小学奥数 5-4-5 完全平方数及应用(二).教师版
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2021年01月30日 09:45
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5-4-5.
完全平方数及应用（二）
教学目标
1.
学习完全平方数的性质；
2.
整理完全平方数的一些推论及推论过程
3.
掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.
主要性质
1.
完全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，< br>7
，
8
。
2.
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.
完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.
若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p能被
a
整除。
2.
性质
性质
1< br>：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，5
，
6
，
9
．
性质
2
：完 全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，
1 6
除的余数一定是完全平方数．
性质
3
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自 然数，
N
是完全平方数，且
p
2
n
1
|
N
，则
p
2
n
|
N
．
性质
4
：完全平方数的个位是
6
它的十位是奇数．
性质
5
：
如果一个完全平方数的个位是
0
，
则它后面连 续的
0
的个数一定是偶数．
如果一个完全平方数的个
位是
5
，则其十位一定是
2
，且其百位一定是
0
，
2
，
6
中的一个．
性质
6
：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之 间，则它不是完全平方数．
3.
一些重要的推论
1.
任 何偶数的平方一定能被
4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定< br>不是完全平方数。
2.
一个完全平方数被
3
除的余数是0
或
1.
即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方 数。
3.
自然数的平方末两位只有：
00
，
01
，
21
，
41
，
61
，
81
，
0 4
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，
09
，
29
，
49
，
69
，
89
，
16
，
36
，
56
，< br>76
，
96
。
4.
完全平方数个位数字是奇数（< br>1
，
5
，
9
）时，其十位上的数字必为偶数。
5.
完全平方数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字 必为偶数。
6.
完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
7.
凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方 数；末尾只有奇数个“0”的自然数
不是完全平方数；个位数字为
1
，
4，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.
重点公 式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(< br>a
b
)(
a
b
)
5-4-5.
完全平方数及应用（二）
.
题库
教师版
page 1 of 5
例题精讲
模块一、平方差公式运用
【例
1
】
将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数
45045
？
【考点】平方差公式运用
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这两个数分别是
a
和
b
，那么有
ab
(
a
-
b
)=45045,
分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能 得
到
45045
。
【答案】不能得到这样的数
【例
2
】
一个数减去
100
是一个平 方数，减去
63
也是一个平方数，问这个数是多少？
【考点】平方差公式运用
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这个数减去
63
为
A
2
，减去
100< br>为
B
2
，则
A
2
B
2
A
B
A
B
100
63
37
37
1
，
可知
A
B
37
，且< br>A
B
1
，所以
A
19
，
B
18
，这样这个数为
18
2
1 00
424
．
【答案】
424
【
巩
固
】
能
否找到这么一个数，它加上
24
，和减去
30
所得的两个数都是完全平方数？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
假
设能找到，设这两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全平方数的差为
54
A
B
A
B
，由于
A
B
和
A
B
的奇偶 性质相同，所以
A
B
A
B
不是
4
的倍数，
就是奇数，不可能是像
54
这样是偶 数但不是
4
的倍数．所以
54
不可能等于两个平方数的差，那么
题中 所说的数是找不到的．
【答案】不存在这样的数
【
巩
固
】
能
否找到这么一个数，它加上
24
，和减去
30
所得的两个数都是完全平方数？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
假
设
能
找
到
，
设
这
两
个
完
全
平
方
数
分
别
为
A
2
、
B
2
，
那
么
这
两
个
完
全
平
方
数
的
差
为
54
A
B
A
B
，由于< br>
A
B
和
A
B< br>
的奇偶性质相同，所以
A
B
A< br>
B
不是
4
的倍数，
就是奇数，所以
54
不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到．
【答案】不存在这样的数
【
巩
固
】
一
个正整数加上
132
和
231
后都等于完全平方数，求这 个正整数是多少？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
该正整数为
a
，< br>根据题意得
a
132
m
2
，
a
231
n
2
两式相减得
n
m
n
m
99
,注意到
n
m
和
n
m
的奇偶性相同 ，都是奇数．因为
99
99
1
33
3
11
9
，所以
n
m< br>
99
，
n
m
1
或
解 得
n
50
，
m
49
或
n
18
，
m
15
或
n
1 0
，
m
1
，
n
m
33
，
n
m
3
或
n
m
11
，
n
m
9
．但是
n
10
，
m
1
不符合是正整 数的条件．因此
a
49
2
132
2 269
，或者
15
2
132
97
．所 以这
个正整数是
2269
或
97
．
【答案】
2269
或
97
【例
3
】
两个完全平方数的差为
77
，则这两个完全平方数的 和最大是多少？最小是多少？
【考点】平方差公式运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
设
这两个完全平方数分别是
A
2
和
B
2
，
且
A
2
B
2
77
，
则两个完全平方数的和可以表示为
77
2
B
2
，
所以
B
越大，平方和越大，
B
越小，平方和越小，而
A
B
A
B
77
，
77
7
11
1
77
，当
此时两个完全平方数的和最大，为
2965
；
当
A
B
11
，
A
B
77
，
A
B
1
时，
B
取得最大值
38
，
A
< br>B
7
时，
B
取得最小值
2
，此时两个完全 平方数的和最小，为
85
．
【答案】最小
85
，最大
2965
5-4-5.
完全平方数及应用（二）
.
题库
教师版
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