、
丙三个水厂， 这三个水厂的日供水量共计
11
．
8
万立方米，其中
乙水厂的日供水 量是甲水厂日供水量的
3
倍，丙水厂的日供水量
比甲水厂日供水量的一半还多
1
万立方米．

(1)
求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米
?
文档大全

实用标准

(2)
在修建甲水厂的输水管道的工 程中要运走
600
吨土石，运输公司
派出
A
型、
B
型两种载重汽车，
A
型汽车
6
辆、
B
型汽车
4辆，分别
运
5
次，可把土石运完；或者
A
型汽车
3辆、
B
型汽车
6
辆，分别运
5
次，也可把土石运完．那 么每辆
A
型汽车、每辆
B
型汽车每次运土
石各多少吨
?(< br>每辆汽车运土石都以标准载重量满载
)
解：
(1)
设甲水厂的日供水 量是
x
万立方米，则乙水厂的日
供水量是
3x
万立方米，丙水厂的日 供水量是
(x/2+1)
万立方米．

由题意得：
x+3x+x/4+1=11
．
8
解得：
x=2
．
4
答：甲水厂日供水量是
2．
4
万立方米，乙水厂日供水量是
7
．
2
万
立 方米，丙水厂日供水量是
2
．
2
万立方米．

(2)
每辆
A
型汽车每次运土石
lO
吨、
每辆
B
型汽车 每次运土石
15
吨．

第四讲

列出方程
(
组
)
解应用题

〖知识点〗

列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、
应用问题的主要类型

〖课标要求〗能够列方程（组）解应用题

内容分析

列出方程
(
组
)
解应用题的一般步骤是：

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实用标准

(i)
弄清题意和题目中的已知数、 未知数，用字母表示题目中的
一个
(
或几个
)
未知数
; < br>(ii)
找出能够表示应用题全部含义的一个
(
或几个
)
相等 关系
;
(iii)
根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程
(
或
方程组
);
(iv)
解这个方程
(
或方程组< br>)
，求出未知数的值
;
(v)
写出答案
(
包括单位名称
)
．

〖考查重点与常见题型〗

考查列方程
（组）
解应用题的能力，其中重点是列一元二次方程或列
分式方程解应用题，
习题以工程问题、
行程问题为 主，
近几年出现了
一些经济问题，应引起注意

一、填空题

1.
某商品标价为
165
元，若降价以九折出售（即优惠
10
％）
，仍可获
利
10
％（相对于进货价）
，则该商品的进货价是

2.
甲、
乙二人投资合办一个企业，
并协议按照投资额的比例分配所得
利润，已知甲与乙投资额的比例为
3
：
4
，首年的利润为
3850 0
元，
则甲、乙二人可获得利润分别为

元和

元

3.
某公司
1996
年出口创收
135
万美元，
1997
年、
1998
年每年都比上
一年增加
a
％，那么，
1998
年这个公司出口创汇

万美元

4.
某城市现有
42
万人口，计划一年后城镇人口 增加
0.8
％，农村人
口增加
1.1
％，这样全市人口将增加
1
％，求这个城市现有的城镇人
文档大全

实用标准

口 数与农村人口数，
若设城镇现有人口数为
x
万，
农村现有人口
y万，
则所列方程组为

5.
在农业生产上，需要用 含盐
16
％的盐水来选种，现有含盐
24
％的
盐水
200< br>千克，需要加水多少千克？

解：设需要加水
x
千克根据题意，列方程为

，解
这个方程，得

答：
.
6.
某电视机厂
1994
年向国家上缴利税
400
万元 ，
1996
年增加到
484
万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分 率

7.
某种商品的进货价每件为
x
元，零售价为每件
900
元，
为了适应市
场竞争，商店按零售价的九折降价并 让利
40
元销售，仍可获利
10
％
（相对于进价）
，则x
＝

元

8
．一个批发与零售兼 营的文具店规定，凡是一次购买铅笔
301
支以
上（包括
301
支）
，可以按批发价付款；购买
300
支以下（包括
300
支）只能按零 售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三
年级学生每人买
1
支，则只能按 零售价付款，需用
(m
2
－
1)
元（
m
为正
整数，且
m
2
－
1>100
）
；如果多买
60< br>支，则可以按批发价付款，同样
需用
(m
2
－
1)
元
.
(1)
设这个学校初三年级共有
x
名学生，则
(a)x
的取值范围应为

(b)
铅
笔
的
零
售
价
每
支
应
为










元
，
批
发
价
每
支
应
为

元

（用含
x
，
m
的代数式表示）

文档大全

实用标准

(2)
若按批发价每购
15
支比按零售价每购
15
少付款
1
元，试求这个
学校初三年级 共有多少名学生，并确定
m
的值。

二．列方程解应用题

1
．

某商店运进
120
台空调准备销售，
由于开 展了促销活动，
每天
比原计划多售出
4
台，结果提前
5
天完 成销售任务，原计划每天
销售多少台？

2
．

我省
1995
年初中毕业会考（中考）六科成绩合格的人数为
8
万人，
1997
年上升到
9
万人，
求则两年平均增长的百分率
（取
2
=1.41
）

3
．

甲、
乙两队完成某 项工作，
甲单独完成比乙单独完成快
15
天，
如果甲单独先工作
10
天，再由乙单独工作
15
天，就可完成这项
2
工作的

，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？

3
4
．

某校校长暑期将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅
行社说：
“如果校长买全 票一张，则其余学生可享受半价优待”
，
乙旅行社说：
“包括校长在内全部按全票价的
6
折优惠（即按全票
价的
60
％收费）
，若全票为
240
元

(1)
设学生数为
x
，甲旅行社收费为
y
甲
，乙旅行社收费为
y
乙
，分
别计算两家旅行社的收费（ 建立表达式）

(2)
当学生数为多少时，两家旅行社的收费一样？

(3)
就学生数
x
讨论哪家旅行社更优惠？

5
．

文档大全

现有含盐
15
％的盐水 内
400
克，张老师要求将盐水质量分数
实用标准

变为
1 2
％。某同学由于计算失误，加进了
110
克的水，请你通过
列方程计算说明 这位同学加多了，并指出多加了多少克的水？

6
．

甲步行上午< br>6
时从
A
地出发于下午
5
时到达
B
地，乙骑自行车
上午
10
时从
A
地出发，于下午
3
时到达
B
地，问乙在什么时间追
上甲的？

7
．

中华中学为迎接香港回归，
从
1994
年到
1997
年内师 生共植树
1997
棵，已知该校
1994
年植树
342
棵，
1995
年植树
500
棵，如
果
1996
年和1997
年植树棵数的年增长率相同，那么该校
1997
年
植树多少棵？

8
．

要建一个面积为
150m
2
的长 方形养鸡场，为了节约材料，鸡场
C
A
F
B
的一边靠着原有的一条墙 ，墙长为
am
，
另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆
的长为
35m
，
（
1
）
求鸡场的长与宽各为多
D
E
少？ （
2
）题中墙的长度
a
对题目的解起着怎样的作用？

9
．

永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种款，共计
68< br>万
元，
每年需付出利息
8.42
万元，甲种贷款每年的利率是
12
％，乙
种贷款每年的利率是
13
％，求这两种贷款的数额各是多少？
10
．
小明将勤工俭学挣得的
100
元钱按一年期存入少儿银 行，
到期后
取出
50
元用来购买学习用品，
剩下的
50元和应得的利息又全部
按一年期存入。
若存款的年利率保持不变，
这样到期后可得 本金
和利息共
66
元，求这种存款的年利率。

11.
某公 司向银行贷款
40
万元，
用来生产某种新产品，
已知该贷款的
文档大 全

实用标准

年利率为
15
％（不计复利，即还贷前每年 息不重复计息）
，每个
新产品的成本是
2.3
元，
售价是
4
元，
应纳税款为销售额的
10
％。
如果每年生产该种产品
2 0
万个，并把所得利润（利润＝销售额
－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还 清？

12.
某车间在规定时间内加工
130
个零件，
加工 了
40
个零件后，
由于
改进操作技术，每天比原来计划多加工
10< br>个零件，结果总共用
5
天完成任务。求原计划每天加工多少个零件
?
13.
东西两车站相距
600
千米，甲车从西站、乙车从东站同时同速相
向而 行，相遇后，甲车以原速，乙车以每小时比原速快
10
千米
的速度继续行驶，
结果，当乙车到达西站
1
小时后，甲车也到达
东站，求甲、乙两车相遇后的速度？
14.
一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开
放乙管少 用
10
小时。如果单独开放甲管
10
小时后，加入乙管，
需要
6
小时可把水池注满。
问单独开放一个水管，
各需多少小时
才能把水池注满 ？

15.
某商店
1995
年实现利税
40
万元< br>（利税＝销售金额－成本）
，
1996
年由于在销售管理上进行了一系列改革，
销售金额增加到
154
万
元，成本却下降到
90
万元，（
1
）这个商店利税
1996
年比
1995
年增长百分 之几？

（
2
）若这个商店
1996
年比
1995
年销售金额增长的百分数和成本下
降的百分数相同，
求这个商店销售金额
19 96
年比
1995
年增长百
分之几？

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实用标准

16.
甲、乙两辆汽车同时从
A
地出发，经C
地去
B
地，已知
C
地离
B
地
180
千米，出发时甲车每小时比乙车多行驶
5
千米。因此，乙
车经过
C< br>地比甲车晚半小时，
为赶上甲车，
乙车从
C
地起将车速
每小时 增加
10
千米，结果两从同时到达
B
地，求（
1
）甲、乙两
从出发时的速度；
（
2
）
A
、
B
两地间的 距离
.
17.
某项工程，甲、乙两人合作，
8
天可以完成，需费用
3520
元；
若甲单独做
6
天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12
天才能完成，
这样需要费用
3480
元，问：
（
1
）甲、乙两人单独完成此项工程，各
需多少天？

（
2
）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？

18．某河的水流速度为每小时
2
千米，
A
、
B
两地相距< br>36
千米，一动
力橡皮船从
A
地出发，逆流而上去
B
地，出航后
1
小时，机器发
生故障，橡皮船随水向下漂移，
30
分钟 后机器修复，继续向
B
地开去，
但船速比修复前每小时慢了
1
千米，
到达
B
地比预定时
间迟了
54
分钟，求橡皮船在静水中起初 的速度
.
第四章

不等式与不等式组

中考要求及命题趋势

1.
不等式，一元

一次不等式（组）

及其解集的概念。

2.
不等式的基本性质，一元

一次不等式（组）解法以及解集的数轴
表示。

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实用标准

3.
解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于‘已

知

量

’‘未知

量

’之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注
意

应用题中字母

所表示的实际意义。

应试对策

解不等式（组）是本节的重点，而不等式的性质是解不等式
的基础，在复习本节

时

，首先要强化三条性质的应用顺练，切
忌不等式两边同乘

（除）含

字母的代数式（即正负不明的代数
式）
；其次注意

数

形

结合的方法，即充分利用数轴，关于不等
式（组）的应用题，要通过建模 训练，学会找出实际问题中的不
等关系，
并能在不等式的解集中找出符合题意的答案，
还要注意
与其他类型的应用题结合起来训练。

第一讲

一元一次不等式（组）及应用

【回顾与思考】


〖知识点〗

不等式概念，
不等式基本性质，
不等式的解集，
解不等式，
不等式组，
不等式组的解集，
解不等式组，一元一次不等式，一元一次不 等
式组。

课标要求

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实用标准

1.
理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；

2.< br>理解不等式的基本性质，
会应用不等式的基本性质进行简单的不
等式变形，会解一元一次 不等式；

3.
理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式
组；
4.
能应用一元一次不等式
（组）
的知识分析和解决简单的数学问题
和实 际问题。

内容分析

一元一次不等式、一元一次不等式组的解法

(1)
只含有一个未知数，并且未知数的次数是
1
，系数不为零的不
等式，叫做一元一次不等式．

解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同 类
项和系数化成
1
．要特别注意，不等式的两边都乘以
(
或除以)
同一个
负数，要改变不等号的方向．

(2)
解一元一次不等式组的一般步骤是：

(i)
先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；

(ii)
再利用数轴确定各个解集的公共部分，
即求出了这个一元一次不
等式组的解集．

考查重点与常见题型

考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题，也
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实用标准

出现在选择题，填空题中。

【例题经典】

不等式的性质及运用

例
1
下列四个命题中，正确的
有（

）

．．．
①若
a>b
，则
a+1>b+1
；②若
a>b，则
a-1>b-1
；

③若
a>b
，则
-2 a<-2b
；④若
a>b
，则
2a<2b
．

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

【 分析】
注意观察前后两个式子的变化，
想一想与不等式的性质是否
相符．

会解一次不等式，并理解解集用数轴表示的意义

例
2
解不等式x>
x-2
，并将其解集表示在数轴上．


【点评】步骤类似于解一元一次方程，但要注意不等号方向的变化．

例
3< br>、
关于
x
的不等式
2
x

a

1
的解集如图所示，
则
a
的取值是
（

）

考查内容：不等式的解集与数轴上所表示的数集之间
的对应。解为
-1
例
4.
不等式
2x+1
≥
5
的解集在数轴上表示正确的是
( )

分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点
的条件， 不等式的解为
x
≥
2
答案：
D
例
5
．如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等
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—
2
—
1
0
·

○


·
1
3
·

实用标准

式组的整数解是
__________
。

分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件

答案：
-1
，
0
例
6.
函数
y=
x

2
中，自变量
x
的取值范围是
( )
A
．
x
≠
2 B
．
x
≥
2 C.x
≤
2D
．
x>2
分析：通过不等式的形式
2
算术平方根中被开方数的非负性。答案：
B 例
7.
如果最简二次根式
3
a

8
与
17

2
a
是同类根式，
那么使
4
a
< br>2
x
有意义的
x
的取值范围是
( )
A
．
x
≤
10 B
．
x
≥
10 C
．
x<1O D
．
x>10
分析：考查同类根式的意义及二次根式有意义的条件。答案：
A
借助数轴，解一元一次不等式组

例
8
（
2006
年淄博市）解不等式组，并在数轴上表示解集
.

x

3

3

8,



2


1

3(
x

1)

8

x
.
【点评】先求每个不等式的解集，再借助数 轴求不等式组的解集．

例
9
．不等式组


3< br>x

3

1
的最小整数解是


x

4

8

2
x
（

）

A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．－
1
分析：整数包括正整数、负整数和
0
答案：
A
例
10.
不等式组



x

1

0

的整数是（

）


x

2

3
（
A
）
-1
，
0
，
1
（
B
）
-1
，
1
（
C
）
-1
，
0
（
D
）
0
，
1
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实用标准

答案：
C
会列不等式（组）解应用题

例
11
将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分
5
个苹果，则
还剩
12
个苹果；若每位小朋友分
8
个苹果，则有一个小朋友分
不 到
8
个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．

【点评】从题意寻求两个不等关系，列出不等式组，求出解集，并取
正整数解．
例
10
、今年
6
月份，我市某果农收获荔枝
30
吨，香 蕉
13
吨，现
计划租用甲、乙两种货车共
10
辆将这批水果全部运往 深圳，已知甲
种货车可装荔枝
4
吨和香蕉
1
吨，乙种货车可装荔枝香 蕉各
2
吨；

⑴该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来

⑵若甲种货车每辆要 付运输费
2000
元，乙种货车每辆要付运输费
1300
元，则该果农应选择 哪种方案？使运费最少？最少运费是
多少元？

考查内容：
根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决实
际问题。

解：设安排
x
辆甲种货车，
（
10-x
）辆乙种货车


4
x

2
(
10

x)

30


x

2
(
10

x
)

13

得
5

x

7
，方案
1
：甲车
5
辆，乙车
5< br>辆，费用
16500
元；方案
2
：甲车
6
辆，乙车< br>4
辆，费用
16200
元；方案
3
：甲车
7
辆，乙车
3
辆，费用
17900
元；

例
12.< br>我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷
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实用标准

厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价
1
．
5
元的八
折收费，另收
900
元制版费；乙厂的优惠条件是：每份 定价
1
．
5
元
的价格不变，而制版费
900
元则六 折优惠．且甲乙两厂都规定：一次
印刷数量至少是
500
份．

(1 )
分别求两个印刷厂收费
y(
元
)
与印刷数量
x(
份
)
的函数关系，
并
指出自变量
x
的取值范围．

(2)
如何根据印刷的数量选择比较合算的方案
?
如果这个中学要印制
2000
份录取通知书。那么应当选择哪一个厂
?
需要多少费用
?
分析：本题主要考查一次函数、不等式等知识，考查运算能力及分
析和解决实际问题

的能力．

解：
(1)y
甲
=1
．
2x+ 900(
元
)x
≥
500(
份
)
，且
x< br>是整数

y
乙
=1
．
5x+540(
元
) x
≥
500(
份
)
，且
x
是整数

(2)
若
y
甲
>y
乙
，即
1
．
2x+900>1
．
5x+540
∴
x<1200
若< br>y
甲
=y
乙
，即
1
．
2x+900=1．
5x+540
∴
x=1200
若
y
甲
乙
，即
1
．
2x+900<1
．
5x+540∴
x>1200
当
x=2000
时，
y
甲
=3300
答：当
500
≤
x<1200
份时，选择乙厂比较合算；

当
x=1200
份时，两个厂的收费相同；

当
x>1200
份时，选择甲厂比较合算；

所以要印
20 00
份录取通知书，应选择甲厂，费用是
3300
元．

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实用标准

第二讲

不等式（组）与方程（组）的应用

【例题经典】

例
1
（
2006
•
年内江市）内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮
化 工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两
个公司的业务资料看到：
若两个公 司合做，
则恰好用
12
天完成；
若甲、
乙合做
9
天 后，由甲再单独做
5
天也恰好完成．如果每天
需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为
1.2
万元和
0.7
万元．

（
1
）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？

（
2
）
要使整个工程费用不超过
22.5
万元，
则乙公司最少应施工多少
天？

【点评】
（
1
）
利用方程组解决
;
（
2
）
利用不等式解决，
结合实际取值
.
例
2

（
2005
年潍坊市）为了加强学生的交通安全意 识，某
中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选
派部分学生到交通路口值 勤，协助交通警察维持交通秩序．若每
一个路口安排
4
人，那么还剩下
78< br>人；若每个路口安排
8
人，
•
那么最后一个路口不足
8
人，但不少于
4
人．求这个中学共选
派值勤学生多少人？
•
共在多 少个交通路口安排值勤？

【分析】
本题与学生生活实际联系紧密，
是一道很 好的列不等式组应
用题，解决本题应注意路口人数与总人数之间的关系．

例
3

华溪学校科技夏令营的学生在
3
名老师的带领下， 准备赴北
京大学参观，体验大学生活．现有两个旅行社前来承包，报价均为每
人
200 0
元，他们都表示优惠；希望社表示带队老师免费，学生按
8
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