克服困难-

2021年1月30日发(作者：梦想的窗)

初中数学知识点按章节汇总


第一章：实数

一、实数的分类：




正整数

< br>


整数
零





负整数

有限小数或无限循环小数

有理数

< br>





实数

正分数


分数





负分数






正无理数


无理数


无限不循环小数
负无理数



< br>
1
、有理数：任何一个有理数总可以写成
这是有理数的重要特征。

p
q
的形式，其中
p
、
q
是互质的整数，
2
、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如
2
、
3
4
；特定结构
sin
45
°
的不限环无限小数，
如
1 .101
……；
特定意义的数，
如
π
、
等。
3
、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结
论。

二、实数中的几个概念

1
、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（
1
）实数
a
的相反数是

-a
；


（
2
）
a
和
b
互为相反数

a+b=0
2
、倒数：
（
1）实数
a
（
a
≠
0
）的倒数是
注意
0
没有倒数

3
、绝对值：
（
1
）一个数
a
的绝对值有以下三种情况：

1
；
（
2
）
a
和
b
互为倒数< br>
ab

1
；
（
3
）
a


a
,

a


0
,


a
,

a

0
a

0

a

0
（
2
）实数的绝对值是一个非负数
,
从数轴上看
,
一个实数的绝对值
,
就是数轴上表
示这个 数的点到原点的距离

（
3
）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里 面的实数进行数性（正、
负）确认
,
再去掉绝对值符号

4
、
n
次方根

（
1
）平方根，算术平方 根：设
a
≥
0
，称

a
叫
a
的平 方根，
a
叫
a
的算术平
方根。

（
2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0
的平方根是
0
；负数没有平 方
根。

（
3
）立方根：
3
a
叫实数a
的立方根。

（
4
）一个正数有一个正的立方根；
0
的立方根是
0
；一个负数有一个负的立方
根。

三、实数与数轴

1
、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴 。原点、正方向、单
位长度是数轴的三要素。

2
、数轴上的点和实数的对应 关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一
个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴 上的点是一一对应的
关系。

四、实数大小的比较

1
、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。


2
、正数大于
0
；负数小于
0
；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而 小。

五、实数的运算

1
、加法：
（
1
）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

（
2
）
异号两数相加
,
取绝对值大的加数的符号
,
用较大的绝对值减去较小的绝对值
.
可用加法交换律、结合律

2
、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3
、乘法：（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
0
，积就为
0
； 若
n
个非
0
的实数相
乘，
积的符号由负因数的个数决定，< br>当负因数有偶数个时，
积为正；
当负因数为奇数个时，积为负。

（
3
）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：
（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（
2
）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（
3
）
0
除以任何数都等于
0
，
0
不能做被除数。

5
、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6
、实数的运算顺序： 乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一
级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左 到右依次运算，不同级的运算，
先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种 运算，
都要注意先定符号后运算。

六、有效数字和科学记数
法

1
、科学记数法：设
N
＞
0
，则
N= a
×
10
n
（其中
1
≤
a
＜
10
，
n
为整数）
。

2
、有效数字：一个近似数，从左边第一个 不是
0
的数，到精确到的数位为止，

所有的数字，
叫做这个数的有 效数字。
精确度的形式有两种：
（
1
）
精确到那一位；
（< br>2
）保留几个有效数字。

第二章：代数式

一、代数式

1
、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子， 叫代数式。
单独一个数或者一个字母也是代数式。

2
、代数式的值：用数值 代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式
的值。

3
、代数式的分类：




单项式
< br>
整式


有理式


多项式
< br>代数式




分式

无理式
< br>二、整式的有关概念及运算

1
、概念

（
1
）单项式：像
x
、
7
、
2
x
2
y
，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个
数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次
数。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

（
2
）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式 中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含
有几项，就叫几项式。

多项式的次数
:
多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次

数。不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从 小（大）到
大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排
列。
< br>（
3
）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同
类项 。

2
、运算

（
1
）整式的加减：
< br>合并同类项：
把同类项的系数相加，
所得结果作为系数，
字母及字母的指数不变。





去括号法则：括号前面是“
+
”号，把括号和它前面的“
+
”号去掉，括号
里各项都不变；括号前面是“ –”号，把括号和它前面的“–”号去掉，
括号里的各项都变号。





添括号法则：括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不变； 括号前面是
“–”号，括到括号里的各项都变号。





整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，
再合并同类项。




（
2
）整式的乘除：





幂的运算法则：其中
m
、
n
都是正整数





同底数幂相乘：
a
m

a
n

a
m

n
；同底数幂相除：
a
m
a
n

a
m

n
；幂的乘方：(
a
m
)
n

a
mn
积的乘方：(
ab
)
n

a
n
b
n
。< br>




单项式乘以单项式
：
用它们系数 的积作为积的系数，
对于相同的字母，
用它

们的指数的和作为这个字母的指 数；对于只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数作为积的一个因式。





单项式乘以多项式
：
就是用单项式去乘多项式的每一 项，
再把所得的积相加。





多项式乘以多 项式
：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加。





单项除单项式
：把系数，同底数幂分别相除，作为 商的因式，对于只在被除
式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。





多项式除以单项式
：
把这个多项式的每一项除以这个 单项，
再把所得的商相
加。





乘法公式
：





平方差公式
：
(
a

b
)(
a

b
)
a
2

b
2
；

完全平方公式：
(
a

b
)
2

a
2
2
ab

b
2
，
(
a
< br>b
)
2

a
2

2
ab

b
2

三、因式分解





1
、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。





2
、常用的因式分解方法：





（
1
）提取公因式法：
ma

mb< br>
mc

m
(
a

b

c
)





（
2
）运用公式法：

平方差公式：
a
2

b
2

(
a

b
)(
a

b
)
；

完全平方公式：
a
2
2
ab

b
2

(
a

b< br>)
2

（
3
）十字相乘法：
x
2

(
a

b
)
x

ab

(
x

a
)(
x

b
)

（
4
）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（
5
）运用求根公式法：若
ax
2

bx

c

0
(
a

0
)
的两个根是
x
1
、
x
2
，则有：


ax< br>2

bx

c

a
(
x

x
1
)(
x

x
2
)

3
、因式分解的一般步骤：

（
1
）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（
2
）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
< br>（
3
）
对二次三项式，
应先尝试用十字相乘法分解，
不行的再 用求根公式法。

（
4
）最后考虑用分组分解法。

四、分式





1
、分式定义：形如
A
的式子叫分式，
其中
A
、
B
是整式，且
B
中含有字母。

B




（
1
）分式无意义：
B=0
时，分式无意义；

B
≠
0
时，分式有意义。





（
2
）分式的值为
0
：
A=0
，
B
≠
0
时，分式的值等于
0
。





（
3
）
分式的约分：
把一个分式的分子与分母 的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。





（
4
）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式 时，叫做最简分式。分
式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。





（
5
）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分 式相等的同分母分式的
过程，叫做分式的通分。





（
6
）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。





（
7
）有理式：整式和分式统称有理式。





2
、分式的基本性质：





（
1
）
A
A

M
A
A

M

(
M
是

0
的整式
)
；
(
M
是

0
的整式< br>)

（
2
）

B
B

M< br>B
B

M




（
3< br>）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任
何两个，分式的值不变。< br>





3
、分式的运算：





（
1
）加、减：同分母的分式相加减，分 母不变，分子相加减；异分母的分
式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。





（
2
）乘：先对各分式的分子、分母因式 分解，约分后再分子乘以分子，分
母乘以分母。





（
3
）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。





（
4
）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

五、二次根式





1
、二次根式的 概念：式子
a
(
a

0
)
叫做二次根式。





（
1
）最简二次根式：被开方数的因数是 整数，因式是整式，被开方数中不
含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。





（
2
）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开 方数相同的二次根式，
叫做同类二次根式。





（
3
）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。





（
4
）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含
有二次根式，
我们就说这两个代数式互为有理化因式
（常用的有 理
化因式有：
a
与
a
；
a
b

c
d
与
a
b

c
d
）





2
、二次根式的性质：

a



（
1
）

(
a
)
2

a
(
a

0
)
；









（
2
）
a
2

a



(
a

0
)
；

(
a

0
)


a
（
3
）
ab

a

b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
；
（
4
）




3
、运算：

a

b
a
b
(a

0
,
b

0
)






（
1
）二次根式的加减：将各二次根式化 为最简二次根式后，合并同类二次
根式。





（
2
）二次根式的乘法：
a

b

ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
。




（
3
）二次根式的除法：
a
b

a
(
a

0
,
b

0
)
b



二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

第三章：方程和方程组

一、方程有关概念





1
、方程：含有未知数的等式叫做方程。





2
、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一
个未知数的方程的解也叫做方程的根。





3
、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。





4
、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的 增
根。





二、一元方程





1
、一元一次方程





（
1
）一元一次方程的标准形式：
ax+b=0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知
数，
a
≠
0
）





（
2
）一玩一次方程的最简形式：
ax=b
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
0
）





（
3
）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项和
系数化为
1
。





（
4
）一元一次方程有唯一的一个解。






2
、一元二次方程





（
1
）一元二次方程的一般形式：
ax
2
bx

c

0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
、
c
是已知数，
a
≠
0
）< br>




（
2
）一元二次方程的解法：

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法




< br>（
3
）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般
不用 配方法。





（
4
）一元二次方程 的根的判别式：


b
2

4
ac






当
Δ
＞
0
时

方程有两个不相等的实数根；





当
Δ
=0
时

方程有两个相等的实数根；





当
Δ
< 0
时

方程没有实数根，无解；





当
Δ
≥
0
时

方程有两个实数根





（
5
）一元二次方程根与系数的关系：





若
x
1
,
x
2
是一元二次方程
ax
2

bx

c

0
的两个根，那么：
x
1

x
2


x
1

x
2

c

a
b
，
a




（
6
）
以
两
个
数
x
1
,
x
2
为
根
的
一
元
二
次
方
程
（
二
次
项
系
数
为
1
）
是
：
x
2

(
x
1

x
2
)
x

x
1
x
2

0






三、分式方程





（
1
）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。





（
2
）分式方程的解法：










一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。










特殊方法：换元法。





（
3
）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母

不为
0
的就是原方程的根；
使得最简公分母为
0
的就是原方 程的增根，
增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。





四、方程组





1
、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。





2
、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组





3
、一次方程组：





（
1
）二元一次方程组：


a
x
b
1
y

c
1









一般形式：

1< br>（
a
1
,
a
2
,
b
1
,< br>b
2
,
c
1
,
c
2
不全为
0
）


a
2
x

b
2
y

c
2









解法：代入消远法和加减消元法










解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。





（
2
）三元一次方程组：










解法：代入消元法和加减消元法





4
、二元二次方程组：





（1
）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由
两个二元二次方程 组成的方程组叫做二元二次方程组。





（
2
）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方
程组。



第四章：列方程（组）解应用题

一、列方程（组）解应用题的一般步骤





1
、审题：






2
、设未知数；





3
、找出相等关系，列方程（组）
；





4
、解方程（组）
；





5
、检验，作答；





二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；





1
、工程问题





（
1
）基本工作量的关系：工作量
=
工作效率×工作时间





（
2
）常见的等量关系：甲的工作量+
乙的工作量
=
甲、乙合作的工作总量





（
3
）注意：工程问题常把总工程看作“
1
”
， 水池注水问题属于工程问题





2
、行程问题





（
1
）基本量之间的关系：路程
=
速度×时间





（
2
）常见等量关系：





相遇问题：甲走的路程
+
乙走的路程
=
全路程





追及问题（设甲速度快）
：










同时不同地：
甲 的时间
=
乙的时间；
甲走的路程–乙走的路程
=
原来甲、
乙 相距路程










同地不同时：甲的时间
=
乙的时间–时间差；甲的路程
=
乙的路程





3
、水中航行问题：

顺流速度
=
船在静水中的速度
+
水流速度；
[
来源
:
学科网
]
逆流速度
=
船在静水中的速度–水流速度

4
、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量
=
原来的量
+
增长的量；增长的量
=
原来的

量×（
1+
增长率）
；

5
、数字问题：

基本量之间的关系：三位数
=
个位上的数
+
十位上的数×
1 0+
百位上的
数×
100
三、列方程解应用题的常用方法

1
、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数
式，然后根据代数 之间的内在联系找出等量关系。

2
、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中 的数量关系，然后根据
线段长度的内在联系，找出等量关系。

3
、列表法： 就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之
间的关系。

4
、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系
更为直观，这种方法能帮助我们 更好地理解题意。

第五章：不等式及不等式组

一、不等式与不等式的性质





1
、
不等式：
表示不等关系的式子。
（表示不等关系的常用符号：
≠，
＜，
＞）
。





2
、不等式的性质：





（
l
）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如
a
＞

b, c
为实数

a
＋
c
＞
b
＋
c < br>（
2
）
不等式两边都乘以
（或除以）
同一个正数，
不 等号方向不变，
如
a
＞
b
，

c
＞
0

ac
＞
bc
。

（
3
）
不等式两边都乘以
（或除以）
同一个负数，
不等号 方向改变，
如
a
＞
b
，

c
＜
0

ac
＜
bc.




注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、
就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不
能像应用等式的性质那样随 便，以防出错。





3
、任意两个实数a
，
b
的大小关系（三种）
：

（
1
）
a
–

b
＞
0


a
＞
b




（
2
）
a
–

b=0

a=b




（
3
）
a
–
b
＜
0

a
＜
b




4
、
（
1
）
a
＞
b
＞
0

a

b





（
2
）
a
＞
b
＞
0

a
2

b
2





二、不等式（组）的解、解集、解不等式





1
、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组） 的
一个解。





不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。





不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。





2
．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）
。





三、不等式（组）的类型及解法





1
、一元一次不等式：





（
l
）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫
做一元一次不等式。





（
2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以
（或除以）一个负数时，不等 号方向要改变。






2
、一元一次不等式组：





（< br>l
）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫
做一元一次不等 式组。





（
2
）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。





注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

第六章：函数及其图像

一、平面直角坐标系

1
、平面内 有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平
面直角坐标系内的点和有序实数对之间建 立了—一对应的关系。





2
、不同位置点的坐标的特征：





（
1
）各象限内点的坐标有如下特征：








点
P
（
x, y
）
在第一象限

x
＞
0
，
y
＞
0
；




点
P
（
x, y
）
在第二象限

x
＜
0
，
y
＞
0
；








点
P
（
x, y
）
在第三象限

x
＜
0
，
y
＜
0
；





点
P
（
x, y
）
在第四象限

x
＞
0
，
y
＜
0
。





（
2
）坐标轴上的点有如下特征：







点
P
（
x, y
）在
x< br>轴上

y
为
0
，
x
为任意实数。

点
P
（
x
，
y
）在
y
轴上

x
为
0
，
y
为任意实数。





3
．点
P
（
x, y
）坐标的几何意义：




（
1
）点
P
（
x, y
）到
x
轴的距离是
| y |
；




（
2
）点
P
（
x, y
）到
y
袖的距离是
| x |
；




（
3
）点
P
（
x, y
）到原点的距离是
x
2

y
2






4
．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：





（
1
）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P
1
(
a
,

b
)
；





（
2
）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P
2
(

a
,
b
)
；





（
3
）点
P
（
a, b
）关于原点的对称点是P
3
(

a
,

b
)
；




二、函数的概念





1
、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持 数
值不变的量叫做常量。





2
、 函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量
x
和
y
，如果对于
x
的
每一个值，
y
都有唯一的值与它对应，那么就说
x
是自变 量，
y
是
x
的函数。




（
1
）自变量取值范围的确是：






①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。





②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，
自变 量取值范围是使分母不为
0
的实数。




< br>③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函
数，自变量取值范围是使被
开方数非负的实 数。





注意：
在确定函数中自变量的取值 范围时，
如果遇到实际问题，
还必须使实
际问题有意义。





（
2
）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。





（
3
）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法





（
4
）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是： ①列表；②描点；③连
线




三、几种特殊的函数





1
、一次函数

直线位置与
k
，
b
的关系：




（
1
）
k
＞
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的夹角为锐角；




（
2
）
k
＜
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成 的夹角为钝角；

（
3
）
b
＞
0
直线与< br>y
轴交点在
x
轴的上方；

（
4
）
b
＝
0
直线过原点；

（
5
）
b
＜
0
直线与
y
轴交点在
x
轴的下方；


2
、二次函数







抛物线位置与
a
，
b
，
c
的关系：


a

0

开口向上



（
1
）
a
决定抛物线的开口方向



a

0

开口向下



（
2
）
c
决定抛物线与
y
轴交点的位置：





c>0

图像与
y
轴交 点在
x
轴上方；
c=0

图像过原点；
c<0
< br>图像与
y
轴交点在
x
轴下方；




（
3
）
a
，
b
决定抛物线对称轴的位置 ：
a
，
b
同号，对称轴在
y
轴左侧；
b
＝
0
，对称轴是
y
轴；

a
，
b
异号。对称轴在
y
轴右侧；

3
、反比例函数：





4
、正比例函数与反比例函数的对照表：



第七章：统计初步

一、总体和样本：





在统计时，
我们把所要考察的对象的全体叫做总体，
其中每一考察对象叫做
个体。
从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，
样本中个体的数目
叫 做样本容量。





二、反映数据集中趋势的特征数





1
、平均数





（
1）
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
的平均数，
x

1
(
x
1

x
2



x
n
)


n




（
2
）加权平均数：如果
n
个数据中，
x
1
出现
f
1
次，
x
2
出现
f
2
次，……，
x
k
出现
f
k
次（这里
f
1

f
2



f
k

n
）
，则
x





（
3
）平均数的简化计算：









当一组数据
x
1
,
x< br>2
,
x
3
,

,
x
n
中各 数据的数值较大，并且都与常数
a
接近
时，设
x
1

a
,
x
2

a
,
x
3

a
,

,
x
n

a
的平均数为
x
'
则：
x

x
'

a
。





2
、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排 列，处在最中间位置上的数据
叫做这组数据的中位数，
如果数据的个数为偶数中位数就是处在中 间
位置上两个数据的平均数。





3
、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组
1
(
x1
f
1

x
2
f
2


x
k
f
k
)

n

数据的众数可能不止一个。





三、反映数据波动大小的特征数：





1
、方差：

(
x
1

x
)2

(
x
2

x
)
2


(
x
n

x
)
2




（
l
）
x
1
,
x
2
,
x
3
,

,
x
n
的 方差，

S


n
2
2
x
x



x
n



（
2
）
简化计算公式：
S

1
2
< br>x
（
x
1
,
x
2
,
x
3< br>,

,
x
n
为较小整数时用
n
2
2
2
2
这个公式要比较方便




（
3
）
记
x
1
,
x
2
,x
3
,

,
x
n
的
方
差为
S
2
，
设
a
为
常
数
，x
1

a
,
x
2

a
,x
3

a
,

,
x
n
a
的方差为
S
`
2
，则
S
2
=
S
`
2
。









注：当
x
1
,
x
2
,
x
3
,

,
x
n
各数据较大而常数< br>a
较接近时，用该法计算方差
较简便。





2
、标准差：方差（
S
2
）的算术平方根叫做标准差（< br>S
）
。





注：通常由方差求标准差。





四、频率分布





1
、有关概念





（
1< br>）
分组：
将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，
当数据在
1 00
个以内时，通常分成
5
－
12
组。





（
2
）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频 数。各个小组的频数之
和等于数据总数
n
。





（
3
）频率：每个小组的频数与数据总数
n
的比值叫做这 一小组的频率，各
小组频率之和为
l
。





（
4
）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表

格叫做频率分布表。





（
5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分
点为横坐标，以频率除以组距 为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。





图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。





每个小长方形的面积等于该组的频率。





所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于
1
。





样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量
n
的比 例的大小，
总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，
一般是
用样本的频率分布去估计总体的频率分布。





2< br>、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数
据，后画出频率分布直方 图，其步骤是：
（
1
）计算最大值与最小值的差；
（
2
）决 定组距与组数；
（
3
）决定分点；
（
4
）列领率分布表；< br>





（
5
）
绘频率分布直方图。

第八章：相交线与平行线

一、知识框架



二、知识概念

1.
邻补角
：两条直线相交所构成的四个角中，有公 共顶点且有一条公共边的两个
角是邻补角。

2
.
对顶角
：
一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，
像这样的两个角
互为对顶角。
3.
垂线
：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线 。

4.
平行线
：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.
同位角、内错角、同旁内角：

同位角：
∠
1
与∠
5
像这样具有相同位置关系的一对
角叫做同位角。

内错角：∠
2
与∠
6
像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠
2
与∠
5
像这样的一对角叫做同旁内角。

6.
命题
：判断一件事情的语句叫命题。

7.
平移
：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动









叫做平移平移变换，简称平移。




8.
对应 点
：
平移后得到的新图形中每一点
,
都是由原图形中的某一点移动后得到的< br>,
这样的两个点叫做对应点

9.
定理




①

过两点有且只有一条直线


②两点之间线段最短


③

同角或等角的补角相等


④

同角或等角的余角相等


⑤对顶角的性质：对顶角相等。

克服困难-

克服困难-

克服困难-

克服困难-

克服困难-

克服困难-

克服困难-

克服困难-