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2021年1月30日发(作者：奇想)
《九章算
术
》
对
中国古代和
现
代数学的影响

：

近代着名科学家伽利略曾提到
“
自然
这
本 大
书
是用数学的
语
言写成的。
”
数学不
仅
在人
类
探索宇宙和研究自然的
过
程中起到了重要的作用
,
而 且作
为
一种生
产
工具和
认识
世界的方法
论
,
在人
类
社会的不同
时
期
,
对
社会的发
展和
进
步都起了至关重要的
作用。中国最早
记载
数学 史料的是《甲骨文
书
》
,
从
结绳计
数到算
术
、几何、再到
微
积
分
,
都包含了人
类
共同智慧的
结
晶。而《九章算
术
》就是中国古代数学着作中
最
闪
亮的一
颗
星。

一、《九章算
术
》
对
中国古代数学的影响

《九章 算
术
》在
汉
朝
时
期着成
,
但是它所
记载
的内容可以追溯到公元前
7
世
纪
。在
书
中涉 及到了
农业
、商
业
、工程、
测
量、方程解法以及直角三角形 的性
质
等。它是
中国古代数学知
识
的
缩
影
,
全
书
包含
246
道
应
用
问题
,
分成九章
编
写。分
别为
:
方田
———
以御 田畴界域
;
栗米
———
以御交
质变
易衰分
———< br>以御
贵贱
禀税少广
——
—
以御
积幂
方
圆
商功
———
以御功程
积实
均
输
———
以御
远
近
劳费
盈不足
———
以
御
隐杂互
见
方程
———
以御
错
糅正
负
勾股< br>———
以御高深广
远
在
书
中
,
在每个
问题
之后
,
不
仅给
出
问题
的答案
,而且
还给
出相
应
的方法。在一部分
类
似的
问题
后
,
又
统
一
对
方法加以
说
明,
体
现
出数学是一个
举
一反三的
过
程。同时
,
这
也反
应
出数学
这门
科学是通
过 对
生活中的事物
进
行
观
察、比
较
、分析、
归纳
概括后的
产
物
,
是源于生
活又
应
用于 生活的。

(
一
)
《九章算
术
》的内容

《九章算
术
》第一章
(
方田
)
的内容是求
长
方形、正方形、
圆
形等
图
形的面
积计
算公
式
;
第二章
(
粟米
)
的内容是谷物粮食的按比例折
换
;
提出比例算法
,
称
为
今有
术
;第三
章
(
衰分
)
的内容是比例分配
问题
,并介
绍
了开平方、开立方的方法
,
其程序与
现
今程序基本一致。
这
是世界上最早的多位数和分数开方法
则
。它奠定了中国在 高次方程
数
值
解法方面
长
期
领
先世界的基
础
。第四章
(
少广
)
内容是已知面
积
、体
积
,
反求其
一
边长
和径
长
等
;
第 五章
(
商功
)
的内容是土石工程、体
积计
算
;除
给
出了各种立体体
积
公式外
,
还
有工程分配 方法
;
第六章
(
均
输
)
的内容是合理
摊< br>派
赋
税
;
用衰分
术
解决
赋
役的合理
负
担
问题
。今有
术
、衰分
术
及其
应
用方法
,
构成了包括今天正、反比例、
比例分配、复比例、
连锁< br>比例在内的整套比例理
论
。西方直到
15
世
纪
末以后 才形
成
类
似的全套方法。第七章
(
盈不足
)
专讲< br>盈
亏问题
及其解法
;
第八章
(
方程
)
的内容
可以
说
是
为
了研究粮食
产
量引出的
线
性方程
组
及其解法。它所提出的通
过
系数的矩
阵
消去法
,
直到今天
还
在使用。

这
种解法是最早 提出最完整的解决
线
性方程
组
的方法。第九章
(
勾股
)
中包含两部分
,
一部分就是勾股定理
———
也称
毕达哥拉斯定理。另一部分是根据相似直角三角形
的性
质
,
进
行高 、深、
宽
、
远
的
测
量方法。

因此
,
我
们
可以看出
,
《九章算
术
》首先是生活以< br>实际为
研究
对
象
,
得到的
结论
是通
过实
践中
观
察、
实验
、分析
归纳
的
结果
;
其次
,
它在内容上按照
问题
来
编
排
,
同
时
有
专题讲
解和基本的理
论
;最后
,
在
专题讲
解中
,
着重
逻辑
的叙 述
,
更便于研究和
应
用。

(
二
)
《九章算
术
》的影响

《九章算< br>术
》是世界上最早系
统
叙述了分数运算的着作
;
其中盈不足的 算法更是一
项
令人惊奇的
创
造
;“
方程
”
章
还
在世界数学史上首次
阐
述了
负
数及其加减运算法
则
。在代数方面
,
《九章算
术
》在世界数学史上最早提出
负
数概念及正
负
数加减法
法
则
;
中学
讲< br>授的
线
性方程
组
的解法和《九章算
术
》介
绍
的方法大体相同。
该书
的
一些知
识还传
播至印度和阿拉伯< br>,
甚至
经过这
些地区
远
至欧洲。《九章算
术
》成
书
后直至公元
16
世
纪
,
中国数学家所
编
写的数学方面的着作都是与它同体系的。其中
大多数算法典籍都仿效《九章算
术< br>》的
编
写体例
,
并且以其中的算法理
论
作
为 进
一
步研究的起点。着名数学家刘徽和祖冲之都
给
《九章算
术
》作
过
注
释
,
刘徽
为
《九
章算
术
》作注
时说
:“
周公制礼而有九数
,
九数之流
则
《九章》是矣
”
。并在注
释
的
过
程中展开了自己的 研究。另有一些数学家
给
自己的着作冠以
“
九章
”
之名,
以表
达追随《九章算
术
》的意向。《九章算
术
》很早
传
到
东
南
亚
等国
,
并且
对这些国家
的数学
发
展起了重要的启迪作用和促
进
作用。《九章算< br>术
》由于其内容的基
础
性决
定了
应
用的广泛性
,
其主要内容深刻
说
明了数学与
现实
生活的休戚相关
,< br>体
现
了数学
是多元复合体
,
也体
现
了数学的 合作性与民主性。其成
书过
程折射出的合作与民主
精神也是当代社会不可或缺的。《九 章算
术
》
对
古代中国数学
发
展的
贡
献包括
:(1)
多元一次方程的解法
,
相当于高斯消元法。
(2)
开方的
计
算方法
,
也反映了古代中国
算
术
的
发
展。
(3)
负
数的引入
,
特
别
是正< br>负
数的加减法
则
的定
义
等。《九章算
术
》是
先秦至
汉
代数学的系
统总结
,
对
于中国数学的发
展有着极
为
深
远
的影响
,
并且在中国
和世界数学史上都占有重要的地位。《九章算
术
》是以社会
经济
因素中所反 映出的
问题
来
选题
的
,
因此中国
传统
数学 与
实际
生活是
紧
密相
连
的。而且以后的数学着作
也 是延
续这
一思想
编
着
,
注重在
实际
生活中 提
炼
出数学
问题
,
并
给
出相
应
的 解决方法。

《九章算
术
》的精髓就是机械化思想
,
以构造 性与机械化
为
其特色的算法体系。其
实
,
算法就是所
谓的
“
术
”,
就是方法的意思。我国古代数学以解决
实际问题为< br>最
终
目
标
,
一切从
实际问题
出
发< br>,
形成算法
,
寓理于算
,
并
进
一步
应
用于解决各种
实际问题
;
同
时
,
数学的内容、思 想和方法的
发
展不受理
论
框架的限制
,
注重
实际< br>效果
(
如
负
数、
无理数的
创
立
),
并且在内容的表达形式上以
归纳
体系
为
主
……
。< br>
中国古代数学以《九章算
术
》
为
核心
,
并 日
渐
完
备
,
逐
渐
形成我国古代初等数学体系
,
不
仅
影响着世界数学的
创
造与
发
展
,
也
为
日后我国数学知
识
体系的不断完善与
发
展打下了
坚实
的基
础
。

二、《九章算
术
》
对
中国
现
代数学的影响

《九章算
术
》流
传
的繁荣
时
期是三国到唐代初期< br>,
特
别
是隋唐
时
期
,
不
仅
把它列
为
主
要的教科
书
在国内大量流
传
,
而且也
传
到了朝
鲜
、日本等
邻
国。而且早已有人
认 为
印度的几何学来源于中国和希腊。可
见
,
《九章算
术
》不
仅对
中国数学而且
对
世界
数学的影响都是深
远
的。 但是到了
14
世
纪
中期之后
,
中国古典数学
进入到了低落
时
期
,
而西方数学开始蓬勃
发
展起来。直到
16
世
纪
末
,
西方
传
教士将西方数学文化
传
入到中国
,
并且欧几里得的《几何原本》的前
6
卷在17
世
纪译
成中文
,
这
些都有力
地冲
击
了中国数学文化的
发
展。但是当
时
国内的数学模式仍然延
续
了《九章算
术
》
的精神
,
即着重解决
实际
的
应
用
问题
,
忽略了
对
于基本数学概念、定理的 探究。中国
传统
式数学一直
处
于
实
用主
义
的文化背景下
,
数学一直被
认为
是一种工具与手段
,
并没有
“
纯
数学
”
的哲学概念。因此直到
19
世
纪
,
西方
传
教士在中国
设
立学校
,
中国
学生开始接触西方
逻辑
体系的数学
书
,
这
种 情形才稍微有所改
变
。我国的教育工作
者
终
于意
识
到中国教育上存在的
问题
,
但是一直到了上世
纪
60
年代初 期
,
我国才开
始真正研究教学改革
问题
。人
们认识
到学生了解抽象
结论
的形成是
远远
不
够
的
,
还
应该让
学生
积
极地参与到
这
个
认
知< br>过
程中。由此将原来的注入式教学
转变为
启
发
式
教学 。

(
一
)
《九章算
术
》
对
中国
现
代数学教学思想的推
进

《九章算
术
》作
为
“
算
经
十
书
”
之首
,
它所体
现
出来的思想方法在很大程度上反映
了我国
传统
数学的基本思想方法
,
如开放式的
归纳
体系、算法化的内容、模型化的
方法等等。
这
些思想方法
对
于培养学生的数学能力有着重要的意
义
。

1.
数形
结
合思想

数形
结
合就是使抽象 思
维
和形象思想相互作用
,
实现
数量关系与
图
形性
质
的相互
转
化
,
将抽象的数学关系和直
观
的
图
形
结
合起来研究数学
问题
。在《九章算
术》中
,
如
“
方田
”
、
“
商功
”
章的平面
图
形和立体
图
形的求
积问题
,
都用数的
计
算
,
即着重于
考察
图
形中的数的关系< br>,
算出确定的数
值
。同
时
,
亦用形的直
观< br>来解
释
数的算法。在
《刘注》中
,
刘徽
“
析 理以辞
,
解体以
图
”,
将数的
计
算来解决形的研究
,
证
明了
书
中
的很多
问题
。其中他提出了
“
令出入相
补
,
各从其
类
”
的出入相补
原理
,
用
图
形的分、
合、移、
补证
明了不少数学恒等式
,
开
创
了中国古代数学中数形
结
合的独 特的研究
方法。

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