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2021年1月30日发(作者：独自等待百度影音)
九章算术与高考数学创新题
1
．
《九章算术》
“
竹九节”
问题：现有一根
9
节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面
4
节的
容积共
3
升，下面
3
节的容积共
4
升 ，则第
5
节的容积为
________
升．

1.
【解析】

设自上第一节竹子容量为
a1
，则第九节容 量为
a9
，且数列
{an}
为等差数列．

a1
＋
a2
＋
a3
＋
a4
＝
3
，
a7< br>＋
a8
＋
a9
＝
4
，即
4a5
－< br>10d
＝
3
，








①

3a5
＋
9d
＝
4
，















②








联立
①②
解得
a5
＝

67
.
66

2.
《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比 西方早一千多年，
其中有这样一个问题：
“
今有圆材埋在壁中，
不知大小．< br>以锯锯之，
深一寸，
锯道长一尺．
问
径几何？
”
其意 为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯
口深
1
寸，锯 道长
1
尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为
1
丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示
(
阴影部分为镶嵌在墙体内的部分
)
．< br>
已知弦
AB
＝
1
尺，弓形高
CD
＝
1
寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为
(


)
5
(
注：
1
丈＝
10
尺＝
100
寸，
π≈3.14
，
sin
22.5°≈
13
)

A
．
600
立方寸



B
．
610
立方寸




C
．
620
立方寸




D
．
633
立方寸

2. [
解析
] < br>连接
OA
、
OB
，
OD
，设
⊙
Ο< br>的半径为
R
，

则
(R
－
1)2
＋
52
＝
R2
，
∴
R
＝
13.
< br>AD
5
sin
∠
AOD
＝
AO
＝
1 3
.

∴
∠
AOD
＝
22.5°
，即

∠
AOB
＝
45°
.

45π×132
1
∴
S
弓形
ACB
＝
S
扇形
OACB
－
S
△
OAB
＝
360
－
2
×10×1 2≈6.33
平方寸．

∴
该木材镶嵌在墙中的体积为
V
＝
S
弓形
ACB×100≈633
立方寸．选
D.

3
．我国古代数学名著《九章算术》有
“
米谷粒分
”
题：粮仓开仓 收粮，有人送来米
1534
石，验得米内
夹谷，抽样取米一把，数得
254< br>粒内夹谷
28
粒，则这批米内夹谷约为（



）

A
．
134
石











B
．
169
石











C
．
338
石












D
．
1365
石

3.
【解析】依题意，这批米内 夹谷约为
28

1534

169
石，选
B
．

考点：用样本估计总体．

254

4
．我 国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

1< br>1
1
1
第一步：构造数列
1
，
2
，
3
，
4
，
…
，
n
.①

第二步： 将数列
①
的各项乘以
n
，得数列
(
记为
)a1，
a2
，
a3
，
…
，
an.

则
a1a2
＋
a2a3
＋
…
＋
an
－< br>1an
等于
(


)

A
．
n2

B
．
(n
－
1)2








C
．
n(n
－
1)

D
．
n(n
＋
1)
n
n
n
n< br>n
n
1
1
1
4.
【解析】

a1a 2
＋
a2a3
＋
…
＋
an
－
1an
＝
1
·
＋
·
＋
…
＋
·
＝
n2[
＋
＋
…
＋
]

2
2
3< br>1·
2
2·
3
n
－
1
n
（
n
－
1
）
n
n
－
1
1
1
1
1
1
＝
n2[1
－
2
＋
2
－< br>3
＋
…
＋
－
n
]
＝
n2·
n
＝
n(n
－
1)
．

n
－
1
1
/

91

5< br>．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前
344
年商鞅督造一
种标准量 器
——
商鞅铜方升，其三视图如图所示
(
单位：寸
)
若
π
取
3
，其体积为
12.6(
立方寸
)，则图中的
x
为
________
．

5. [
解析
]
由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成：

1
(5.4
－
x)×3×1
＋
π·(
2
)2x< br>＝
12.6
，解得
x
＝
1.6.

6
．中国古代数学名著《九章算术》中的
“
引葭赴岸
”
是 一道名题，其
内容为：
“
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐． 问水深葭长各几何
”
意为：今
有边长为
1
丈的正方形水池的中央生长 着芦苇，长出水面的部分为
1
尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与
水岸齐接，问水深芦苇的 长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为
ABCD
，芦苇根
部O
为
AB
的中点，顶端为
P(
注芦苇与水面垂直
)．在牵引顶端
P
向水岸边中点
D
的过程中，当芦苇经
过
DF
的中点
E
时，芦苇的顶端离水面的距离约为
________
尺 ．
(
注：
1
丈＝
10
尺，
601
≈24. 5)


6. [
解析
]

设水深为
x
，则
x2
＋
52
＝
(x
＋
1)2
，解得：
x
＝
12.

∴
水深
12
尺，芦苇长
13
尺，

以AB
所在的直线为
x
轴，芦苇所在的直线为
y
轴，建立直角坐标 系，

在牵引过程中，
P
的轨迹是以
O
为圆心，半径为13
的圆，其方程为
x2
＋
y2
＝
169
，< br>
(
－
5≤x≤5
，
12≤y≤13)
，
①

5
24
E
点的坐标为
(
－
2
，
1 2)
，
∴
OE
所在的直线方程为
y
＝－
5
x
，
②

由
①②
联解得
y
＝
16 9×576
13×24
624
601
≈
24.5
＝
49
.

624
36
则此时芦苇的顶端到水面的距离为
49
－
12
＝
49
.


7
．
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早
1
千多年．例如堑堵指底面 为直
角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底
面的四棱锥， 鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．

如图，在堑堵
ABC-
A1B1C 1
中，
AC
⊥
BC.

(1)
求证：四棱锥
B-
A1ACC1
为阳马，并判断四面体
A1CBC1
是否为鳖臑，

若是写出各个面的直角
(
只写出结论
)
．

( 2)
若
A1A
＝
AB
＝
2
，当阳马
B-< br>A1ACC1
体积最大时．

①
求堑堵
ABC-
A1 B1C1
的体积；
②
求
C
到平面
A1BC1
的距离 ．

7.

[
解
] (1)
证明：由堑堵
ABC-
A1B1C1
的性质知：四边形
A1ACC1
为矩形．

∵
A1A
⊥
底面
ABC
，
BC
⊂
平面
ABC
，

∴
BC
⊥
A1A
，又
BC
⊥
AC
，
A1A∩AC
＝
A.


A1A
，
AC
⊂
平面
A1ACC1.

∴
BC
⊥
平面
A1ACC1
，

∴
四棱锥
B-
A1ACC1
为阳马，

且四面体< br>A1CBC1
为鳖臑，四个面的直角分别是
∠
A1CB
，
∠< br>A1C1C
，
∠
BCC1
，
∠
A1C1B.
(2)
∵
A1A
＝
AB
＝
2.

由
(1)
知阳马
B-
A1ACC1
的体积

1
1
2
1
1
4
V
＝
3
S
矩形
A1ACC1·
BC
＝
3
×A1A×AC×BC
＝< br>3
AC×BC≤
3
(AC2
＋
BC2)
＝
3
×AB2
＝
3
.


2
4
当且仅当
AC
＝
BC
＝
2
时，

Vmax
＝
3
，此时

1
①
堑堵
ABC-
A1B1C1
的体积
V′
＝
S
△
ABC·
AA1
＝
2
×
2×
2×2
＝
2.

②
由题意与题图知，

1
2
V
三棱锥
B-
A1AC
＝
V
三棱锥
B-
A1C1C
＝
2
V
阳马
B-
A1ACC1
＝
3
.

又
A1C1
＝
2
，
BC1
＝
BC2
＋< br>C1C2
＝
6
，

1
2
设
C
到平面
A1BC1
的距离为
d.

则
3
S
△
A1BC1·
d
＝
3
.


1
1
2

即
3
·
2 ×
6·
d
＝
2
3
，



∴
d
＝
4
2
＝
3
3.

2×
6

8
．我国古代数学名著《九章算术》中
“
开立圆术
”
曰
:
置积尺数
,
以十六乘之
,
九而一
,
所得开立方除之
,
即立
圆径
.
“
开立圆术
”
相当于给出了已知球的体积
V
,
求其直径
d< br>的一个近似公式
d

些类似的近似公式
.
根据
π
=3.14159
3
16
V
.
人们还用过一
9
判断
,
下列近似公式中最精确的一个是

（


）

3
3
21
3
300
16
3
V

V

D
．
d

V

A
．
d

B
．
d

2
V

C
．
d

9
157
11
8.
【解析】根据球 的体积公式求出直径，然后选项中的常数为
a
：
b
，表示出
π
，将四个选项逐一代入，
求出最接近真实值的那一个即可．由
V

4

d
3
6
V
a
(
)

d

3

设选项中的常数为

，则可知
3
2

b
6
b
6

9
6
6

157
选项
A
代入得
选项
B
代入得
π=
=3
，
选项
C
代入可知


，



3.375
，



3.14
，a
16
2
300
6

11
选项
D代入可知



3.142857
，故
D
的值 接近真实的值，故选
D.
21

9
．
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，

如图
2
，在鳖臑
PABC
中，
PA
⊥
平 面
ABC
，
AB
⊥
BC
，且
AP=AC=1
，过
A
点分别作

AE
⊥
PB
于
E
、

AF
⊥
PC
于
F< br>，连接
EF
当
△
AEF
的面积最大时，
tan
∠
BPC
的值是

A
．
2






B
．
3
2






C
．
3






D
．








（





）

3
2
9.
【解】显然
BC

平面
PAB< br>，则
BC

AE
，又
PB

AE
， 则
AE

平面
PBC
，故
AE

EF，
且
AE

PC
，结合条件
AF

P C
得
PC

平面
AEF
，所以
△
AEF< br>、
△
PEF
均为直角三角
形，由已知得
AF

2
2
，而
S
△
AEF

1
1
1
1
AE
EF
≤
(
AE
2

EF< br>2
)

(
AF
)
2

，当且仅当< br>AE

EF
时，
2
4
4
8
1
EF
2
1
取
“=”
，所以，当
AE

E F

时，
△
AEF
的面积最大，此时
tan
BPC

，故选
B
．


2

PF
2
2
2
2
3
/

93

10
．
《九章算术》之后，人们进 一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，
《张丘建算经》卷上第
22
题为：
“
今有女善织，日益功疾（注：从第
2
天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织
5
尺
布，现在一月（按
30
天计）
，共织< br>390
尺布
”
，则从第
2
天起每天比前一天多织（





）尺布．

A
．
1
8
16
16





B
．






C
．





D
．

2
15
31
29
30

29
16
，故选
D
．

d
，解得
d

2
2 9
10.
【解析】由题可知每天的织布量构成首项是
5
，公差为
d< br>的等差数列，且前
30
项和为
390
．根据等
差数列前
n
项和公式，有
390

30

5


11
．如图，在杨辉三角形中，斜线
l
的上方，从
1
开始箭 头所示的数组成一个
锯齿形数列：
1,3,3,4,6,5,10,…
，记其前
n
项和为
Sn
，则
S19
等于

（




）

A
．
129










B
．
172




C
．
228










D
．
283
11.
【 解】选
D
．杨辉三角形的生成过程，
n
为偶数时，
a
n
n
为奇数时，
a1=1
．
a3=3
，
an+ 2=an+an-1=an+
n

4
，

2
n

3
，

2
n
2

4
n

3
n

1
∴
a3-a2= 2
，
a5-a3=3
，
…an
-an-2=
，
an=
，

8
2
∴
S19=a1+a3+…+a19+
（
a2+a4+ …a18
）
=
（
1+3+6+…55
）
+
（
3+4+5+…+11
）
=220+63=283.
，

12
．公元前
3
世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：
“
球的体积（
V
）与它的直径（
D
）的立
方成正比
”
，此即
V

kD
3
，欧几里得未给出
k
的值．< br>17
世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了
解，他们将体积公式
V

kD
3
中的常数
k
称为
“
立圆率
”< br>或
“
玉积率
”
．类似地，对于等边圆柱（轴截面是
正方形的圆 柱）
、
正方体也可利用公式
V

kD
3
求体
积
（在等边圆柱中，
D
表示底面圆的直径；
在正方体中，
D
表示棱长）
．
假设运用此体积公式求得
球
（直径为
a
）< br>、
等边圆柱
（底面圆的直径为
a
）
、
正方体
（棱长为
a
）
的
“
玉
积率
”
分别为
k
1
、
k
2
、
k
3
，那么
k< br>1
:
k
2
:
k
3
（



）

A
．


1
1
1


:
:





B
．
:
:
2





C
．
2:3:
2





D
．
:
:1

6
4
4
6

6
4
3
4
4

a



12.
【解析】选
D
．
V
1


R
3





a
3

k
1


3
3

2

6
6



a

V
2


R
2
a




a

a
3

k
1

4
4

2

k
1
:
k
2
:
k
3

2

，

V
3

a
3

k
3

1






:
:1
。

考点：类比推理

6
4

4

-

-

-

-

-

-

-

-