初中数学三角函数知识点大全
巡山小妖精
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2021年01月30日 08:20
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第
10
关
锐角三角函数（讲义部分）
知识点
1
锐角三角函数
1.
锐角三角函数
如下图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C
为直角，则∠
A
的锐角三角函数为
(
∠
A
可换成∠
B)
：
正
弦
余
弦
定
义
表达式
取值范围
关
系
sin
A
A
的对边
a
sin
A
斜边
c
A
的邻边
b
cos
A
斜边
c
0
sin
A
1
(
∠
A
为锐角
)
sin
A
cos
B
cos
A
sin
B
sin
2
A
cos
2
A
1
cos
A
0
cos
A
1
(
∠
A
为锐角
)
正
切
tan
A
A
的对边
a
tan
A
A
的邻边
b
tan
A
0
(
∠
A
为锐角
)
题型
1
锐角三角函数
【例
1
】
在
ABC
中，
C
90
，
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．
（
1
）若
a
3
，
b
4
，则
tan
A
；
（
2
）若
b
21
，
c
29
，则
tan
A
；
（
3
）若
a
< br>2
，
b
6
，则
tan
A
；
（
4
）若
a
9
，
c
15
，则
tan
A
．
【解答】
解：
（
1
）若< br>a
3
，
b
4
，则
tan
A
3
；
4
20
；
21< br>（
2
）若
b
21
，
c
29
，则
a
29
29
2
21
2
20
，
tan
A
（
3
）若
a
2
，
b
6
，则
tanA
1
；
3
（
4
）若
a< br>
9
，
c
15
，则
b
15
2
9
2
12
，
tan
A
故答案为：
3
．
4
3
20
1
3
，
，
，
．
4
21
3
4
【点评】
考查了锐角三角函数的定义，求锐角的 三角函数值的方法：
利用勾股定理求得三边，
根
据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．
【例
2
】
如图，在
Rt
ABC
中，斜边
AB
的长为< br>m
，
A
35
，则直角边
BC
的长是
(
)
A
．
m
sin35
B
．
m
cos35
C
．
m
sin35
D
．
m
cos35
1
【解答】
解：
sin
A
BC
，
AB
Q
AB
m
，
A
< br>35
，
BC
m
sin35
，
故选：
A
．
【点评】
此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
【例
3
】
如图，在
4
4
的正方形方格图形中，小 正方形的顶点称为格点，
ABC
的顶点都在格
点上，则
BAC
的余弦值是
．
【解答】
解：
Q
AB
3
2
4
2
25
、
AC
2
2
2
4< br>2
20
、
BC
2
1
2
2
2
5
，
2
AC
2
BC
2
AB
2
，
ABC
为直角三角形，且
ACB
90
，
AC
2
5
则
cos
BAC
，
AB
5
2
5
故答案为：
．
5
【点评】
本题考查的是锐角三角函数的定义，
熟知在一个三角形中，
如果两条 边长的平方之和等
于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
【 例
4
】
将
BAC
放置在
5
5
的正方形网格中，
顶点
A
在格点上．
则
sin
< br>BAC
的值为
．
【解答】
解：如图所示：连接
BC
，
Q
AB
BC
10
，
AC
2
5
，
AB
2
BC
2
AC< br>2
，
ABC
90
，
B AC
ACB
45
，
2
．
sin
BAC
2< br>2
故答案为：
．
2
【点评】
此题主要考 查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
2
3
，则斜边
AB
边上的高
CD
的长为
5
【例
5
】
在
Rt
ABC< br>中，
C
90
，若
AB
4
，
sin
A
【解答】
解：作
CD
AB
于
D
，如图，
在
Rt
ACB
中，
Q
sin
A
BC
3
，
AB
5
3
12
BC
4
，
5
5
AC
AB
2
BC
2
Q
16
，< br>
5
1
1
CD
g
AB
AC
g
BC
，
2
2
16
12
5
5
48
，
CD
4
25
48
即斜边上的高为
．
25
48
故答案为：
．
25
【点评】
本 题考查了解直角三角形：
在直角三角形中，
由已知元素求未知元素的过程就是解直角
三角形．
【例
6
】
矩形
A BCD
中
AB
10
，
BC
8
，
E
为
AD
边上一点，
沿
CE
将
CDE
对折，
使点
D
正
好落在
AB
边上，求tan
AFE
．
【解答】
解：根据图形 有：
AFE
EFC
BFC
180
，
根据折叠的性质，
EFC< br>
EDC
90
，
即
AFE
BFC
90
，
而
Rt
BCF
中，有
BCF
< br>
BFC
90
，
易得
AFE
BCF
，
在
Rt
BFC
，
根据折叠的性质，有
CF
CD
，
在
R t
BFC
中，
BC
8
，
CF
CD
10
，
由勾股定理易得：
BF
6
，
则
tan
BCF
3
；
4< br>故有
tan
AFE
tan
BCF
答：
tan
AFE
3
；
4
3
．
4
【点评】
本题考查折叠的性质，注意在 折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变
化前后的关系．
3
a
b
，
cos
A
，
c
c
c
，【例
7
】
如图，
在
Rt
ABC
中，
则
sin
A
b
、
BC
、
AC< br>、
AB
三边的长分别为
a
、
tan
A
a
．我们不难发现：
sin
2
60
cos
2
60
1
，
试探求
sin
A
、
cos
A
、
tan
A
之间存
b
在的一般关系，并说明理由．
【解答】
解：存在的一般关系有：
（
1
）
sin
2
A
cos
2
A
1
；
sin
A
．
cos
A
a
b
证明：
（
1
）
Q
sin
A
，
c os
A
，
c
c
a
2
b
2
c
2
，
a
2
b
2
a
2
b
2
c
2
2
2
sin
A
cos
A
2
2
2
1
．
c
c
c
2
c
a
b
（
2
）
Q
sinA
，
cos
A
，
c
c
a
a
tan
A
c
，
b
b
c
sin
A
．
co s
A
（
2
）
tan
A
【点评】
本题通过利用勾股定理和锐角三角函数的概念来对锐角的一般关系：
（
1
）
sin
2
A
cos
2
A
1< br>；
（
2
）
tan
A
sin
A的证明推导．
cos
A
知识点
2 0
° 、
30
°、
45
°、
60
°、
90
°特殊 角的三角函数值
(
重要
)
三角函数
0
°
0
1
0
30
°
1
2
3
2
3
3
45
°
2
2
2
2
60
°
3
2
1
2
90
°
1
0
-
sin
cos
tan
1
3
题型
2
特殊角的三角函数值
【例
8
】
计算或化简
（
1
）
s in45
g
cos60
cos45
g
sin30
；
（
2
）
5tan3 0
2(cos60
sin60
)
；
4
3
tan30
)
2005
g
(22
sin
45
)
2004
；
2< br>（
4
）
2(2cos
45
tan
45
)
(tan
60
sin< br>30
)
0
(2sin
45
1)
1
．
（
3
）
(
【解答】
解：
（
1
）原式
2
1
2
1
0
；
2
2
2
2
3
1
3
（
2
）原式
5< br>
2(
)
3
2
2
5
3
1
3
2
3
2
5
3
1
3
3
8
3
3
；
3
3
3
2
2004
（
3
）原式
(
)
2005
g
(2
2
< br>)
2
3
2
1
1
1
(< br>)
2005
g
（
2
）
2004
(
)
2004
g
2
2004
g
2
2
2
1
；
2
2
1
2
（
4
）原式
2(2
1)
(
3
)0
(2
1)
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
(
2
1)
2
2
．
【点评】
本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
1
【例
9
】
在直角三角形中
sin
A< br>的值为
，则
cos
A
的值等于
(
)
2
2
3
1
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
2
2
1
【解答】
解：
Q
在直角三角形中
sin
A
的值为
，
2
A
30
．
3
．
cos
A
cos30
2
故选：
C
．
【点评】
本题考查了 特殊角的三角函数值．掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
3
【 例
10
】
已知
为锐角，且
sin(
10
)
，则
等于
(
)
2
A
．
70
B
．
60
C
．
50
D
．
30
3
【解答】
解：
Q
sin(
10
)
，
< br>2
10
60
，
70
．故选：
A
．
< br>【点评】
此题考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握
30
、
45
、
60
角的各种三角函数值．
5