端午的鸭蛋-

2021年1月30日发(作者：隔三秋)

北师大版初中数学定理知识点汇总
[
九年级
(
上册
)

第一章


证明
(
二
)
※等腰三角形的“三线合一”
：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

※等边三角形是特殊的等腰三角形，
作一条等边三角形的三线合一线，
将等边三角形分 成两
个全等的

直角三角形，其中一个锐角等于
30
º，这它所对的 直角边必然等于斜边的一半。

※有一个角等于
60
º的等腰三角形是等边三角形。

※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：
a< br>
b

c
（注意区分斜边与直角边）

②在直角三角 形中，如有一个内角等于
30
º，那么它所对的直角边等于斜边的一半

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）

※垂直 平分线
是垂直于一条线段
并且平分这条线段的直线
。
（注意着重号的意义）< br>
．．．．．
．．
．．
<
直线与射线有垂线，但无垂直平分线
>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
< br>※三角形的三边的垂直平分线交于一点，
并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1
所示，
A
A
AO=BO=CO
）



F
D

O
O

C
C

E
B
B

图
2
图
1

※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

(
如图
2
所示，
OD=OE=OF)
第二章


一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为
a x

bx

c

0
（
a
、
b
、
c
为

常数，
a
≠
0
）的 形式，这样的方程叫一元二次方程
。

．．．．．．
※把
ax

bx

c

0
（
a
、
b、
c
为常数，
a
≠
0
）称为一元二次方程的一般形式，
a
为二次项
系数；
b
为一次项系数；
c
为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法
<
即将其变为
(
x

m
)

0
的形式
>

2
2
2
2
2
2

b

b
2

4
ac
②公式法

x


（注意在找
abc
时须先把方程化为一般形式）

2
a
③分解因式法

把方程的一边变成
0
，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”
）

第
1
页



※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成
1
；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成
(
x

m
)

0
的形式；

⑥两边开方求其根。

2
※根与系数的关系：当
b
-4ac >0
时，方程有两个不等的实数根；

2
当
b
-4ac=0
时，方程有两个相等的实数根；

2
当
b
-4ac<0
时，方程无实数根。

※如
果
一
元
二
次
方
程
ax
< br>bx

c

0
的
两
根
分
别
为
x
1
、
x
2
，
则
有
：
2
2
x
1

x
2


b
a
x
1

x
2

c
。

a
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

（
1
）已知方程的一根，求另一根；

（
2
）不解 方程，求二次方程的根
x
1
、
x
2
的对称式的值，特别注意 以下公式：

①
x
1

x
2

(
x
1

x
2
)

2
x
1
x
2









②
2
2
2
1
1
x
1

x
2








③
x
1
x
2
x
1
x
2
(
x
1

x
2
)
2

(
x
1

x
2
)
2

4
x
1
x
2

④
|
x
1

x
2
|

(
x
1

x
2
)
2

4
x
1
x
2







⑤
(|
x
1
|

|
x
2
|)
2

(
x
1

x
2
)
2

2
x
1
x
2

2
|
x
1
x
2
|

⑥x
1

x
2

(
x
1
x
2
)

3
x
1
x
2
(x
1

x
2
)

⑦其他能用
x
1

x
2
或
x
1
x
2
表 达的代数
式。

（
3
）已知方程的两根
x
1
、
x
2
，可以构造一元二次方程：
x

(
x1

x
2
)
x

x
1
x2

0

（
4
）已知两数
x
1
、
x
2
的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程
2
3
3
3
x
2

(
x
1

x
2
)
x

x
1
x
2

0

的根

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：
①设未 知数
（在设未知数时，大多数情况
只要设问题为
x
；但也有时也须根据已知条 件及等量关系等诸多方面考虑）
；②寻找等量
关系
（一般地，
题目中会含有一 表述等量关系的句子，
只须找到此句话即可根据其列出方
程）
。

※处理问题的过程可以进一步概括为：

问题
分析
求解

方程

解答

抽象
检验
第三章


证明（三）

※平行 四边的定义：
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形
，
平行四边形不相邻的两顶< br>．．．．．
点连成的线段叫做它的对角线
。

．．．
第
2
页



※平行四边形的性质 ：平行四边形的对边相等
,
对角相等
,
对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：
若两条 直线互相平行，
则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距
离相等。这个距离称为平行线之间 的距离。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性 质：
具有平行四边形的性质
,
且四条边都相等
,
两条对角线互相垂直 平分
,
每一条对
角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
。矩形是特殊的平行四边形。
< br>．．
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是 轴对称
图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形
(
根据定义
)
。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行 四边形、矩形、
菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，
有两条对称轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系< br>(
如图
3
所示
)
：

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

第
3
页



※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。





平行四边形

一组邻边相等

菱形

一个内角为直角

（或对角线相等）

正方形

一组邻边相等且一个内角为直角

（或对角线互相垂直平分）

一内角为直角

矩形

一邻边相等

或对角线垂直

鹏翔教图
3
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第四章


视图与投影

※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。



三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。



主视图：基本可认为从物体正面视得的图象



俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象



左视图：基本可认为从物体左面视得的图象

※视图中每一个闭合的线框都表示物体上 一个表面
(
平面或曲面
)
，而相连的两个闭合线框一
定不在一个平面 上。

※在一个外形线框内所包括的各个小线框，
一定是平面体
（或曲面体）
上凸出或凹的各个小
的平面体（或曲面体）
。

※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影
。

．．
太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影
。

．．．．
探照灯、
手电筒、
路灯的光线可以看成是从一点出发的，
像这样的光 线所形成的投影称为中
．
心投影
。

．．．
※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

眼睛的位置 称为视点
；由视点发出的线称为视线
；眼睛看不到的地方称为盲区
。

．．
．．
．．
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影 垂直时的投影。

①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。


第
4
页



第五章


反比例函数

※反比例函数的概念：一般地，
y

k
（
k
为常数，
k
≠
0
）叫做反比例函数，即
y< br>是
x
的反
x
比例函数。



（< br>x
为自变量，
y
为因变量，其中
x
不能为零）

※反比例函数的等价形式：
y
是
x
的反比例函数

←→

y

k
(
k

0
)

←→

y

kx

1
(
k

0
)

x
←→

xy

k
(
k

0
)

←→

变量
y
与
x
成反比例，比例系数为
k.
※判断两 个变量是否是反比例函数关系有两种方法：
①按照反比例函数的定义判断；
②看两
个变 量的乘积是否为定值
<
即
xy

k
>
。
（ 通常第二种方法更适用）

※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线

※反比例函数的画法的注意事项：
①反比例函数的图象不是直线，
所
“两点法”是不能画的；

②选取的点越多画的图越准确；

③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）
。

※反比例函数性质：

①当
k>0
时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，
y
随
x
的增大而减小；

②当
k<0
时，双曲线的两支分别 位于二、四象限；在每个象限内，
y
随
x
的增大而增大；

③双曲线的两支会无限接近坐标轴（
x
轴和
y
轴）
，但不会与坐标轴 相交。

※反比例函数图象的几何特征
:(
如图
4
所示
)


点
P(x,y)
在双曲线上都有
S
矩形
OAPB

|
xy
|

|
k
|
S

AOB

1
1
|
xy
|

|< br>k
|

2
2
B
O
P
A
图
4
P
B
A
O
第六章


频率与概率

※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数
；

．．
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率
；

即：
．．
频率

频数
频数


数 据总数
实验次数
在频率分布直方图中，
由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，
而各组频率的和等于
1
。因此，各个小长方形的面积的和等于
1
。< br>
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，
前者准确 ，
后
者直观。

用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。

※假设布袋内有
m
个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白
球的概率；

※要估算池塘里有多少条鱼，
我们可先从池塘里捉上
100
条鱼做记号，再放回池塘，
之后再
从池塘中捉上
200
条鱼，如果其中有
10
条鱼是有标记的，再设池塘共有
x
条鱼，则可依
照
100
1 0

估算出鱼的条数。
（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是
x
200
XX
”
）

※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，
它能准确地衡量出事
件发生的可能性的大小，并不表示 一定会发生。

第
5
页



北师大版初中数学定理知识点汇总
[
九年级
(
下册
)
第一章


直角三角形边的关系

※一
.
正切：

定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
的正切
，记作
tanA
，即
．．
tan
A


A
的对边
;

A
的邻边
①
tanA
是一个完整的符号，
它表示∠
A
的正切，
记号里习惯省去角的符号
“
∠
”
；

②
tanA
没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠
A
的对边 与邻边的比；

③
tanA
不表示
“tan”
乘以
“A”
；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠
A
是锐角的正切；

⑤
tanA
的值越大，梯子越陡，∠
A
越大；

∠
A
越大，梯子越陡，
tanA
的值越
大。

※二
.
正弦
：

．．
定义：
在
Rt
△
ABC
中，
锐角∠
A
的对边与斜边的比叫做∠
A
的正弦，
记作
sinA
，
即
sin
A


A
的对边
;
斜边
※三
.
余弦：

定义：
在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与斜边的比叫做∠
A
的余弦，
记作
co sA
，
即
cos
A


A
的邻边
;
斜边
※余切：

定义：
在
Rt
△
AB C
中，
锐角∠
A
的邻边与对边的比叫做∠
A
的余切，
记作
cotA
，
即
cot
A


A的邻边
;

A
的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分 别等于它的余角的余弦、正弦、余切、
正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。 同样，也称正切、余切互为余函数，可以
概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表 达：若∠
A
为
锐角，则


0
º

30
º

45
º

60
º

90
º

①
sin
A

cos(
90



A
)
；

cos
A

sin(
90



A
)

sin
α

cos
α

tan
α

cot
α

0
1
0
—

1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
1
1
3

2
1

2
3

3

3
1
0
—

0
②
tan
A

cot(
90



A
)
；< br>
cot
A

tan(
90



A
)

※当从低处观测高处的目标时，视
线与水平线

3

第
6
页



所成的锐角称为仰角

．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成

的锐角称为俯角

．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，
(1)
当

角度在
0
°～
90
°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大
(< br>或减小
)
而增大
(
或减小
)
；余
弦值、余切 值随着角度的增大
(
或减小
)
而减小
(
或增大
)< br>。
(2)0
≤
sin
α
≤
1
，
0< br>≤
cos
α
≤
1
。

※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：
tg
α
·
ctg
α
=1
。




图
1
※在直角三角形中，
除直角外，
一共有五个元素，
即三条边和二个锐角。由直 角三角形中除
直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎ 在△
ABC
中，∠
C
为直角，∠
A
、∠
B
、∠
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，则有


(1)
三边之间的关系：
a
2
+b
2
=c
2
；

(2)
两锐角的关系：∠
A
＋∠
B=90
°；


(3)
边与角之间的关系：

a
sin
A

,
c
b
sin
B

,
c
b< br>cos
A

,
c
a
cos
B
,
c
a
tan
A

,
b
b
t an
B

,
a
b
cot
A

;< br>
a
a
cot
B

;

b
1
1
ab

chc
(hc
为
C
边上的高< br>);

2
2
a

b

c
(5)
直角三角形的内切圆半径
r


2
1

(6)
直角三角形的外接圆半径
R

c

2
(4)
面积公式
:
S


◎解直角三角形的几种基本类型 列表如下：

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：













B
i=h:l
h
C
A
l
图
2



第
7
页

图
3
图
4


※

如图
2
，坡面与水平面的夹角叫做坡角

(
或叫做坡比)
。用字母
i
表示，即
．．
．．
h

tan
A

l
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，
叫做方位角
。
如图
3
，
OA
、
．．．
i< br>
OB
、
OC
的方位角分别为
45
°、
13 5
°、
225
°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于< br>90
°的水平角，叫做方向角
。如
．．．
图
4
，OA
、
OB
、
OC
、
OD
的方向角分别是；北 偏东
30
°，南偏东
45
°
(
东南方
向
)
、南偏西为
60
°，北偏西
60
°。


第二章


二次函数

※二次函数的概念：
形如< br>y

ax

bx

c
(
a
、、b、
是常数
，a

0
)
的函数，
叫做
x
的二次
．．
函数
。自变量的取值范围是全体实数。







y

ax
(
a

0
)
是二次函数的特例，此时
．．
常数
b=c =0.
※在写二次函数的关系式时，
一定要寻找两个变量之间的等量关系，
列出相应 的函数关系式，
并确定自变量的取值范围
。

．．．．．．．．
※二 次函数
y
＝
ax
2
的图象是一条顶点在原点关于
y
轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线
。

．．．
描述抛物线常从开口方向、对 称性、
y
随
x
的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物
线与< br>x
轴的交点等方面来描述。

2
2
①函数的定义域是全体实数；

②抛物线的顶点在
(0
，
0)
，对称轴是
y
轴
(
或称直线
x＝
0)
。

③当
a
＞
0
时，抛物线开 口向上，并且向上方无限伸展。当
a
＜
0
时，抛物线
开口向下，并且 向下方无限伸展。

④函数的增减性：

;

x

0
时
,
y
随
x
增大而减小
A
、当
a
＞
0
时













B
、当
a
＜
0
时
x

0
时
,
y
随
x
增大而增大
.

;

x

0
时
,
y
随
x
增大而增大


.< br>
x

0
时
,
y
随
x
增大 而减小

⑤当｜
a
｜越大，抛物线开口越小；当｜
a
｜越小 ，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当
a
＞
0
，且
x
＝
0
时函数有最小值，最小值是
0
；当
a
＜
0
，且
x
＝
0
时
函数有最大值，最大值是0
．

※二次函数
y

ax

c的图象是一条顶点在
y
轴上且与
y
轴对称的抛物线

2
※二次函数
y

ax
2

bx

c
的图象是以
x


b
b
为对称轴，顶点在（
，
2
a
2
a
4
ac

b< br>2
）的抛物线。（开口方向和大小由
a
来决定）

4
a
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端午的鸭蛋-

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