受益无穷-

2021年1月30日发(作者：网站制作系统)


初中数学知识点大汇总

第一章

数与式

考点
1.1
、实数的概念及分类

一、实数

正整数

1.
实数的分类

正有理数




正实数

负整数




负有理数

实数

零

正无理数



负实数

正分数



负无理数

负分数

27


实数：有理数和无理数统称为实数．

























2.
无理数

无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，－，
0. 1010010001...(
两个
1
之间依
次多
1
个0)
．

在理解无理数时，要抓住

无限不循环

这一时之，它包含两层意思：一是无限
小数；二是不循环．二者缺一不可．归纳起来有四类：

（
1
）开方开不尽的数，如等；

（
2
）有特定意 义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
+8
等；

（
3）有特定结构的数，如
0.1010010001...
等；

（
4
）某些三角函数，如
sin60
等

注意：判 断一个实数的属性
(
如有理数、无理数
)
，应遵循：一化简，二辨析，三判< br>断．要注意：

神似

或

形似

都不能作 为判断的标准．

3.
非负数：正实数与零的统称。（表为：
x
≥< br>0
）

性质：若干个非负数的和为
0
，则每个非负担数均为
0
。

27
o


4.
实数大小的比较


（
1
）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（
2
）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大，两个负数，绝对值
大的较小。


二、数轴

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的 直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规
定的三要素缺一不可）。


三、相反数、倒数、绝对值

1.
相反数：如果
a
与
b
互为相反数，则有
a+b=0
2.
绝对值

a





(a
≥
0)
绝对值
|a|


-a





(a<0)
27


|a|
的几何意义是数轴上表示数
a
的点与原点的距离。

3.
倒数：如果
a
与
b
互为倒数，则有
ab=1< br>，反之亦成立。倒数等于本身的数是

和
-1
。零没有倒数。


四、科学计数法

1.
有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左

第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，
都叫做这个数的有效数字。

2.
科学记数法
:
把一个数写做的形式，其中，
n
是整数， 这种记数法叫做科学记数
法。（
1
）确定：是只有一位整数数位的数。
（
2
）确定
n
：当原数≥
1
时，等于原数的整数位数减
1
；当原数
<1
时，是负整数，
它的绝对值等于原数中左起第一个非 零数字前零的个数（含整数位上的零）。

例如：－
40700
＝－
4.07
×
105
，
0.000043
＝
4.3
×
10
。

（
3
）近似值的精确度：一般地，一个近似数，四 舍五入到哪一位，就是这个近似数
精确到哪一位。

27
-5


（
4
）按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来。


五、数的乘方与开方

1.
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是 正数，正数的任何次幂都是正数，
0
的
任何正整数次幂都是
0
。
2.
正数有两个平方根，
负数没有平方根，
0
的平方根是0
，
正数的正的平方根叫做
算数平方根。

3.
若b
=a
，则
b
叫做
a
的立方根。






六、二次根式的概念

（
1）二次根式的概念：形容
a
（
a
≥
0
）的式子叫做a
的二次根。

（
2
）
最简二次根式：
被开方 数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，
这样的
二次根式叫做最简二次根式。

3
27


（
3
）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数 相同，这
几个二次根式叫做同类二次根式。

（
4
）二次根式混合运 算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，
再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的 （或先去括号）。


七、有理数的运算：

加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为
0
；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与
0
相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与
0相乘得
0
。③乘积为
1
的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②
0
不能作除数。

27


乘方：求
N
个相同因数
A
的积的运算叫做乘方，乘方的结 果叫幂，
A
叫底数，
N
叫次
数。


考点
1.2
、
代数式与整式

1.
代数式：

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独
的一个数或一个字母也是 代数式。

表示方根的代数式叫做根式。

2.
单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，

如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个

单项式的次数。如是
6
次单项式。

3.
多项式
:
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多
项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式
的次数。

4.
单项式和多项式统称整式。

27


考点
1.3
、
代数式与整式

1.
同类项：

同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项 叫做同类项。几个常
数项也是同类项。

条件：①字母相同
;
②相同字母的指数相同

2.
去括号法则
:
（
1
）括号前是

，把 括号和它前面的

号一起去掉，括号里各项都不变号。

（
2
）括号前是

﹣

，把括号和它前面的

﹣

号一 起去掉，括号里各项都变号。

3.
整式的运算法则
:
整式的加减法：（
1
）去括号；（
2
）合并同类项。

注意：（
1
）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（
2
）
单项式与多项式相乘，
结果是一个多项式，
其项数与因式中多项式的项数相 同。

（
3
）
计算时要注意符号问题，
多项式的每一项都包 括它前面的符号同时还要注意单
项式的符号。

（
4
）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

27


（
5
）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（
6
）
多项式除以单项式，
先把这个多项式的每一项除以这个单项式 ，
再把所得的商
相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

4
、 因式分解
:
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分
解，也叫 做把这个多项式分解因式。

5.
合并同类项：只把系数相加，所含字母及字母的指数不变。

6.
代数式求值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结
果，叫做代数式的值。< br>
（
1
）求代数式的值：一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

（
2
）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，

整体

代入。


考点
1.4
、
分式

A
的形式，如果
B
1
、分式：一般地，用
A
、< br>B
表示两个整式，
A
÷
B
就可以表示成
B
2 7


中含有字母，式子就叫做分式。其中，
A
叫做分式的分子，
B叫做分式的分母。分式
和整式通称为有理式。

2
、分式的性质

（
1
）
分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以
（或除以 ）
同一个不等于零的整式，
分式的值不变。

（
2
）异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

3.
繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式。

②化 简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法
法则进行化简。

4.
分式的乘除运算

（
1
）约分的关键是确定分子，分母的公因式。

（
2
）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。


27


第二章


方程（组）与不等式（组）


考点
2.1

一元一次方程及可以化为一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

1
.
方程：含有未知数的等式叫做方程。

2
.
方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3
.
等式的性质

（
1
）等式的两边都加上（或减 去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

a=b
←→
a+c=b+c
（
2
）等式的两边都乘以（ 或除以）同一个数（除数不能是零）
，所得结果仍是等式。

a=b
←→
ac=bc (c
≠
0)
4
.
一元一次方程

只含有一个未知数，
并且未知数的最高 次数是
1
的整式方程叫做一元一次方程，
其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a
是未知数
x
的系数，
b
是常数项。

27


注意：解法

一元一次方程的解法：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系 数化成
1
→解、
验根。

说明：对于以为未知数的最简方程，若没有 给出字母
a
和
b
的取值范围，其解
有下面三种情况：

①当
a
≠
0
时，一元一次方程，有唯一解。

②当
a=0
，
b
≠
0
时，方程无解。
< br>③当
a
≠
0
，
b=0
时，方程有无数个解。

分式方程

5
、分式方程
:
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

6
、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将

分式方程

转化为

整式方程

。它的一般解法是：

（
1
）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（
2
）解所得的整式方程

27


（
3
）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去 ；若不
等于零，就是原方程的根。

7
.
分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中 学数学中的一个重要的数学思想，
其应用非常广泛，
当分式方
程具有某种特殊形式，一 般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

注意
：
方程的增根与遗根

(1)
在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根。

(2)< br>在方程变形时，
由于盲目变形，
在方程的两边同除以含有未知数的代数式，
从< br>而导致方程遗根。

8
.
常用的相等关系

(1)
行程问题（匀速运动）

a.
路程
=
速度×时间；

b.
相遇问题：甲车行驶的路程
+
乙车行驶的路程
=
初始距 离；

c.
追及问题：快车行驶的路程
-
慢车行驶的路程
=
追及路程。

27


(2)
工程问题：

基本关系：工作量
=
工作效 率×工作时间（常把工作量看着单位

）
。

(3)
几何问题 ：常用勾股定理，
几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质
等。

( 4)
数字问题：如一个三位数，百位数字为
a
，十位数字为
b
，个位 数字为
c
，则
这个三位数为：
100a+10b+c
，而不是
abc
。

(5)
利润问题：
a.
利润
=
售价
-
成本

；
b.
利润率
=
利润

100
%

成本(6)
储蓄问题：
a.
利息
=
本金×利率×期数；
b.
本息和
=
本金
+
利息
=
本金×
(1+利率
×期数
)
9
、列方程（组）解应用题

是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题 中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及
的相等关系是什么。

27


⑵设元（未知数）
。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）
。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
< br>⑷寻找相等关系
（有的由题目给出，
有的由该问题所涉及的等量关系给出）
，< br>列方
程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实 质是先把实际问题转化为数学问题（设元、
列方程）
，在由数学问题的解决而导致实际问题的解 决（列方程、写出答案）
。在这
个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用 题的关键。


考点
2.2
一元二次方程

1
.
一元二次方程



含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的整式方程叫做一元二次方程。

27


2
.
一元二次方程的一般形式



它的特征是：等式左边是一个关于未知数
x
的二次多项式，等式右边是零，其
中
ax
叫做二次项，
a
叫做二次项系数；
bx
叫做一次项，
b
叫做一次项系数；
c
叫做
常数项。

3
.
一元二次方程的解法


①直接开平方法



利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。< br>直接开平方法适用于解形如
x
2

b
(
b

0
)
或
(
ax

b
)
2

c
(
c

0
)
的一元二次
方程，直接开 平方得
x


b
或
ax

b
< br>
c
。


②配方法

配方法是一种重要的 数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在
数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理 论根据是完全平方公式，将方程
27


ax
2

bx

c

0
(
a

0
)
配方为
(
x

m< br>)
2

n
(
n

0
)
的形 式来求解。

③公式法



公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般
方法。


b

b
2

4
ac
2
，
(
b

4
ac

0
)



一元二次方程的求根公式：
x

2
a
④因式分解法



因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

4
.
一元二次方程根的判别式



一元二次方 程中，
b
2

4
ac
叫做一元二次方程的根的判别式，通常用

△

来表
27


示，即
△

b

4
ac


2
①
△

b

4
ac
>0
方程有两个不相等的实数根。

2
②
△

b
③
△

b
2
2

4
ac
=0< br>方程有两个相等的实数根。


4
ac
<0
方程无实数根。

④方程有两个实数根。

说明：根的判别式最常见的用法有：


①不解方程判别一元二次方程根的情况。


②由方程根的情况确定某些字母的值或范围。

5
.
一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么
x
1

x
2


a
，
x
1
•
x
2

a
。也

就是说，对 于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项
系数除以二次项系数所得的商的相反数 ；两根之积等于常数项除以二次项系数所得
27
b
c


的商。

6
.
一元二次方程的应用题

（列方程
(
组
)
解应用题，千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要具体问 题具
体分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：

(1)
审题：
弄清 题意和题目中的已知量、
未知量，
并能找出能够表示应用问题的全
部含义的等量关系。

(2)
设未知数：
选择一个或几个适当的未知量，
用字母表示，< br>并根据题目的数量关
系，用含未知数的代数式表示相关的未知量。

(3)列方程
(
组
)
：根据等量关系列出方程
(
组
)
。

(4)
解方程
(
组
)
：其过程可以省 略，但要注意技巧和方法。

(5)
检验：
首先检查所列方程
(组
)
是否正确，
然后检验所得方程的解是否符合题意。

(6)
写答：不要忘记单位名称。



27


考点
2.3
分式方程

分式方程的解法

(1)
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母。

②特殊解法：换元法。

(2)
验根：
由于在去分母过程中，
当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根。
因
此，
验根是解分式方程必不可少的步 骤，
一般把整式方程的根的值代人最简公分母，
看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方 程的增根，必须舍去。

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法。

8
．二元二次方程组

(1)
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。

(2)
由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。

基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方程组。



27


考点
2.4
二元一次方程组

1.
二元一次方程



含有两个未知数，并且未知项的最高次数是
1
的整式方程叫做二元一次方程。


2.
二元一次方程的解



使二元一次方程左 右两边的值相等的一对未知数的值，
叫做二元一次方程的一个
解。

3.
二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4.
二元一次方程组的解



使二元一次方程组的两个方 程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二
元一次方程组的解。

5.
二元一次方程组的解法

基本思想：

消元
解法：
（
1
）代入法；
（
2
）加减法

；⑶二元一次方程组一元一次方程组。

27


6.
三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是
1
的整式方程。

7.
三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未 知数的方程组，叫做三
元一次方程组。

解法：三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程组。


考点
2.5
一元一次不等式〔组〕

1
.
不等式



用不等号表示不等关系的式子 ，叫做不等式。
a
＞
b
、
a
＜
b
、
a
≥
b
、
a
≤
b
、
a
≠
b
。

2
.
不等式的解集


对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫
做这个不等式的解。< br>


对于一个含有未知数的不等式，
它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，
27


简称这个不等式的解集。



求不等式的解集的过程，叫做
解不等式
。

3.
不等式基本性质

(1)
不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

(2)
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

(3)
不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。



不等式的性质：⑴
a>b
←→
a+c>b+c









⑵
a>b
←→
ac>bc(c>0)









⑶
a>b
←→
ac








⑷（传递性）
a>b,b>c
→
a>c









⑸
a>b,c>d
→
a+c>b+d.
4
.
一元一次不等式

⑴一元一次不等式的概念



一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是
1
，且不等式的两边 都
27


是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
ax
＞
b
、
ax
＜
b
、
ax
≥
b
、
ax≤
b
、
ax
≠
b(a
≠
0)
。

⑵一元一次不等式的解法

（在数轴上表示解集）

解一元一次不等式的一般步骤：

（
1
）去分母（
2
）去括号（
3
）移项（
4
）合并同类项（
5
）将
x
项的系数化为
1
说明：在去分母和化系数为
l
时，需特别注意不 等式两边同时乘以
(
或除以
)
一个负
数，要将不等号改变方向。
5
.
一元一次不等式组

⑴一元一次不等式组的概念



几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。



几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组
的解集。



求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。


当 任何数
x
都不能使不等式同时成立，
我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

27


⑵一元一次不等式组的解法（在数轴上表示解集）


（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集


（
2
）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公
共部分，即为 不等式组的解集。

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表
(
其中
)
。口诀不
等
式
组
解
集
在
数轴上表示。







27



同小取小

，同大取大，大小取中，两背为空

不等式组无解
.


第三章

变量与函数


考点
3.1
变量与函数

1.
变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2.
函数：一般的，在一个 变化过程中，如果有两个变量
x
和
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把
x
称为自变 量，把
y
称为因变量，
y
是
x
的函数。



*
判断
Y
是否为
X
的函数，只要看
X< br>取值确定的时候，
Y
是否有唯一确定的值与
之对应

3.定义域：
一般的，
一个函数的自变量允许取值的范围，
叫做这个函数的定义域。< br>
4.
确定函数定义域的方法：

27


（
1
）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（
2
）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；


（
3
）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；


（
4
）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；


（
5
）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5.
函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数
的解析式

6.
函数的图像

一般来说，
对于一个函数，
如 果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、
纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这 个函数的图象．

7.
描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）
；

第二步：描 点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点）< br>；

27


第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）
。

8.
函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是 有限的，不易看出自变量与
函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地 反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关
系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。


考点
3.2
一次函数

1.
一次函数的定义

一般地，形如
y=kx+b
（
k
，
b
是常数，且< br>k
≠
0
）的函数，叫做一次函数，其中
x
是自变量。当
b=0
时，一次函数
y=kx
，又叫做正比例函数。

⑴一次函数 的解析式的形式是
y=kx+b
，要判断一个函数是否是一次函数，就是判
断是否能化 成以上形式。

27


⑵当
b=0
，
k
≠
0
时，
y= kx
仍是一次函数。

⑶当
b=0
，
k=0
时，它不是一次函数。

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。

2.
正比例函数及性质

一般地，
形如
y=kx(k
是常数，
k
≠
0)
的函数叫做正比例函数，
其中
k
叫做比例系数
.
注：正比例函数一般形式
y=kx (k
不为零
)
①
k
不为零

②
x
指数为
1
③
b
取零。

当
k>0
时，直线
y=kx
经过三、一象限，从左向右上升，即随
x
的增大< br>y
也增大；

当
k<0
时，
•
直线
y=kx
经过二、四象限，从左向右下降，即随
x
增大
y
反而减小。

(1)
解析式：
y=kx
（
k
是常数，
k
≠
0
）

(2)
必过点：
（
0
，
0
）
、
（
1
，
k
）

(3)
走向：
k>0
时，图像经过一、三象限；
k<0
时，
•
图像经过二、四象限

(4)
增减性：
k>0
，
y
随
x
的增大而增大；
k<0
，
y
随
x< br>增大而减小

(5)
倾斜度：
|k|
越大，越接近
y
轴；
|k|
越小，越接近
x
轴

27


3
、一次函数及性质

一般地，
形如
y=kx< br>＋
b(k,b
是常数，
k
≠
0)
，
那么y
叫做
x
的一次函数
.
当
b=0
时，
y=kx
＋
b
即
y=kx
，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 。

注：一次函数一般形式
y=kx+b
(k
不为零
)
①
k
不为零

②
x
指数为
1
③
b
取
任意实数

一次函数
y=kx+b
的图象是经过（
0
，
b
）和（

b
k
，
0
）两点的一条直线，我们
称它为直线
y=kx+b,
它可以看作由 直线
y=kx
平移
|b|
个单位长度得到
.
（当
b >0
时，
向上平移；当
b<0
时，向下平移）

(1)解析式：
y=kx+b(k
、
b
是常数，
k

0)
(2)
必过点：
（
0
，
b
）和（

b
k
，
0
）

(3)
走向：
k>0
，图象经过第一、三象限；
k<0
，图象经过第二、四象限

b>0
，图象经过第一、二象限；
b<0
，图象经过第三、四象限

27




k

0

b

0

直线经过第一、二、三象限




k

0

直线经过第一、三、四象限


b

0


k

0
直 线经过第一、二、四象限


b

0




k

0

b

0

直线经过第二、三、四象限

(4)
增减性：
k>0
，< br>y
随
x
的增大而增大；
k<0
，
y
随
x
增大而减小。

(5)
倾斜度：
|k|
越大，图象越接 近于
y
轴；
|k|
越小，图象越接近于
x
轴。
(6 )
图像的平移：

当
b>0
时，将直线
y=kx
的 图象向上平移
b
个单位；

当
b<0
时，将直线
y =kx
的图象向下平移
-b
个单位。



27



一次

函数

k

kx
b

k

0


k
，
b

符号

k

0

b
＞
0
b
＜
0
b=0
b
＞
0
k

0

b
＜
0
b=0
y
O
y
y
O< br>y
O
y
O
y
O
图象

O
x
x
x
x
x
x

性质







y
随
x
的增大而增大

y
随
x
的增大而减小

27


4
、一次函数
y=kx
＋
b
的图象的画法。
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确
定一条直线，
所以画一次函数的图象时，
只要先描出两点，
再连成直线即可
.
一般情
况下：是先选取它与两坐标轴的交点：
（
0
，
b
）
，的点
.
5
、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx
＋
b
的图象是一条直线，
它可以看作是由直线
y=kx
平移
|b|
个单
位长度而得到（当
b>0
时，向上平移；当
b<0
时，向下平移）

6
、正比例函数和一次函数及性质





27
。即横坐标或纵坐标为
0



正比例函数

一般地，
形如
y=kx(k是常数，
k
≠
0)
的函
一次函数

一般地，形 如
y=kx
＋
b(k,b
是常数，
k
≠
0)
，
那么
y
叫做
x
的一次函数
.
当
b=0
时，
是
y=kx
，
概

念

数叫做正比例函数，
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
.
其中
k
叫做正比例系
数

自变量
范围

图

象

必过点

X
为全体实数

一条直线

（
0
，
0
）
、
（
1
，
k
）

（
0
，
b
）和（

b
，
0
）

k
27


k>0
时，
直线经过一、
k
＞
0
，b
＞
0
直线经过第一、二、三象限

走

向

三象限；

k
＞
0
，
b＜
0
直线经过第一、三、四象限

k<0
时，
直线经过 二、
k
＜
0
，
b
＞
0
直线经过第一、二、 四象限

四象限

k
＜
0
，
b
＜
0
直线经过第二、三、四象限

增减性

倾斜度

k>0
，
y
随
x
的增大而增大；
（从左向右上升）

k<0
，
y
随
x
的增大而减小。
（从左 向右下降）

|k|
越大，越接近
y
轴；
|k|
越 小，越接近
x
轴


b>0
时，将直线
y=kx< br>的图象向上平移
b
个单
位；

b<0
时，将直线y=kx
的图象向下平移
b
个单
位。

图像的
平移


27


y

k
1
x

b
1
（
k
1

0
）与
y

k
2
x

b
2
（
k
2

0
）的位置关 系

（
1
）两直线平行

k
1

k
2
且
b
1

b
2

（< br>2
）两直线相交

k
1

k
2
（< br>3
）两直线重合

k
1

k
2
且< br>b
1

b
2

（
4
）两直线 垂直

k
1
k
2


1

6
、直线

7
、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：



（
1
）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；



（
2
）将
x
、
y
的几对值或 图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以
待定系数为未知数的方程；



（
3
）解方程得出未知系数的值；



（
4
）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式
.
☆补充性质：

（
1
）一次函数
y=kx+b
（< br>k
≠
0
）中
k
、
b
的意义：
< br>k(
称为斜率
)
表示直线
y=kx+b
（
k
≠
0
）

的倾斜程度；

b
（称为截距）表示直 线
y=kx+b
（
k
≠
0
）与
y
轴交点的 （
0
，
b
）
，也表示直线在
y
27


轴上的

。

（
2
）特殊直线方程：

X
轴
:
直线
y=0 Y
轴
:
直线
x=0
与
X
轴平行的直线
y=k(k
为非零常数
)
与
Y
轴平行的直线
x=k
（
k
为非零常数）

一、三象限角平分线

直线
y=x
二、四象限角平分线

直线
y=-x
(3)
平移法则：
“左加右减，上加下减”
。

考点
3.3
二次函数

1.
定义：一般地，如果
y

ax2

bx

c
(
a
,
b
,< br>c
是常数，
a

0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数
.
2.
二次函数
y

ax
2
的性质

y

ax
2
的顶点是坐标原点，对称轴是
y
轴
.
27
（
1
）抛物线


（
2
）函数
y

ax
2
的图像 与
a
的符号关系
.

①当
a

0
时

抛物线开口向上

顶点为其最低点；

②当< br>a

0
时

抛物线开口向下

顶点为其最高 点
.
.
y
轴的抛物线的解析式形式为
y

ax
2
（
a

0
）
（
3
）
顶 点是坐标原点，
对称轴是
3.
二次函数

线
.
4 .
二次函数
y

ax
2

bx

c
的图像是对称轴平行于（包括重合）
y
轴的抛物
y

ax
2

bx

c
用配方法可化成：
y
a

x

h


k
的形式，
其
2
b
4
ac

b
2
，
k

中
h


2
a
4
a
.
27


5.
二次函数由特殊到一般，
可分为以下几种形式：
①
y

ax
2
；
②
y

ax
2

k
；
③
y

a

x

h

2
；④
y

a

x
h


k
；⑤
y

ax
2

bx

c
.
2
6.
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.

①
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a
向下；


0
时，开口向上；当
a

0
时，开口
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.

②平行于
y
轴（或重合 ）的直线记作
x

h
.
特别地，
y
轴记作直线x

0
.
7.
顶点决定抛物线的位置
.
几个 不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛
物线的开口方向、开口大小完全相同 ，只是顶点的位置不同
.
8.
求抛物线的顶点、对称轴的方法

27



（
1
）
公
式
法：
b

4
ac

b
2

2
y

ax

bx

c

a

x
< br>

2
a

4
a

2
，< br>∴顶点
是
b
4
ac

b
2
b
（

，
）
，对称轴是直线
x


.
2
a
4
a
2
a

（
2
） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
式，得到顶点为
(
h
,k
)
，对称轴是直线
x
y

a

x< br>
h


k
的形
2

h
.

（
3
）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所 以对称
轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失
.
9.抛物线
y

ax
2

bx

c
中，
a
,
b
,
c
的作用

27



（
1
）
a
决定开口方向及开口大小，这与
y
ax
2
中的
a
完全一样
.
y
< br>ax
2

bx

c
的对

（
2
）
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位置
.
由于 抛物线
称轴是直线

b
b
，
故：
①
b
0
时，
对称轴为
y
轴；
②

0（即
a
、
b
同号）
2
a
a
b
时，对称轴在
y
轴左侧；③

0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右
a
x


侧
.

（
3
）
c
的大小决定抛物线

当
x
y

ax
2

bx

c
与
y
轴交点的位置
.

0
时，
y< br>
c
，
∴抛物线
y

ax
2
bx

c
与
y
轴有且只有一个交
27


点（
0
，
c
）
：


①
c
抛物线经过原点
;
②
c

0
,
与
y
轴交于正半轴；
③
c

0
,与
y

0
，
轴交于负半轴
.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.
如抛物线的对称轴在
则

y
轴右侧，
b

0
.
a
10.

几种特殊的二次函数的图像特征如下：






27


函数解析式

开口方向

当
a
对称轴

顶点坐标

y

ax
2

y

ax

k

2
y

a

x

h


2

0
时

x

0
（
y
轴）

（
0,0
）

(0,k)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
b
4
ac

b
2
(

2
a
，
4
a
)
开口向上

x

0
（
y
轴）

当
a

0
时

x

h

开口向下

y

a

x

h

k

2
x

h

x


b

2
a
y

a x
2

bx

c


27


11.
用待定系数法求二次函数的解析式


（
1
）一般式：
择一般式
.

（
2）顶点式：
y
y

ax
2

bx
< br>c
.
已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常选
a

x

h


k
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
.
2

（
3
）
交
点
式
：
已
知
图
像
与
x
轴
的
交
点
坐
标
x
1
、
x
2
，
通
常
选
用
交
点
式
：
y

a

x

x
1
x

x
2

.
12.
直线与抛物线的交点


（
1
）
y
轴与抛物线
y

ax
2

bx

c
得交点为
(0,
c
).
27



（
2
）与
y
轴平行的直线
x

h
与抛物线
y

ax
2

bx

c
有且只有一个交点
2
(
h
,
ah
< br>bh

c
).

（
3
）抛物线与
x
轴的交点


二次函数
y

ax
2

bx

c
的图像与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2< br>，
2
是对应一元二次方程
ax

bx

c< br>
0
的两个实数根
.
抛物线与
x
轴的交
点情 况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：


①有两个交点



0

抛物线与
x
轴相交；


②有一个交点（顶点在
x
轴上）



0

抛物线与
x
轴相切；


③没有交点



0

抛物线与
x
轴相 离
.

（
4
）平行于
x
轴的直线与抛物线的交点

27



同（
3
）一样可能有
0
个交点、
1< br>个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点
的纵坐标相等，设纵坐标为
k
，则横坐标是
ax
根
.

（
5
）
一
次
函
数
2

b x

c

k
的两个实数
y

kx

n

k

0

的
图
像
的
图
像
l
与
二
次
函
数
y

ax
2

bx

c

a
0

G
的
交
点
，
由
方
程组

y

kx

n
y

a x

bx

c
2
的解的数目来确定：
①方程组有两 组不同的解时

l
与
G
有两个交点
;
②方程组只 有一组解时

l
与
G
只有一个交点；③方程组
无解时

l
与
G
没有交点
.
27



（
6
）抛物线与
x
轴两交点之间的距离：若 抛物线
交点为
y

ax
2

bx

c
与
x
轴两
A

x
1
，
0
，
B

x
2
，
0

，由于
x
1
、
x
2
是方程
ax
2
bx

c

0
的两
个根，故

bc
x
1

x
2


,
x1

x
2

a
a
AB

x< br>1

x
2


x
1

x< br>2

2


x
1

x
2< br>
2

4
x
1
x
2

< br>
b
2
4
c



a
a< br>b
2

4
ac

a

a

考点
3.4
反比例函数知识点梳理二

1.


定义：形如
y
＝
k
（
k
为常数，
k≠0< br>）的函数称为反比例函数。其
x
是自变量，
y
x
是函数，自变 量
x
的取值是不等于
0
的一切实数。

27



说明：
1
）
y
的取值范围是一切非零的实数。



2
）反比例函数的解析式也可以写成

xy=k
；y

kx

1
；
y

k
1< br>（
k
为常数，
k≠0
）

x
2.

用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数
y
＝
k
只有一个待定系数，
因此只需要知道一组对应值，
就可
x
以求出< br>k
的值，从而确定其解析式。

3.

反比例函数的画法：





1
）列表；
2
）描点；
3
）连线





注：
（
1
）列表取值时，
x
≠
0
，因为
x
＝
0
函数无意义，为了使描出的点具有代表
性，可以“
0
”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互
为相反 数，这样也便于求
y
值

27


（
2
）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些 点，这样
便于连线，使画出的图象更精确

（
3
）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（
4
）由于
x
≠
0
，
k
≠
0
，所以
y
≠
0
，函数图象永远不会与
x
轴、< br>y
轴相交，只是无限
靠近两坐标轴

4.

图像： 反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是
中心对称图形。有两条对称轴：直 线
y=x
和

y=

－
x
；对称中心是：原
点




5.

性质：



27


反比例函数

y
＝
k
（
k
为常数，
k≠0
）

x
k
＜
0

k
＞
0

k
的取值

图像


性质

a)

b)

x
的取值范围是
x
≠
0
；
a)

y
的取值范围是
y
≠
0;

函数的图像两支分别< br>位于第二、第四象限，
在每个象限内
y
值随
x
值的增大而增大 。

b)

x
的取值范围是
x
≠
0
；
y
的取值范围是
y
≠
0;

函数的图像两支分 别
位于第一、第三象限，
在每个象限内
y
值随
x
值的增大而 减小。

27

受益无穷-

受益无穷-

受益无穷-

受益无穷-

受益无穷-

受益无穷-

受益无穷-

受益无穷-