初三数学二次函数知识点汇总
余年寄山水
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2021年01月30日 08:22
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★二次函数知识点汇总★
1.
定义：一般地，如果
y
< br>ax
bx
c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数
.
2.
二次函数
y
ax
的性质
(1)< br>抛物线
y
ax
（
a
0
）
的顶点是坐标原点，对称轴是
y
轴
.(2)
函数
y
ax
的图像与
a
的符号关系
.
①当
a
0
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点；②当
a
0
时
抛物线开口向下
顶点为其最高点
3.
二次函数
y
ax
bx
c
的图像是对称轴平行于
(
包括重合
)
y
轴的抛 物线
.
2
2
b
4
ac
b
2
.
y
a
x
h
k
y
ax
bx
c
，
k
< br>4.
二次函数
用配方法可化成：
的形式，其中
h
2
2
2
2
2
2
a
4
a
5 .
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
y
ax
；②
y
ax
k
；③
y
a
x
h
；④
y
a
x
h
k
；⑤
y
ax
bx
c
.
6.
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.
①
a
决定抛物线的开口方向：
2
2
2
2
2
当
a
0
时，开口向上；当
a
0
时，开口向下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
②平 行于
y
轴
(
或重合
)
的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作直线
x
0
.
7.
顶点决定抛物线的位置
.
几个不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同
.
8.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
b
2
（
，
）
(1)
公式法：
y
ax
bx
c
a
x
，∴顶点是
，对称轴是直线
x
. < br>
2
a
4
a
2
a
2
a< br>
4
a
2
(2)
配方法：运用配方法将抛物线的解 析式化为
y
a
x
h
< br>k
的形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
，对称轴 是
x
h
.
(3)
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以 对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是
抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是 顶点
.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.
抛物线
y
ax
bx
c
中，
a
,
b
,
c
的作用
(1)
a
决定开口方向及开口大小，这与
y
ax
中的
a
完全一样
.
2
(2)
b
和
a
共同决定抛 物线对称轴的位置
.
由于抛物线
y
ax
bx< br>
c
的对称轴是直线
x
b
,
故 ：
2
2
2
2
a
①
b
0
时，对称轴为
y
轴；②
b
0
(
即a
、
b
同号
)
时
,
对称轴在
y
轴左侧；
a
③
b
0
(
即
a
、
b
异号
)
时
,
对称轴在
y
轴右 侧
.
a
(3)
c
的大小决定抛物线
y
ax
bx
c
与
y
轴交点的位置
. < br>当
x
0
时，
y
c
，∴抛物线< br>y
ax
bx
c
与
y
轴有且只有一个交点
(0
，
c
)
：
①
c
0
，抛物线经过原点
;
②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；③
c
0
,
与
y
轴交于负半轴
.
以上三点中，当结论和条件互换时 ，仍成立
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，则
b
0
.
a
10.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
x
0
(
y
轴
)
y
ax
2
(0,0)
2
2
y
ax
2
k
y
a
x
h
2
y
a
x
h
k
2
当
a
0
时
开口向上
当
a
0
时
开口向下
x
0
(
y
轴
)
x
h
x
h
b
x
2
a
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y
ax
bx
c
2
b
4
ac
b
2
，
(
)
2
a
4
a