民主生活会发言提纲-

2021年1月30日发(作者：发热的症状)
北师大版初中数学九年级
(
下册
)
知识点汇总

第一章


直角三角形边的关系

※一
.
正切：

定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
的正切
，记作
tanA
，即
．．
tan
A


A
的对边
;

A
的邻边
①
tanA
是一个完整的符号，
它表示∠
A
的正切，
记号里习惯省去角的符号
“
∠
”
；

②
tanA
没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠
A
的对边 与邻边的比；

③
tanA
不表示
“tan”
乘以
“A”
；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠
A
是锐角的正切；

⑤
tanA
的值越大，梯子越陡，∠
A
越大；

∠
A
越大，梯子越陡，
tanA
的值越
大。

※二
.
正弦
：

．．
定义：
在
Rt
△
ABC
中，
锐角∠
A
的对边与斜边的比叫做∠
A
的正弦，
记作
sinA
，
即
sin
A


A
的对边
;
斜边
※三
.
余弦：

定义：
在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与斜边的比叫做∠
A
的余弦，
记作
co sA
，
即
cos
A


A
的邻边
;
斜边
※余切：

定义：
在
Rt
△
AB C
中，
锐角∠
A
的邻边与对边的比叫做∠
A
的余切，
记作
cotA
，
即
cot
A


A的邻边
;

A
的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分 别等于它的余角的余弦、正弦、余切、
正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。 同样，也称正切、余切互为余函数，可以
概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表 达：若∠
A
为
锐角，则


0
º

30
º

45
º

60
º

90
º

①
sin
A

cos(
90



A
)
；

cos
A

sin(
90



A
)

sin
α

cos
α

tan
α

cot
α

0
1
0
—

1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
1
1
3

2
1

2
1
0
—

0
②
tan
A

cot(
90



A
)
；

cot
A< br>
tan(
90



A
)

※当从低处观测高处的目标时，视
线与水平线

3

3

3
3

1
/
11
所成的锐角称为仰角

．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成

的锐角称为俯角

．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，
(1)
当

角度在
0
°～
90
°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大
(< br>或减小
)
而增大
(
或减小
)
；余
弦值、余切 值随着角度的增大
(
或减小
)
而减小
(
或增大
)< br>。
(2)0
≤
sin
α≤
1
，
0
≤
cos
α≤
1
。

※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：
tg
α·
ctg
α
=1
。




图
1
※在直角三角形中，
除直角外，一共有五个元素，
即三条边和二个锐角。由直角三角形中除
直角外的已知元素，求出所有未 知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎在△
ABC
中，∠
C
为直角，∠
A
、∠
B
、∠
C
所对的边分别为
a< br>、
b
、
c
，则有


(1)
三边之 间的关系：
a
2
+b
2
=c
2
；

(2)
两锐角的关系：∠
A
＋∠
B=90
°；


(3)
边与角之间的关系：

a
sin
A

,
c
b
sin
B

,
c
b< br>cos
A

,
c
a
cos
B
,
c
a
tan
A

,
b
b
t an
B

,
a
b
cot
A

;< br>
a
a
cot
B

;

b
1
1
ab

chc
(hc
为
C
边上的高< br>);

2
2
a

b

c
(5)
直角三角形的内切圆半径
r


2
1

(6)
直角三角形的外接圆半径
R

c

2
(4)
面积公式
:
S


◎解直角三角形的几种基本类型 列表如下：

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：













B
i=h:l
h
C
A
l
图
2



2
/
11
图
3
图
4
※

如图
2
，坡面与水平面的夹角叫做坡角

(
或叫做坡比)
。用字母
i
表示，即
．．
．．
h

tan
A

l
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，
叫做方位角
。
如图
3
，
OA
、
．．．
i< br>
OB
、
OC
的方位角分别为
45
°、
13 5
°、
225
°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于< br>90
°的水平角，叫做方向角
。如
．．．
图
4
，OA
、
OB
、
OC
、
OD
的方向角分别是；北 偏东
30
°，南偏东
45
°
(
东南方
向
)
、南偏西为
60
°，北偏西
60
°。


第二章


二次函数

※二次函数的概念：
形如< br>y

ax

bx

c
(
a
、、b、
是常数
，a

0
)
的函数，
叫做
x
的二次
．．
函数
。自变量的取值范围是全体实数。







y

ax
(
a

0
)
是二次函数的特例，此时
．．
常数
b=c =0.
※在写二次函数的关系式时，
一定要寻找两个变量之间的等量关系，
列出相应 的函数关系式，
并确定自变量的取值范围
。

．．．．．．．．
※二 次函数
y
＝
ax
2
的图象是一条顶点在原点关于
y
轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线
。

．．．
描述抛物线常从开口方向、对 称性、
y
随
x
的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物
线与< br>x
轴的交点等方面来描述。

2
2
①函数的定义域是全体实数；

②抛物线的顶点在
(0
，
0)
，对称轴是
y
轴
(
或称直线
x＝
0)
。

③当
a
＞
0
时，抛物线开 口向上，并且向上方无限伸展。当
a
＜
0
时，抛物线
开口向下，并且 向下方无限伸展。

④函数的增减性：

;

x

0
时
,
y
随
x
增大而减小
A
、当
a
＞
0
时













B
、当
a
＜
0
时
x

0
时
,
y
随
x
增大而增大
.

;

x

0
时
,
y
随
x
增大而增大


.< br>
x

0
时
,
y
随
x
增大 而减小

⑤当｜
a
｜越大，抛物线开口越小；当｜
a
｜越小 ，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当
a
＞
0
，且
x
＝
0
时函数有最小值，最小值是
0
；当
a
＜
0
，且
x
＝
0
时
函数有最大值，最大值是0
．

※二次函数
y

ax

c的图象是一条顶点在
y
轴上且与
y
轴对称的抛物线

2
※二次函数
y

ax
2

bx

c
的图象是以
x


b
b
为对称轴，顶点在（
，
2
a
2
a
4
ac

b< br>2
）的抛物线。（开口方向和大小由
a
来决定）

4
a
3
/
11
※
|a|
的越大，抛 物线的开口程度越小，
越靠近对称轴
y
轴，
y
随
x
增长（或下降）
速度越快；
|a|
的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y
轴，
y
随
x
增
长（或下降）速度越慢。
< br>※二次函数
y

ax
2

c
的图象中，a
的符号决定抛物线的开口方向，
|a|
决定抛物
线的开口程度大小，< br>c
决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

※二次函数
y
ax
2

bx

c
的图象与
y＝
ax
2
的图象的关系：


y

a x
2

bx

c
的图象可以由
y
＝
ax
2
的图象平移得到，其步骤如下：




①将
y

ax
2

bx

c
配方 成
y

a
(
x

h
)
2

k
的形式；（其中
h=

4
ac

b< br>2
k=
）；

4
a
b
，
2
a
②把抛物线
y

ax
2
向右（
h>0
） 或向左（
h<0
）平移
|h|
个单位，得到
y=a(x-h)
2
的
图象；

③再把抛物线
y

a
(< br>x

h
)
2
向上（
k>0
）或向下（
k<0
）平移
| k|
个单位，便得到
y

a
(
x

h
)
2

k
的图象。
※二次函数
y

ax
2

bx

c< br>的性质：

b
2
4
ac

b
2二次函数
y

ax

bx

c
配方成
y

a
(
x

)

则抛物线的< br>
2
a
4
a
2
①对称轴：
x
=
2
b

























②顶点坐标：
（

b
，
4
ac

b
）

2
a
4
a
2
a
③增减性：

若
a>0
，则当
x<

随
x
的增大而增大。

．．．．．．
若
a<0
，则当
x<

随
x
的增大而减小。

．．．．．．
b
b
时，
y
随
x
的增大而减小
；当
x>
时，
y

． ．．．．
2
a
2
a
b
b
时，
y
随
x
的增大而增大
；当
x>
时，
y

．．． ．．
2
a
2
a
4
ac

b
2b
b
④最值：若
a>0
，则当
x=

时，y
最小

；若
a<0
，则当
x=

时 ，
4
a
2
a
2
a
y
最大
4
ac

b
2


4
a
※画二次函数y

ax
2

bx

c
的图象：
4
/
11


我们可以利用它与函数
y

ax
2
的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用
简化了的描 点法
----
五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

2
b


①先找出顶点（

b
，
4
ac

b
）
，画出对称轴
x=

；
2
a
4
a
2
a
②找出图象上关于直线
x=

b
对称的四个点（如与坐标的交点等）
；

2
a
③把上述五点连成光滑的曲线。

¤二次函数的最大值或最小值 可以通过将解析式配成
y=a(x-h)
2
+k
的形式求得，
也可以 借助图象观察。

¤解决最大（小）值问题的基本思路是：



①理解问题；

②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；

③用数学的方式表示它们之间的关系；

④做数学求解；

⑤检验结果的合理性、拓展性等。

※二次函数
y

ax< br>2

bx

c
的图象
(
抛物线
)< br>与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
，
x
2是
对应一元二次方程
ax
2

bx

c

0
的两个实数根

※抛物线与
x
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：



b
2

4
ac
>0
<===>
抛物线与
x
轴有
2
个交点；



b
2

4
ac
=0
<===>
抛物线与
x
轴有
1
个交点；


b
2

4
ac
<0
<===>
抛物线与
x
轴有
0
个交点（无交点）；

※当b
2

4
ac
>0
时，设抛物线与
x
轴的两个交点为
A
、
B
，则这两个点之间的距
离：

|
AB
|

|
x
1

x
2|

(
x
2

x
1
)
2
(
x
1

x
2
)
2
4
x
1
x
2

b
2

4ac
2
化简后即为：
|
AB
|

(
b

4
ac

0
)
------
这就是 抛物线与
x
轴的两
|
a
|
交点之间的距离公式。

第三章


圆

一
.
车轮为什么做成圆形

※
1.
圆的定义：



描述性定义：
在一个平面内，
线段
OA
绕它固定的一个端 点
O
旋转一周，
另
一个端点
A
随之旋转所形成的圆形叫做圆
；固定的端点
O
叫
．
做圆心
；线段
OA
叫 做半径
；以点
O
为圆心的圆，记作⊙
O
，
．．
．．
读作“圆
O
”

5
/
11

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