平方数(教案 )
巡山小妖精
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2021年01月30日 09:42
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坐井观天教案-
平方数
(
教案
)
一、平方数的性质
性质
1
、
完全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9. < br>性质
2
、
奇数的平方的个位数字为奇数
,
十位数字为偶数.
性质３
、如果一个平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是
6
；反之，如果完全平
方数的个位数字是
6
，则它的十位数字一定是奇数．
性质
4
、
平方数被
8
除的余数只可能是
0
，
1
，
4
性质
5
、
平方数被
9
除的余数只可能为
0
，
1
，
4
，
7
；平方 数的各位数字之和被
9
除的余数也
只能为
0
，
1
，
4
，
7
2
性质
6
、
a
b
为完全平方数的充要条件是
b
为完全平方数
.
2
p
p< br>a
性质
7
、
如果质数
能整除
,
但
不 能整除
a
,
则
a
不是完全平方数
.
2
性 质
8
、
若
n
<
k
<
(
n
1
)
,
则
k
一定不是完全平方数
.
这里
n
,
k
均为非负整数。
2
性质
9
、
一个正整数
n
是完全平方数的充分必要条件是
n
有奇数个正约数
(
包括
1
和
n
本身
).
即平方数的正约数 的个数为奇数。
性质
10
、
平方数的个位数字为非零数字，若末几 位数字相同，
则该数字应为
4.
最多只有三位
相同
练习：
1
、求证
:11,111,111,
„
, 111
„
1(
n
个
1)
这串数中没有完全平方数。
2
、若
n
2
的十位数字是
7
，求其个位数字。
3
、
8k+7
（
k
∈
N
）型自然数 能否写成平方数的和。
解：
8k+7=x
2
+y
2
+z
2
，由性质知，
x
2
，
y
2
，z
2
被
8
除余数只能为
0
，
1
，4
x
2
+y
2
+z
2
被
8除只能余
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，没有
7
即
8k+7
≠
x
2
+y
2
+z
2
的形式
4
、
一个整数
a
与
1512
的乘积为完全平方数，求
a
的最小值与这个平方数。
解：
1512
2
3< br>
3
3
7
则
a
< br>2
3
7
42
1512
×
42=
63504
一、
平方数性质的应用
例
1
、
试证：数列
49
，
4489
，
444889
，„，
2
2
2
4489
67
444889
667
49< br>
7
证明
,
,
44
4
88
8
9
n
n
1
为平方数
.
1
n
44
4
88
8
9
1< br>
(
99
9
1
)
8
11
1
1
44
4
10
88
8
1
< br>4
11
n
n
1
n
n
1
n
n
n
4
1 1
1
9
11
1
4
11
1
8
11
< br>1
1
36
11
1
12
11
1
1
n
n
n
n2
2
n
n
(
6
11< br>
1
1
)
2
66
6
7
2
n
n
1
即
44
4
88
8
9
n
n
1
为平方数
所以数列
49
，
4489，
444889
，„，
每一项都是完全平方数
.
99
...
9
6
00
..
04
n
练习：
1
、
证明：数列
9604
，
996004
，„，
n
的每一项均为平方数。
n
n
1
44
4
88
89
证明：
99
„
9600
„
04=99
„
96
×
10
n +1
+4=(10
n+1
－
4)
×
10
n-1+4=10
2(n+1)
－
4
×
10
n+1
+ 4
=(10
－
2)
n+1
2
∴数列
9604
，
996004
，„，
99
„
9600
„
04
的每一项均为平方数。
n
n
2
、证明数列
1089
，
110889
，
11108889< br>，
…
，
111...10888...89
< br>
中的每一项均为平方数
例
2
、求证
:
四个连续的整数的积加上
1,
等于一个奇数的平方
. < br>证明：设四个连续的整数为
n
,
(
n
1
) ,
(
n
2
),
(
n
3
)
加上
1
为
m
,
则
m
n(
n
1
)(
n
2
)(
n
3
)
1
[
n
(
n
3
)][(
n
1
)(
n
< br>2
)]
1
(
n
2
3
n
)(
n
2
3
n
2
)
1
(
n
2
3
n
)
2
2
(
n
2
3
n
)
1
(
n
2
3
n
1
)
2
[
n
(
n
1
)
(
2
n
1
)]
2
而
n
(
n
1
)
是两个连 续整数的积
,
所以是偶数
;
又因为
2
n
1
是奇数
,
因而
n
(
n
1
)< br>
2
n
1
是奇数
.
这就证明了
m
是一奇数的平方
.
练习
：
1
、两个连续偶数（或奇数）的乘积加
1
，即为平方数
2
、连续四个偶数的乘积再加上
16
，一定是一个平方数
3
、
证明任意五个连续整数的平方和不能是某个整数的平方。
证明 ：设五个连续整数为
n-2
，
n-1
，
n
，
n+1
，
n+2
∴
(n-2)
2
+(n-1)
2
+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
=5 n
2
+10=5(n
2
+2)
若为平方数
5
整除
n
2
+2
，
n
2
的末位数字只能为
3或
8
由性质
1
知，
n
2
的末位数字不可能为
3
或
8
∴
5(n
2
+2)
不能为平方数
∴任意五个连续整数的平方和不能是某个整数的平方
4
、
求证：三 个连续奇数的平方和加
1
能被
12
整除但不能被
24
整除。
证明：设三个连续奇数为
2n-1
，
2n+1
，
2n+3
S=(2n+1)
2
+(2n-1)
2
+(2n+3)
2< br>+1=12n
2
+12n+12=12(n
2
+n+1)
∴
12
︱
S n
2
+n+1=n(n+1)+1
一定为奇数
∴
2
不整除
n
2
+n+1
∴
24
不整除
S
∴结论得证
2