北师大版初中数学九年级上册知识点汇总
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2021年01月30日 08:35
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北师大版初中数学九年级
(
上册
)
知识点汇总
第一章
证明
(
二
)
※等腰三角形的“三线合一”
：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，
作一条等边三角形的三线合一线，
将等边三角形分 成两
个全等的
直角三角形，其中一个锐角等于
30
º，这它所对的 直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于
60
º的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理：
a< br>
b
c
（注意区分斜边与直角边）
②在直角三角 形中，如有一个内角等于
30
º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）
※垂直 平分线
是垂直于一条线段
并且平分这条线段的直线
。
（注意着重号的意义）< br>
．．．．．
．．
．．
<
直线与射线有垂线，但无垂直平分线
>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
< br>※三角形的三边的垂直平分线交于一点，
并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1
所示，
A
A
AO=BO=CO
）
F
D
O
O
C
C
E
B
B
图
2
图
1
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
(
如图
2
所示，
OD=OE=OF)
第二章
一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为
a x
bx
c
0
（
a
、
b
、
c
为
常数，
a
≠
0
）的 形式，这样的方程叫一元二次方程
。
．．．．．．
※把
ax
bx
c
0
（
a
、
b、
c
为常数，
a
≠
0
）称为一元二次方程的一般形式，
a
为二次项
系数；
b
为一次项系数；
c
为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法
<
即将其变为
(
x
m
)
0
的形式
>
2
2
2
2
2
2
b
b
2
4
ac
②公式法
x
（注意在找
abc
时须先把方程化为一般形式）
2
a
③分解因式法
把方程的一边变成
0
，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”
）
※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成
1
；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成
(
x
m
)
0
的形式；
⑥两边开方求其根。
2
※根与系数的关系：当
b
-4ac >0
时，方程有两个不等的实数根；
2
当
b
-4ac=0
时，方程有两个相等的实数根；
2
当
b
-4ac<0
时，方程无实数根。
※如
果
一
元
二
次
方
程
ax
< br>bx
c
0
的
两
根
分
别
为
x
1
、
x
2
，
则
有
：
2
2
x
1
x
2
b
a
x
1
x
2
c
。
a
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（
1
）已知方程的一根，求另一根；
（
2
）不解 方程，求二次方程的根
x
1
、
x
2
的对称式的值，特别注意 以下公式：
①
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
2
x
1
x
2
②
2
2
2
1
1
x
1
x
2
③
x
1
x
2
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
2
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2
④
|
x
1
x
2
|
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2
⑤
(|
x
1
|
|
x
2
|)
2
(
x
1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
2
|
x
1
x
2
|
⑥x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
3
x
1
x
2
(x
1
x
2
)
⑦其他能用
x
1
x
2
或
x
1
x
2
表 达的代数
式。
（
3
）已知方程的两根
x
1
、
x
2
，可以构造一元二次方程：
x
(
x1
x
2
)
x
x
1
x2
0
（
4
）已知两数
x
1
、
x
2
的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程
2
3
3
3
x
2
(
x
1
x
2
)
x
x
1
x
2
0
的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：
①设未 知数
（在设未知数时，大多数情况
只要设问题为
x
；但也有时也须根据已知条 件及等量关系等诸多方面考虑）
；②寻找等量
关系
（一般地，
题目中会含有一 表述等量关系的句子，
只须找到此句话即可根据其列出方
程）
。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
问题
分析
求解
方程
解答
抽象
检验
第三章
证明（三）
※平行 四边的定义：
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形
，
平行四边形不相邻的两顶< br>．．．．．
点连成的线段叫做它的对角线
。
．．．
※平行四 边形的性质：平行四边形的对边相等
,
对角相等
,
对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：
若两条 直线互相平行，
则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距
离相等。这个距离称为平行线之间 的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性 质：
具有平行四边形的性质
,
且四条边都相等
,
两条对角线互相垂直 平分
,
每一条对
角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
。矩形是特殊的平行四边形。
< br>．．
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是 轴对称
图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形
(
根据定义
)
。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行 四边形、矩形、
菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，
有两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系< br>(
如图
3
所示
)
：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。