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2021年1月30日发(作者：小笼包起源)

九章算术刻本《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算
经十书中最 重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的
数学成就。同时，《九章算术》在数学 上还有其独到的成就，不仅最早提到分
数问题，也首先记录了盈不足等问题，
“
方程< br>”
章还在世界数学史上首次阐述了
负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有 作者，它是一本综合性
的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

目录

简介

主要内容

主要特点

数学成就

历史考证

后世影响

历史影响

简介

《九章算术》是中国 古代数学专著，是《算经十书》
(
汉唐之间出现的十部
古算书
)
中最 重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说
:“
周公制礼而有
九数，九数之流则 《九章》是矣
”
，又说
“
汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆
以善算 命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多
近语也
”
。《九 章算术》

根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前
期， 但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》
(
班固根据刘歆
《七略》写 成者
)
中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无
《九章算术》，可 见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》

1

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载其侄孙马续
“
博览群书，善《九章算 术》
”
，马续是公元
1
世纪最后二、三十
年时人。再根据《九章算术 》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本
《九章算术》的成书年代大约是在公元
1世纪的下半叶。九章算术将书中的所
有数学问题分为九大类，就是
“
九章
”
。
1984
年，《九章算术》

在湖北出土了《算数书》书简。据 考证，它比《九章算术》要早一个半世
纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句 也基本相
同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没
有直接受 到《算数书》影响。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习
和研究数学，许多人曾为它作过注释 。其中最著名的有刘徽
(263)
、李淳风
(656)
等人。刘、李等人的注 释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代，《九章算
术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九 章算术》还曾由政府进行过
刊刻
(1084)
，这是世界上最早的印刷本数学书。在现 传本《九章算术》中，最早
的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本
(1213)
，现藏于 上海图书馆
(
孤本，残，只
余前五卷
)
。清代戴震由《永乐大典》中 抄出《九章算术》全书，并作了校勘。
此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》 本
(1773)
等，
大多数都是以戴校本为底本的。作为一部世界科学名著，《九章算 术》在隋唐
时期即已传入朝鲜、日本。现在，它已被译成日、俄、德、法等多种文字。

编辑本段主要内容

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246
个与生
产、《九章算术》

生活实践有联系的应用问题，其中每道 题有问（题目）、答（答案）、术
（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一 题多
术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音
cui
）分、少广、
商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。

原作有插图，今传本已只剩下正文 了。《九章算术》共收有
246
个数学问
题，分为九章、它们的主要内容分别是：第一 章
“
方田
”
：主要讲述了平面几何
图形面积的计算方法。包括长方形 、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆
形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统 地讲述了分数
的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。第二章
“
粟米”
：谷物粮

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食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称
为衰分 术；第三章
“
衰分
”
：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定
了中国在高次方程数值 解法方面长期领先世界的基础。第四章
“
少广
”
：已知面
积、体积， 反求其一边长和径长等；第五章
“
商功
”
：土石工程、体积计算；除
给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章
“
均输
”
：合理摊派 赋
税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成
了包括今天正、 反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。
西方直到
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世纪末以后 才形成类似的全套方法。第七章
“
盈不足
”
：即双设法问
题；提出了 盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，
以及若干可以通过两次假设化为盈不足 问题的一般问题的解法。

这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。第八章< br>“
方
程
”
：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，勾 股定理求解

相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一
致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到
17
世纪才由莱
布尼兹 提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出
了正负术
——
正 负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组
时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界 数学史上一项重大的成就，第一次
突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到
7
世纪印 度的婆罗摩及多才认识负
数。第九章
“
勾股
”
：利用勾股定理求解的 各种问题。其中的绝大多数内容是与
当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a
、
b
、
c
分别
是勾股形的勾、股、弦，则，
m>n
。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到
了这个公式的几种特殊情况，直到
3
世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比
《九章算术》晚约
3
个世纪了。勾股 章还有些内容，在西方却还是近代的事。
例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到
19< br>世纪末才由美国的数论学家
迪克森得出。

编辑本段主要特点

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联
系实际，以解决人们生产、生 活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以

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致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或 仿其体例着书；甚至
西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内《九章算术》

的数学知识纳入九章的框架。然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺
点：没有任何数学概念的 定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年
(263
年
)
，刘徽给《九章 算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。刘徽是中国数学家之
一。他的生平现在知之甚少。据考证，他是山 东邹平人。刘徽定义了若干数学
概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方 法和
命题，他在数学理论方面成绩斐然。刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭
示了概念的本 质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用
概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数 相与者谓之率，把率定义为数量的相
互关系。

又如他把正负数定义为今两算得失相反 ，要令正负以名之，摆脱了正为
余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。《 九章
算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了
中算中久已使 用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只
要找出其中的各种率关系，通过乘以散之 ，约以聚之，齐同以通之，都可以归
结为今有术求解。一平面
(
或立体
)图形经过平移或旋转，其面积
(
或体积
)
不变。
把一个平面(
或立体
)
图形分解成若干部分，各部分面积
(
或体积
)
之和与原图形面
积
(
或体积
)
相等。基于这两条不言自明 的前提的出入相补原理，是中国古代数学
进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理 ，成功地证明
了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的
正确 性。

编辑本段数学成就

《九章算术》中的数学成就是多方面的：
(1)
、在算术方面的主要成就有分
数运算、比例问题和
“
盈不足
”
算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分
数运算的著作，在第

二、三 、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。
“
盈不足
”
算法
需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为
“
双设法
”
，有人认为它 是
由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．《九章算术》中有比较完整的分数计算方

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法，包括四则运算， 通分、约分、化带分数为假分数
(
我国古代称为通分内子，
“
内
”< br>读为纳
)
等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。分数加减运算，《九章算
术》 已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是
“
母互乘子，并以为实 ，母相乘为法，实如法而一
”
这里
“
实
”
是分子。
“
法
”
是分
母，
“
实如法而一
”
也就是用 法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到
两点：其一是运算结果如出现
“
不满 法者，以法命之
”
。就是分子小于分母时便
以分数形式保留。其二是
“
其母同者，直相从之
”
，就是分母相同的分数进行加
减，运算时不必通分，使分子直 接加减即可。《九章算术》中还有求最大公约
数和约分的方法。求最大公约数的方法称为
“更相减损
”
法，其具体步骤是
“
可半
者半之，不可半者，副置分 母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等
数约之。
”
这里所说的
“< br>等数
”
就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母
都是偶数，可以折半的 先把它们折半，即可先约去
2
。不都是偶数了，则另外摆
(
即副置
)
分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减
数相等，即得等数。在《 九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各
种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食 间互换的比率如下：
“
粟米
之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，< br>„„”(
图
1
－
23)
这是说：
谷子五斗去皮可得糙 米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，
„„
。例如，粟米章第一题：
“
今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何
”
。它的解法
是：
“
以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一
”
。《九章算术》第
七章
“
盈不足
”
专讲盈亏问题及其解法其中第一题：
“
今有
(< br>人
)
共买物，
(
每
)
人出八
(
钱< br>)
，盈
(
余
)
三钱；人出七
(
钱
)
，不足四
(
钱
)
，问人数、物价各几何
”
，
“
答曰：七
人，物价
53(
钱
)
。
”“
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘
(
即交
错相乘
)
所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一
„„
置所出率，以少减
多，余，以约 法、实。实为物价，法为人数
”
。盈不足术是中国数学史上解应用
问题的一种别开生面 的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不
足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为
“
契丹算
法
”
，后来又传入欧洲，中世纪时期“
双设法
”
曾长期统治了他们的数学王国。
(2)
、《九章算术 》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和
勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式 和勾股定理的应用。《九章算术》
方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。《九章算术》方 田章第
一题
“
今有田广十五步，从
(
音纵
zong)
十六步。问为田几何。
”“
答曰：一亩
”
。这
里
“
广
”
就是宽，
“
从
”
即纵，指其长度，
“
方田术曰：广从步数相乘得积步，
(
得积

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