采蘑菇的小姑娘简谱-

2021年1月30日发(作者：音乐会礼仪)

第二十一章

二次根式


1.
二次根式：式子

(a
≥
0)
叫做二次根式。



2.
最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；



（
1
）被开方数的因数是整数，因式是整式；



（
2
）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如

不是最简二次根式，因被开方数中含有
4
是可开
得尽方的因数，又如

，

，

..........
都不是最简二次根式，而

，

，
5
，

都是最简二次根式。




3.
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二
次根式。
如

2
。




4.
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有 二次根式，则说这两个代数式互为有
理化因式。如

与

，
a+
与
a-
，

-
与

+
，互为有理化因式。

,
,
就是同类二次根式，
因为

=2
，

=3
，
它们与

的被开方数均为


二次根式的性质：



1.
(
a
≥
0)
是一个非负数
,
即

≥
0;
)
2
=a(a
≥
0)
；



2.
非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：
(


3.
某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即

=|a|=
=

²

（
a
≥
0,b
≥
0
）。



4.
非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即



5.
非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平 方根，
即

21.2
二次根式的乘除

1.
二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
=
（
a
≥
0,b>0
）
。

（
≥
0
，
≥
0
）。

说明：（< br>1
）法则中
、
可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，
、
都是非负数；

（
2
）
（
≥
0
，
≥
0
）可以推广为
（
≥
0
，
≥
0
，
≥
0
，
≥
0
）。

（
≥
0
，
≥
0
）；

（
3
）等式
（
≥
0
，
≥
0
）也可以倒过来使 用，即
（
≥
0
，
≥
0
）。也
称“积的算术 平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。

2.
二次根式的除法

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
因此
＞
0
；


1
（
≥
0
，
＞
0
）。

说明：（
1
）法则中
、
可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围 ，
≥
0
，
在分母中，

（
2
）
（
≥
0
，
＞
0
）可以推广为
（
≥
0
，
＞
0
，
≠
0
）；

（
3
）等式
（
≥
0
，
＞
0
）也可以倒过来使 用，即
（
≥
0
，
＞
0
）。也称“商的
算术 平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。

3.
最简二次根式

（
1
）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；

（
2
）被开方数中不含分母。

21.3
二次根式的加减


1.
同类二次根式


注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们
的被开方数是否相同。


（
2
）合并同类二次根式 ：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被
开方数不变。

2.
二次根式的加减


（
1
） 二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。


（
2
）
二次根式的加减法与多项式的加减法类似，
首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，
同类二次根式相当于同类项。


一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：

i
）将每一个二次根式都化简成最简二次根式

ii
）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组

iii
）合并同类二次根式

3.
二次根式的混合运算


二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二 次根式的混合运算
时应注意以下几点：


（
1
）观 察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘
除，最 后加减，有括号先算括号内的。


（
2
）在运算过程中，每 个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项
式”。


（
3
）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实 数和整式中的运算律和运算性质，在二
次根式的运算中都可以应用。

4.
分母有理化


（
1
）我们在前面的学习中研究了分母形如


综合起来，常见的有理化因式有：①

的有理化因式为



（
2
）
分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，
将 分母中的根号去掉的过程，
混合运算中
进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进 行的。

第二十二章

一元二次方程

22.1
一元二次方程

在一个等式中
，只含有一个未知数，且未知数
的 最高次数是
2
次的整式方程
叫做一元二次方程。

22.2
降次——解一元二次方程


2
形式的分式的分母有理化

，②

，⑤

的有理化因式为

，③

的有理化因式为

，④

的有理化因式为

的有理化因式为




解一元
二次方程的基本思想方法是通过
“降次”将它化为两个 一元一
次方程。
一元二次方程有四种
解法：

1
、直接开平方法：

用直接开平方
法解形如
(x-
m)2=n (n≥0)的方程，其解为
x=± m.

2
、配方法

1.
转化：

2.
系数化
3.
移项：

4.
配方：

5.
变形：
6.
开方：

3
、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac
的值，当
b2-
4ac≥0
时，把各项系数
a, b, c
的值代入求根公式
x=(b2-
4ac≥0)
就可得到方程的根。


因式分解法：
把方程变形为一边是零，把另一
边的二次三项式分解成两个一
次因式的积的形式，
让两个一次因
式分别等于零，得到两个一元一
次方程，解 这两个一元一次方
程所得到的根，就是原方程
的两个根。这
种解一元二次方程的方法叫 做因
式分解法。

22.3
实际问题与一元二次方程


列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展

从列方程解应用题 的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，
由于一元一次方程 未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算
术方法就很困 难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平
均增长率 问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．

第二十三章

旋转

23.1
图形的旋转

1.
图形的旋转

（
1
）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个 方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图
形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称 为旋转角。

（
2
）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动 ，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风
车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案 ，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

（
3
）图形的旋转不改变图形的 大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上
也可以在图形外。

（
4
）会找对应点，对应线段和对应角。

2.
旋转的基本特征：

（
1
）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋 转中心旋转了同样大小的角度。

（
2
）图形在旋转时，对应点到旋转中心的 距离相等，对应线段相等，对应角相等；

（
3
）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。

3.
几点说明：

旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上 ，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪
一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点 就是旋转中心。

23.2
中心对称

中心对称：把一个图形 绕着某一点旋转
180°，假如它能够与另一个图形重合，那么这个图形关于这个点
对称或中心 对称。

中心对称的性质：
①关于中心对称的刘遇图形，
对应点所连线段都 经过对称中心，
而且被对称中心所平分。
②关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这
个图形叫做中心对称图形。

对称点的坐标规律：①关于
x
轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，

②关于
y
轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，

③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。

第二十四章

圆第三章

圆


3

1
、定 义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，

圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点）
，二是半径（即定长）
。
< br>2
、点与圆的
位置关系及其数量特征
：如果圆的半径为
r
，点 到圆心的距离为
d
，则：

①点在圆上
<===>d=r
； ②点在圆内
<===>d；③点在圆外
<===>d>r
。
（< br>P56-5
，
6
、
P58-16
）

证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。

3
、圆是轴 对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

直径所 在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
（
P58-4
、
P59-9、
P61-3
、
P63-16
、
P65-15
）

4
、与圆相关的概念：

①弦和直径。
弦
：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径
：经过圆心的弦叫做直径。

②圆弧、半圆、优弧、劣弧。
< br>圆弧
：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号
“
⌒
”
表示，

半圆
：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧
：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧
：小于半圆的弧叫做劣弧。< br>(
为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)
③
弓形
：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④
同心圆
：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤
等圆
：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥
等弧
：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆 心角。⑦
弦心距
：
从圆心到弦的距离叫做弦心距。

5
、< br>垂径定理
：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论
：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说 明：
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，
如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

6
、
定理
：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心 距相等。

推论
：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

7
、
1°
的弧的概念
：把顶点在圆心的周角等分成
360
份时，每一 份的角都是
1°
的圆心角，相应的整个圆也被等分
成
360
份，每一 份同样的弧叫
1°
弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

8
、
圆周角
的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。

圆周角定理
：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论
1
：

同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；

推论
2
：半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所对的弦是直径 ；
（
P66-5
，
7
、
P68-16
）

9
、
确定圆的条件
：

①理解确定一个圆必须的具备两个条 件：
圆心和半径，
圆心决定圆的位置，
半径决定圆的大小。
经过一点可
以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。

②经 过三点作圆要分两种情况：
(1)
经过同一直线上的三点不能作圆。
(2)
经 过不在同一直线上的三点，能且
仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

10
、

(1)
三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形 三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三
角形叫做圆的内接三角形。
（
P69- 4,5
、
P70-15
）

(2)
三角形的
外心< br>：
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
(3)
三角形的外心的性质：< br>三角形外心到三
顶点的距离相等。

11
、
直线和圆的位置关 系
：
（
P72-3,5
）

(1)
相交
： 直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。


4

(2)
相切
：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做 圆的切线，惟一的公共点做切点。

(3)
相离
：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

(4)
直线与圆的位置关系的
数量特征
：设⊙
O
的半径为
r
，圆心
O
到直线的距离为
d
，则

①
d
直线
L
和⊙
O
相交。

②
d=r<===>
直线
L
和⊙
O
相切。

③
d>r<===>
直线
L
和⊙
O
相离。

12
、
切线的总判定定理
：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆 的
切线
。

切线的
性质定理
：圆的切线垂直于过切点的半径。

推论
1
：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论
2
：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

结论
：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。

① 垂直于切线；②过切点；③过圆心。
（
P73-13
、
P74-3
、
P75-14
）

13
、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
，内切圆的圆心叫做三角形的
内心
，这个三角形叫做圆的
外
切三角形
。

三角形
内心的性质
：
(1)
三角形 的内心到三边的距离相等。
(2)
过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。
由此 性质引出一条重要的辅助线：

连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。
（
P77-2
、
P78-14
）

14
、
两圆的位置关系
：
（
P79-6
、
P81-13
）


(1)
外离
：

两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。

(2)
外切
：

两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，

叫
做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。

(3)
相交
：

两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。

(4)
内切
：

两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外， 一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做
这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。

(5)
内含
：

两个圆没有公共点，

并且一个圆 上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心
是两圆内的一个特例。

(6)
两圆位
置关
系的
性
质
与
判
定
：
(1)
两圆外
离
<===>d>R+r
；
(2)
两
圆外
切
<===>d=R+r
；
(3)
两
圆相 交
<===>R-
r；
(4)
两圆内切<===>d=R-r(R>r)
；
(5)
两圆内含
<===>dr)
。

(7)
相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

15
、
圆周长公式
：
圆周长
C=2
π
R
(R< br>表示圆的半径
)
。
圆的面积公式
：
S
=
πR

2
(R
表示圆的半径
)
。

弧长公式：
2nπR/360
(R
表示圆的半径，
n
表示弧所对的圆心角的度数
)
。
（
P82-6
）

扇形
定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

（
P82-9
、
P84-1
、
P85-8
）
2
扇形的面积公式
：扇形的面积
=nπR
/360(R
表示圆的 半径，
n
表示弧所对的圆心角的度数
)
。

弓形
定 义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高。

16、
圆锥
：可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条 直角边旋转而成
的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。

圆锥的侧 面展开图与侧面积计算
：圆锥的侧面展开图是一个
扇形
，这个扇形的半径是圆锥侧面的 母线
长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥底面半径为
r
，侧 面母线长
(
扇形半径
)
是
l
，
底面圆周长
(
扇形弧长
)
为
c
，那么它的
侧面积是：
S=cl /2=2πrl/3=πrl
。

总面积
=
侧面积
+
底面积。
（
P87-7
，
9
，
11
）

17
、若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做
圆内接四边形
， 这个圆叫做这个四边形的
外接
圆
。圆内接四边形的
特征
：

①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。

18< br>、
切线长定理
：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的
夹角。

19
、和圆有关的比例线段：


5
(8)
相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。




















































①
相交弦定理
：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

20
、
切割线定理
：

①从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

21
、
两圆连心线
的性质：

①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。

②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
（
P91-7

24.3
正多边形和圆


1
、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。



2
、正多边形与圆的关系：



(1)将一个圆
n(n
≥
3)
等分
(
可以借助量角器
)
，
依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。



(2)
这个圆是这个正多边形的外接圆。



3
、正多边形的有关概念：



(1)
正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。



(2)
正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。



(3)
正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。



(4)
正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。



4
、正多边形性质：



(1)
任何正多边形都有一个外接圆。



(2)
正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正
n
边形的对称轴有
n
条。



(3)
边数相同的正多边形相似。






重点：正多边形的有关计算。

24.4
弧长和扇形面积

知识点
1
、弧长公式

因为
360
°的圆心角所对 的弧长就是圆周长
C
＝
2
R
，所以
1
°的圆心角所 对的弧长是
，于是
可得半径为
R
的圆中，
n
°的圆心角所对 的弧长
l
的计算公式：
，

说明：（
1
）在弧长公 式中，
n
表示
1
°的圆心角的倍数，
n
和
180< br>都不带单位“度”，例如，圆的半径
R
＝
10
，计算
20°的圆心角所对的弧长
l
时，不要错写成
。

（
2）在弧长公式中，已知
l
，
n
，
R
中的任意两个量，都 可以求出第三个量。


知识点
2
、扇形的面积

如图所示，
阴影部分的面积就是半径为
R
，
圆心角为
n
° 的扇形面积，
显然扇形的面积是它所在圆的面积的
一部分，因为圆心角是
360
°的扇形面积等于圆面积
角为
n
°的扇形面积的计算公式是
又因为扇形的弧 长
。




6
，所以圆心角为
1
°的扇形面积是
，由此得圆心
。

，
所以又得到扇形面积的另一个计算公式：
，
扇形面积

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