(完整版)等比数列知识点总结
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 11:37
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细腻的反义词-
等比数列
知识梳理：
1
、等比数列的定义：
2
、通项公式：
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
，
q
称为
公比
a
n
1
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
B
0
，首项：
a
1
；公比：
q
q
n
m推广：
a
n
a
m
q
3
、等比中项：
q
n
m
a
n
a
q
n
m
n
a
m
a
m
2
A
ab
或
A
ab
（
1
）
如果
a
,
A,
b
成等比数列，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，
即：
注意：
同号的
两个数
才有
等比中 项，并且它们的等比中项
有两个
（两个等比中项
互为相反数）
2< br>（
2
）数列
a
n
是等比数列
a
n
a
n
1
a
n
1
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
< br>（
1
）当
q
1
时，
S
n
na
1
（
2
）当
q
1时，
S
n
a
1
1
q< br>n
1
q
a
1
a< br>n
q
1
q
5
、等比数列的判定方法：
a
1
a
1
q
n
A
A
B
n
A
'
B
n
A
'
（
A
,
B
,
A
',
B
'
为常数）
1
q
1
q
（< br>1
）用定义：对任意的
n
，都有
a
n
1< br>
qa
n
或
等比数列
a
n
1
q
(
q
为常数，
a
n
0)
{
a
n
}
为
a
n
2
（
2
）等比中项：
a
n
a
n
1
a
n
1
(
a
n
1
a
n
1
0)
{
a
n}
为等比数列
（
3
）通项公式：
a
n
A
B
6
、等比数列的证明方法：
依据定义 ：若
n
A
B
0
{
a
n
}
为等比数列
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
或
a
n
1
qa
n
{
a
n
}
为等比 数列
a
n
1
7
、等比数列的性质：
（
1
）当
q
1
时
n
1
①等比数列通项公式
a
n
a
1
q< br>指数函数，底数为公比
q
；
②前
n
项和
S
n
a
1
n
q
A
B
n
A
B
0
是 关于
n
的带有系数的类
q
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a1
q
n
a
1
a
1
qn
A
A
B
n
A'
B
n
A
'
，系
1
q< br>1
q
1
q
数和常数项是互为相反数的类指数函数 ，底数为公比
q
。
n
m
*
（
2
）对任何
m
,
n
N
，在等比数列
{< br>a
n
}
中，有
a
n
a
m
q
，特别的，当
m
1
时，便得
到等比数列的通项公式。因 此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（
3
）若
m
n
s
t
(
m
,
n,
s
,
t
N
)
，则
a
n< br>
a
m
a
s
a
t
。特 别的，当
m
n
2
k
时，得
*
a
n
a
m
a
k
2
注：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
（
4
）数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
为等比数列，则数列
{
为非零常数）均为等比数列。
（
5
）数列
{
a
n
}
为等比数 列，每隔
k
(
k
N
)
项取出一项
(a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍为等
比数列
（
6
）如果
{
a
n
}
是各项均为正数的
等比数列
，则数列
{l og
a
a
n
}
是
等差数列
（
7
）若
{
a
n
}
为等比数列，则数列
S
n< br>，
S
2
n
S
n
，
S
3< br>n
S
2
n
,
，成等比数列
（
8
）若
{
a
n
}
为等比数列，则数列< br>a
1
a
2
a
n
，a
n
1
a
n
2
a
2
n
，
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
成
等比数列
*
a
k
}
，
{
k
a
n
}
，
{
a
n
k
}
，
{
k
a
n
b
n
}
，
{
n
}
（
k
b
n
a
n
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
（
9
）①当
q
1
时，a
1
0
，则
{
a
n
}
为递 减数列
{
a
1
0
，则
{< br>a
n
}
为递减数列
{
②当
0<
q
1
时，
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
③当
q
1
时，该数 列为常数列（此时数列也为等差数列）
；
④当
q
0
时
,
该数列为摆动数列
. < br>（
10
）在等比数列
{
a
n
}
中，当项数为
2
n
(
n
N
)
时，
*
S
奇
1
S
偶
q