小学奥数：完全平方数及应用(二).专项练习及答案解析
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2021年01月30日 09:44
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建军大业观后感-
5-4-5.
完全平方数及应用（二）
教学目标
1.
学习完全平方数的性质；
2.
整理完全平方数的一些推论及推论过程
3.
掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.
主要性质
1.
完全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，< br>7
，
8
。
2.
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.
完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.
若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p能被
a
整除。
2.
性质
性质
1< br>：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，5
，
6
，
9
．
性质
2
：完 全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，
1 6
除的余数一定是完全平方数．
性质
3
：
自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数．
因为完全平 方数的质因数分解
中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自然数，
N
是完全平
方数，且
p
2
n
1
|
N
，则
p
2
n
|
N．
性质
4
：完全平方数的个位是
6
它的十 位是奇数．
性质
5
：如果一个完全平方数的个位是
0
，则 它后面连续的
0
的个数一定是偶数．如果一个完
全平方数的个位是
5
，则其十位一定是
2
，且其百位一定是
0
，
2
，
6
中的一个．
性质
6
：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之 间，则它不是完全平方数．
3.
一些重要的推论
1.
任 何偶数的平方一定能被
4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定不 是完全平方数。
2.
一个完全平方数被
3
除的余数是
0< br>或
1.
即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。
3.
自然数的平方末两位只有：
00
，
01
，
21
，
41
，
61
，
81
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，
09
，
29
，
49
，
69
，
89
，
16
，
36
，
56
，
7 6
，
96
。
4.
完全平方数个位数字是奇数（
1
，
5
，
9
）时，其十位上的数字必为偶数。
5.
完全平方数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字必为偶数 。
6.
完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
7.
凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方 数；
末尾只有奇数个
“
0
”
的
自然数不是完全平方数；个位 数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方 数。
3.
重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
< br>b
2
(
a
b
)(
a
b
)
例题精讲
模块一、平方差公式运用
【例
1
】
将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数
45045
？
5-4-5.
完全平方数及应用（二）
.
题库
教师版
page
1
of
6
【考点】平方差公式运用
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这两个数分别是
a
和
b
，那么有
ab
(
a
-
b
)=4504 5,
分析奇偶性可知这是不可能的。
因此不可能得到
45045
。
【答案】不能得到这样的数
【例
2
】
一个数减去
100
是一个平方数，减去
63
也是一个平方数，问这个数是 多少？
【考点】平方差公式运用
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这
个
数
减
去
63
为
A
2
，
减
去
100为
B
2
，
则
A
2
B
2
A
B
A
B
< br>
100
63
37
37
< br>1
，
可知
A
B
37
，且
A
B
1
，所以
A
19
，
B
18
，这样这个数为
18
2
100
424
．
【答案】
424
【
巩
固
】
能
否找到这么一个数，它加上
24
，和减去
30
所得的两个数都是完全平方数？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
假
设 能找到，设这两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两 个完全平方数的差为
54
A
B
A
B
，由于
A
B
和
A
B
的奇偶性质相同，所以
A
B
A
B
不是< br>4
的倍数，就是奇数，不可能是像
54
这样是偶数但不是
4
的 倍数．所以
54
不可能等于两个平
方数的差，那么题中所说的数是找不到的．
【答案】不存在这样的数
【
巩
固
】
能
否找到这么一个数，它加上
24
，和减去
30
所得的两个 数都是完全平方数？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
假
设能找到，设这两个完全平方数分别 为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全平方数的差为
54
A
B
A
B
，
由于
A
B
和
A
B
的奇偶性质相同，
所以
A
B
A
B
不是
4
的倍数， 就是奇数，所以
54
不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找
不到．
【答案】不存在这样的数
【
巩
固
】
一
个正整数加上
132
和
231
后都等于完全平方数，求这 个正整数是多少？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
该
正
整
数
为
a
，
根
据
题
意
得
a
132
m
2
，
a
231
< br>n
2
两
式
相
减
得
n
< br>m
n
m
99
,
注
意
到
n
m
和
n
m
的
奇
偶
性
相
同
，
都
是
奇
数
．
因
为
99
99
1
33
3
11
9
，所以
n
m
99
，
n
m
1或
n
m
33
，
n
m< br>
3
或
n
m
11
，
n
m
9
．解得
n
50
，m
49
或
n
18
，
m
15
或
n
10
，
m
1
，
但
是
n
10
，
m
1不
符
合
是
正
整
数的
条
件
．< br>因
此
a
49
2
132
2269
，
或
者
15
2
132
97
．所以这个正整数是
2269
或
97
．
【答案】
2269
或
97
【例
3
】
两个完全平方数的差为
77
，
则这两个完全平方数的 和最大是多少？最小是多少？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这两个完全平方数分别是
A
2
和
B
2
，且
A
2
B
2
77
，则两个完全平方数的和可
以
表
示
为77
2
B
2
，
所
以
B
越< br>大
，平
方
和
越
大
，
B
越
小
，
平方
和
越
小
，
而
A
B
A
B
77
，77
7
11
1
77
，当
A
B
77
，
A
B
1
时，
B
取得最大
值
38
，
此时两 个完全平方数的和最大，
为
2965
；
当
A
B< br>
11
，
A
B
7
时，
B
取
得最小值
2
，此时两个完全平方数的和最小，为
85
．
【答案】最小
85
，最大
2965
【例
4
】
三个自然数，
它们都是完全平方数，
最大的数减去第二大的数的差为
80
，
第二大
5-4-5.
完全平方 数及应用（二）
.
题库
教师版
page
2
of
6
的数减去最小的数的差为
60
，求这三个数．
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这
三
个
数
从
大
到
小
分
别
为
A
2
、
B
2
、
C
2
，
那
么
有
A
B
A
B
80
，
A
C
A
C
140
，因为
140
< br>2
2
5
7
，
A
< br>C
、
A
C
同奇同偶，所以有
分别解得
A< br>
12
，
A
C
14
，
A
C
10
或
A
C
70
，
A
C
2
，
C
2
和
A
36
，
对于后者没有满足条件的
B< br>，
所以
A
只能等于
12
，
C
2< br>，
继而求得
B
8
，
C
34，
所以这三个数分别为
12
2
=144
、
8
2
=64
、
2
2
=4
．
【答案】三个数分别为
144
、
64
、
4
【例
5
】
有两个两位数，
它们的差是
14
，
将它们分别平方，
得到的两个平方数的末两位数
(
个位数和 十位数
)
相同，那么这两个两位数是
．
(
请写出所有可能的答
案
)
【考点】平方差公式运用
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，清华附中
【
解
析
】
设
这两个两位数中较小的那个为
n
，则另外一个为
n
14
，由题知，
(n
14)
2
n
2
100
k
(
k
为正整数
)
，即
7
n
7
25
k
，由于
7,25
1
，所以
25
n
7
，由
于
n
与
n
14
均为两位数，所以
17
n
7
92
，
故
n
7
可能为
25
、
50
或者
75
，
n
可能为
18
、
43
或者
68．经检验，
n
18
、
43
、
68
均 符合题意，所以这两个两位数为
18
、
32
，或者
43
、< br>57
，或者
68
、
82
．
【答案】这两个 两位数为
18
、
32
，或者
43
、
57
， 或者
68
、
82
【例
6
】
A
是一个两位数，它的
6
倍是一个三位数
B
，如果把
B< br>放在
A
的左边或者右边得
到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完 全平方数
(
整数的平方
)
，
那么
A
的所有可能取值 之和为
．
【考点】平方差公式运用
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
如
果把
B
放在
A
的左边，得到的五位数为
100
B
A
60 1
A
；如果把
B
放在
A
的右
边，得到的五位数为< br>1000
A
B
1006
A
；这两个数的 差为
1006
A
601
A
405
A< br>，
是一个完全平方数，而
405
9
2
5
，所以
A
是
5
与一个完全平方数的乘积．
A
又是< br>一个两位数，所以可以为
5
2
2
、
5
< br>3
2
、
5
4
2
，
A
的所 有可能取值之和为
5
2
2
5
32
5
4
2
145
．
【答案】
145
【例
7
】
一个自 然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，
且各位数字均小于
7< br>．如果把组成它的数字都加上
3
，便得到另外一个完全平方
数，求原来的四位数 ．
【考点】平方差公式运用
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这个四位数为
abcd
m
2
①，
< br>由于其各位数字都小于
7
，所以每位数字都加
3
，没有发生进位，故< br>
(
a
3)(
b
3)(
c
3)(
d
3)
n
2
②
由②
①得：
3333
n
2
m
3
(
n
m
)(
n
m
)
③
将
3333
分解质因数，有
3333< br>
3
11
101
，其有
1< br>
1
1
1
< br>
1
1
8
个约数，但是有
n
m
n
m
，所以只有
4
种可 能，即
3333
1
3333
3
< br>1111
11
303
33
101
．
由于
m
2
abcd
1000
，故
m
30
，所以
n
< br>m
n
m
2< br>m
60
；
又
n
2
(
a
3)(
b
3)(
c
3) (
d
3)
10000
，所以
n
100
，故
n
m
n
m
2
n
200
；
一一检验，只有
33
101
满足
101
33
60
且
101
33
2 00
，所以
n
m
101
，
n
m
33
，
得
m
34
，原来 的四位数为
34
2
1156
．
【答案】
1156
5-4-5.
完全平方数及应用（二）
.
题库
教师版
page
3
of
6