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2021年1月30日发(作者：浠水一中吧)
《数学》（八年级上册）知识点总结

第一章实数
、实数的概念及分类

1
、实数的分类

.-
正有理数

有理数
-
零

-
有限小数和无限循环小数

L
负有理数

正无理数

｝
无限不循环小数

负无理数


2
、无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（
1
）

开方开不尽的数，如

•
..7,3 2
等；

n

（
2
）

有特定意义的数，如圆周率

n,
或化简后含有

n
的数，如一
+8
等
;
3

（
3
）

有特定结构的数，如

0.1010010001
…等；

（
4
）

某些三角函数值，如

sin60
0
等

二、平方根、算数平方根和立方根

1
、算术平方根：一般地，如果一个正数

x
的平方等于
a
,
即
x
2
=a
,
那么这个正数

x
就
叫做
a
的算术平方根。特别地，
0
的算术平方根是
0
。

表示方法：记作“
Va

，读作根号
a
。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2
、平方根：一般地，如果一个数

x
的平方等于
a
,
即
x
2
=a
,
那么这个数
x
就叫做< br>a
的

平方根（或二次方根）。

表示方法：正数
a
的平方根记做“

扁
”，读作“正、负根号

a
”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数

a
的平方根的运算，叫做开平方。

注意
：
•. a
的双重非负性
:
3
、立方根

一般地，如果一个数

x
的立方等于
a
,
即
x
3
=a
那么这个数
x
就 叫做
a
的立方根（或三

次方根）。

表示方法：记作
Va


1




性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：
3
a
3
、
a
,
这说明
三次根号内的负号可以移到根号外面。

三、二次根式计算

1
、

含有二次根号“

2
、

性质：

(1)

”；被开方数
a
必须是非负数。

(.a)
2
a(a 0)
-a(a 0)
(2)

VO
2
a
Y

I
a(a 0)
(3)

.
、
ab
、
a?
、
.
b(a 0,b
0)
( •、
a ? .. b
.
、
ab(a 0,b
0)
)

(4)

、
a
'
a

(a 0,b
0)
(
a

、

a
(a 0,b
0)
)

3
、

化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：

18
2 3
2

3 2
。
(
字母因式由根号内移到根号外时，

必须考虑字母因式隐含的符号
)
4
、

最
简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式

的指数都为
1
；⑵被开
方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。

将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：

⑴如果被开方数是分式或分数
(
包括小数
)
式的形式，然后再分母有理化；

⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，

因数开出来，从而将式子化简。

化二次根式为最简二次根式的步骤：

⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式；

⑵把根号内能开方的的因数移到根号外；

⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。

然后把能开方的因式或

，先利用商的自述平方根的性质把它写成分

5
、

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几

个二次根式是同类二次根式。

例：
18
、
2.
、
2
、
1
,2
。
(
判断是不是同类二次根式：

2
首先
,
要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同
)
6
、

二
次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并 同类二次根
(
即将被

开方数相同的二次根式的
系数进行合并
)
7
、

二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，

带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围
(
不要忽视隐含条件
)
。

2


8
、

分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算

叫做分母有理化。

第二章

一元二次方程

一、定义：只含有

一个未知数

，且未知数

最高次数是二次

的

整式方程

。

二、一般式：

aX
2
bX c 0
（
a
0
）

三、一元二次方程的解法：

1
、开平方法：一般来说，形如

X
d
、

aX
c 0
（
a 0
）

的一元二次方程可以用开平

2
2
22
方法。（三种情况：有两个不相等的实数根，等于

0,
没有实数根）

2
、因式分解法：

提取公因式、

公式法（平方差、

完全平方公式）

、十字相乘法、

分组分解法。

3
、

配方法：⑴移常数项；⑵化二次项系数为

的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。

1
;⑶配方，在方程的左右两边同时加上一次

项系数一半
4
、

公式法：⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数

22
a
、
b
、
c
的值（要注意它们

的符号）；⑶计算
b 4ac
；⑷当
b 4ac 0
时，将
a
、
b
、
c
的值代入求根公式，求出方

程的两个根；⑸当
b
4ac
时，方程没有实数根，就不必解了。

（开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍

的方法，适用任意方程，
其中：公式法计算较繁琐。

）

四、

一元二次议程根的判别式

1
、

定义：
b
2
4ac
叫做一元二次方程
aX
2
bX c 0
（
a 0
）
的根的判别式，通常用符号

“△”来表示，即△

=
b
2
4ac
o

2

2
、

一元二次方程
aX
2
bX c 0
（
a
⑴厶
=
b 4ac 0
⑵厶
=
b 4ac 0
⑶厶
=
b 4ac 0
0
）
的根的情况与△的关系：

方程有两个不相等的实数根。

方程有两个相等的实数根。

方程没有实数根。

3
、

由方程的情况求字母系数的值或取值范围

⑴如果说方程有实数根，那么

b
2
4ac 0
；

⑵注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件

五、

一元二次议程的应用

a 0
。

1
、

二次三项式的概念：形如（

a
、

b
、

c
都不为

0
）的多项式称为二次三项式。

2
、

二次三项式的因式分解：

⑴首先考虑能否提取公因式；⑵能否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。

3
、

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案

4
、

根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件：

⑴方程两边意义相同；

⑵方程两边单位一致；

⑶方程两边数值相等；

⑷方程全面地反映了题

中所有数量之间的关
系。

5
、

列一元二次方程解题的类型：

⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）

；

3


⑵增长（降低）率问题：如设基数为

次增长后为

a
（
1+x
）

2
；
a
，平均增长率为

x
，则第一次增长后为

a
（
1+x
）
,
第二

4


⑶利润（销售）问题：常用等量关系有：利润

件数、利润率
< br>=
售价
-
进价（成本）、总利润
=
每件的利润
X总

利润

进
价（或成本）

100
0
0
、售价
=
标价
X
打折数等
;
注意：解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。

第三章一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量

x
与
y
,
如果给定一个
x
值，相应地就确定了一

个
y
值，那么我们 称
y
是
x
的函数，其中
x
是自变量，
y
是 因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体

实数），分式（分母不为

0
）、二次根式（被开方数为非负数）

（
1
）

•
用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（
2
）

用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为

（
3
）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

自变

、实际意义几方面考虑。

0
的一切实数。

用偶次根式表示的函数
,
然后再求其公共范

量的取值范围是使被开方数为非负数的一

（
4
）若解析式由上述几种形式综合而成，

切实数。

须先求出各部分的取值范围，

围，即为自变量的取值范围。

（
5
）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

三、函数的三种表示法及其优缺点

（
1
）

关系式（解析）法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，

这种表示法叫做关系式
（解析）法。

（
2
）

列表法

把自变量
x
的一系列值和函数

y
的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫

做列表法。

（
3
）

图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、

函数图像

函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为

点的横、纵坐标，那么在
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象
.
用描点法画函数的图象的一般步骤

：

）注意：列表时自变量由小到

大，相差一
1
、

列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

样，有时需对称。

2
、

描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表

格中数值对应的各点。

3
、

连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）

五、

正比例函数和一次函数

。

1
、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量

x
,
y
间的关系可以表示成

y kx b
（
k
,
b
为常数，
k 0
）的形
式，则称
y
是
x
的一次函
数（
x
为自变量，< br>y
为因变量）。

特别地，当一次函数

y kx b
中的
b=0
时（即
y kx
）

（
k
为常数，
k 0
），称
y
是
x
的正比例函数，是一次函
数的特例。


5


2
、

一次函数的图像
：
所有一次函数的图像都是一条直线

3
、

一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数
y kx b
的图像是经过点（
0
，
b
）的直线；正比例函数

y kx
的图像是经

过原点（
0
，
0
）的直线。

k
的符

号

b
的符号

函数图像

图像特征

y

k

/

/


b>0

图像经过一、二、三象限，

随
x
的增大而增大。

y

0
/
x

k>0

y

k

b<0

图像经过一、三、四象限，

y

0 x

/

/

随
x
的增大而增大。

y

I



b>0

0
x


r



图像经过一、二、四象限，

随
x
的增大而减小

y

K<0

y

」

I

b<0

图像经过二、三、四象限，



1
0
、
%
、

------------



y

随
x
的增大而减小。

注：当
b=0
时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4
、正比例函数的性质

一般地，正比例函数

y kx
有下列性质：

6

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