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2021年1月30日发(作者：安妮的仙境背景音乐)
溧阳易加益教育培训


内部资料

平行四边形、菱形、矩形、正方形、中位线

课程说明
:
本课程既是 对前面所学的全等三角形知识的综合与延伸，也是学习特殊平行四边
形的基础，
了解并掌握平行 四边形判别方法的探索过程，
从边、角、
对角线来研究平行四边
形，
使学生逐 步掌握几何推理的过程与研究方法；
并能对平行四边形的性质与判定进行初步
应用。

（一）平行四边形

一、概念
定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。


二、平行四边的
性质

1
、

平行四边形对边平行且相等；



































2
、

平行四边形对角相等；

3
、

平行四边形对角线互相平分；

4
、

平行四边形邻角互补；

5
、

平行四边形的对边相等，对角相等。


三、平行四边形的
判定方法

1.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

2.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

4.
对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

6.
一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。


（二）菱形

一、
定义
：在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。


二、主要
特点


1
、对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。

2
、四条边都相等。

3
、对角相等，邻角互补。

4
、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形，中心对称
点是 它的对角线交点。

5
、在
60
°的菱形中，短对角线等于边长，长 对角线是短对角线的根号
3
倍。

6
、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。


三、
判定定理

1
、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2
、四边相等的四边形是菱形。

3
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

依次连接四边形各边中点所得的 四边形称为
中点四边形
。不管原四边形的形状怎样改
变，
中点四边形的形状始 终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形
。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边

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形，特殊之处就是“有 一组邻边相等”
，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形
的判定方法。

面积公式


(1) S=
底×高（即菱形的面积等于底乘以高）
；

(2) S=1/2
（对角线×对角线）
（即菱形的面积也等于对角线乘积的一半
)

；


（三）矩形

一、主要
特点




①两条对角线相等；

②两条对角线互相平分；

③两组对边分别平行且相等；

④四个角
都是直角；

⑤有
2
条对称轴
（正方形有
4
条）
。

⑥既是中心对称图形，
也是轴对称图形。

⑦
将矩形面积平均分成两部分的直线必经过中心对称点。⑧长方形属于平行四边形


二、
判定定理

①有一个角是直角的
平行四边形
是矩形。
（定义）

②对角线相等的
平行四边形
是矩形。

③有三个角是直角的
四边形
是矩形。


（四）正方形

一、主要
特点

1
、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

2
、内角：四个角都是直角；

3
、对角线：对角线互相垂直；对角 线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；对角
线相等；

4
、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）
。

5
、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

6
、
特殊性质：
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，
对角线与
边的夹角是
45
°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

7
、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的
78.5%
；

正方形外接
圆面积大约是正方形面积的
157%
。

8
、正方形是特殊的长方形。

9
、正方形的中点四边形是正方形，面积之比是
1:2
。


二、
判定定理


1
：对角线相等的菱形是正方形。

2
：有一个角为直角的菱形是正方形。

3
：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4
：一组邻边相等的矩形是正方形。

5
：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6
：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7
：对角线互相垂直
,
平分且相等的四边形是正方形。

8
：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9
：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

10
对角线垂直且相等且每条对角线平分一组对角的平行四边形是正方形

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