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2021年1月30日发(作者：流浪歌)

《
九章
算术
》
与
《
几
何
原本
》
的
一
些
比
较

摘要《九章算术》与《几何原本》
是古代东西方数学上的两个代表
,
对东西 方数学发展分别
产生过重大的影响
,
此文对它们之间进行比较
,
进 而试探性地回答它们对现代数学发展所产
生程度不同的影响
.
关镇词九章算术
,
几何原本
,
比较
《九章算术
)(
以下称
《九章》
)
与
《几
何原本》
(
以下称
《原本》
)
是古代东西方数学上的两个代表
,
对 东西方数学发展分别产生
过重大影响
.
它们无论是在编排体系或其它方面都有着不同的 特点
.
以下从若干方面对两者
进行比较
.
1
体系

《九章》
的体系是全书共
246
个算术题目
,
同一类型的计算问题归为一章
,
共九章
.
在每一
章里先给出算术题
,,
然后给出答案
,
相同计算方法的题目放在一起
,
在这些题后总体给出
“术”

即计算方法
..
《原本》
的体系是全书共分
15
卷
,
相同的内容也集中在一起
,
如第一
卷、
第二卷为直线形
,
第三卷第四卷为圆
,
第五卷讲比例等等
.
编排上在每卷首给出本卷所
需概念的定义
(
在第一卷还给出了
5
个公设和
5
个一般概念为全书使用
) ,
然后讲命题
(
包
括作图题和证明题
) ,
如第
2
卷讲了
48
个命题
,
第
3
卷讲了
14
个命题等
,
由此可以看出两
书在编排体系上有很大差别
..
2
内容

《九章》
中的内容主要属于现今的初等数学内容
,
其中以代数内容为主
,
涉及到几何部分亦
以代数处理
.
而
《原本》
主要涉及现今的初等几何
,
涉及到代数部分如比例运算等亦以几何处理
.
也就是
说《九章》以代数为主
,
而《原本》以几何为主
.
3
与实际的联系

《九章》
与外界关系是极为密切的
,
其中的每一间题均为日常生活中的实际间题
,
如田地丈
量、钱粮分配等
,
《原本》与外界几乎毫无关系
,
开始给出定义、公设和一般概念
,
然后根
据它们去解决一个个命题
,
可以说《九章》是开放性的而《原本》是封闭的从而《九章》具
有广泛的实用价值
,
相对来说《原本》就差得多了
.
4
具体与抽象

《九章》中的向题是具体的
,
而《原本》却是很抽象的
.
从而《九章》易为一般人所接受
,
《原本》却不能
.
5
逻辑性

《九章》
中的问题由于是实际间题的排列
,
所以并无逻辑性可言
.
而
《原本》
却有比较严格
的逻辑性
.
命题中所运用的概念
,
一般必须是前面已定义的
,
前面命题可以作为后面命题
的推理根据
,
而不能由后面的命题来推导
,
在任一命题的推导中
,
必须做到每前进一步都
有根据
,
这根据必须是在本命题前已出现过的

以上从五个方面对《九章》和《原本》进行了比较

《九章》
对东方数学产生的影响是很大的
.
在中国本身
,
自
《九章》
出现后
,
一直是作为基
本的数学书而加以研究 或是作为教材
,
这种状况一直到西方数学的传入
,
可以说《九章》代
表了中国的古代数学
,
另外《九章》也传到了日本、印度、阿拉伯、朝鲜等国
,
使这些国家
的数学深受
《九章》
的影响
.
今天
,
许多国家的有关人士仍在致力于对
《九章》
的研究
.
《原
本 》
对世界数学的影响是巨大的在
《原本》
基础上产生了现代数学的许多分支
,
它使现代数
学得益非浅
,
特别是它的公理化方法成为任何一个数学分支成熟的标志
,
即使现在全世界
中学生仍在学习主要是来源于
《原本》
的几何知识
,
《几何》
成为中学生的必修课，
比起
《九
章》来说
,
《原本》对世界数学的影响更深，更广

·。
为什么会出现这样的差别呢
?

尽管数学来源于实际
,
但却是抽象化的实际
,
它以抽象的手段去表现实际
,
去发展本身
.
如
果一门数学一直停留在对实际问题的研究上
,
那么它是很难发展的
.
《九章》
的研究成果在
当时的世界处于领先地位
,
但终究没有对现代数学产生重大影响
,
这也许是间题的根本在，
我们是否由 此可以得出
《九章》
在现代已没有什么价值呢
?
不能
!
数学发展到今天
,
由于电
子计算机的出现
,
计算数学已 成为和基础数学、应用数学相并列的门类，由于《九章》
中的
间题代数化
,
一切由计算解决
,
从而使
《九章》
在今天重新放出光彩
,
人们正重新认识其价
值
.
可预料的将来
,
《九章》的影响将不仅是东方而是世界，而来源于《原本》的中学几何
课
,
由于其难以理解
,
又不贴近现实
,
尽管有争议
,
许多国家已从中学数学课中大幅削减
,
甚至完全砍去
.
可以肯定
,
《九章》比《原本》具有更强的生命力



<<
几何原本
>>



各卷简介



第一卷：几何基础。
重点内容有三角形全等的条件，
三角形边和 角的大小关系，平行线
理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是

毕达哥拉斯定理
的正逆定理；



第二卷：几何与代数。 讲如何把三角形变成等积的正方形；其中
12
、
13
命题相当于余
弦 定理。



第三卷：讨论了圆与角。



第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；



第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论



第六卷：讲相似多边形理论；



第五、
第七、
第八、
第九、
第十卷：
讲述比例和算术的理论；
第十卷是篇幅最大的一卷，< br>主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。



第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容。




从这些内容可以看出，
目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在< br>《几
何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准< br>教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几
何。< br>

九章算术》的九章的主要内容分别是
：



第一章
“
方田
”
：田亩面积计算；



第二章
“
粟米
”
：谷物粮食的按比例折换；

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