-

2021年1月30日发(作者：中华小)




..





九宫（又称洛书）



九宫图都知道吧，就是把
1~9
九个数字填到
3×3，使其每一横坚斜之和都相等，如下：



4 9 2


3 5 7


8 1 6


之后已经延伸成一种数字艺术，可以无限延伸（因为有规律可寻，据说有 人做到
1999X1999
，还是比这个更大来着？？？）



●●●●●●●●●●●●●●●



先说
5*5


17 24 1 8 15


23 5 7 14 16


4 6 13 20 22


10 12 19 21 3


11 18 25 2 9


●●●●●●●●●●●●●●●



4*4
在这里



16 2 3 13


5 11 10 8


9 7 6 12


4 14 15 1


●●●●●●●●●●●●●●●



古老而悠久的中华文化的宝 殿中，
有两颗璀璨夺目的明珠
--
河图洛书，
至今吸引着众多
学者的 研究热情，人们为河图洛书的神话般的传说，高深的奥义，
丰富的内容，简洁的形式
万分惊讶， 对河图洛书与中国的思想文化、社会科学、自然科学的密切联系更是迷惑不解。
种种论述表明，
河图洛书是中华文化的总源头，
对中国及世界文化的发展，
都有过深刻的影
响。然而， 令我们每个人吃惊和迷惑不解的是，河图洛书只是两个简单的数字图。



龙马载河图，神龟背洛书





河图洛书是我 们祖先创造出来的，
翻遍祖国的各种古典著作，
我们根本找不到这位
创始人。
河图洛书的产生，
至少要追溯到四千五百多年以前，
那时，
人类尚处于无文字时代，< br>人类的认识水平还十分低，
很难想象那时就有人能够制造出如此高深莫测的图书。
在我国 各
种古籍中，对河图洛书的起源，仅有两个龙马载河图，神龟背洛书的传说。



一、龙马载河图



相传远古时期的孟津河边，一天河 水忽然大涨，波浪滔天，水中有一巨兽，似龙非龙，
似马非马，
浪里飞腾。当时的伏羲黄帝与众 臣听到有人报告，
立即去河边观看，只见河中洪
涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如登平地，大体象马 却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形体象骆
驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人走近河边，将图案 记录下来，刚刚记下，怪兽即
没而不见。
后伏羲皇帝认真研究了这副图发现它正是由十种花点组 成，
这十种花点代表
1-10
这
10
个数，两种花点构成一组，布局 在东西南北中五个位置上，每组花点所表示的数，其
差均是
5.
这种和谐统一，四方对 称的特征，黄帝越研究越感到奇妙无比，后来他就依此画
八卦，建甲历，定时辰，治理国家。由于此幅图 是在孟津河中发现的，故称此图为河图。



二、神龟背洛书



公元前
23
世纪，
大禹治水的时候，
在黄河支 流洛水中，
有一天突然浮规出一个大乌龟，
当时，
大禹与治水士兵正在河边现察洛河水 情，
商议治理黄河大计，
遇到乌龟在河里上下翻
腾就十分奇怪，只见此龟行走水面，游 来游去，其身形庞大，甲背平圆。近处仔细观看，发
..
下载可编辑
..




..





现甲上载有
9
种花点的图案，
大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来，
带回去作了深入
的研究，他惊奇地发现，
9
种花点数正好是
1-9
这
9
个数，各数的位置排列也相当奇巧，纵
横六线及两条对角线上三数之和都为
15
，既均衡对称，又深奥有趣，在奇偶数的交替变化
之中似有一种旋转运动之妙。
大 禹受到启发，
他参照九数而划分天下雨九别，
并且把一般政
事也区分为九奥。据《史记 ．夏本纪》写道：夏禹治水时，“左准通、右规矩，载四时，以
开九州，通九道，陂九泽……”大禹治水 以九宫为据，应用到测量、气象、地理与交通运输
之中，
从而治理黄河，大获成功，受到黄河两 岸人们的拥戴。
由于神龟所背图是在黄河支流
洛水中发现，且图中内容如书一样深奥，故人们称 此为洛书。



构造法



这题奇数是有数学方法的，可以构造出解。描述起来比较麻烦。



出一解的构造法：



首先在整个矩阵的最下面一行的中央置
1
，



然后向右下方向顺序填上
2,3,4,5,6,7,……



注意碰到底的时候就将数翻到上面去，碰到右边的时候就翻到左面去


< br>比如
5*5
的幻方，如果
1
填在
(5,3)
处，2
就应该填在（
1,4
）处，
4
就应该填在（
3,1< br>）
处……



另外，当原数的下方已经有数时，要将要填入的数填到原数正上方


仍举
5*5
幻方的例子，当
5
已填好（
4
，
2
）时，其右下方为
1
，不能把
6
填在那里，而
应填在（3,2
）处，即
5
的上方。



最后，一个特殊的点，右下角，这时也应当将新数填在右下角的上方。



补充
:
戴九履一、左三右七、二四为肩、八六为足、五十居中



是指元素为自然数
1,2,…N*N
的
N×N
方阵，每个 元素值都不相等，每行、每列
以及主、副对角线上各
N
个元素之和都相等。如
3×3
魔方阵：

这个就是著名的九宫算术

6
1 8
7
5 3
2
9 4


9
个方格 ，要求在每个方格内填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上的
三个数字之和都相等

答案：九子斜排，上下相易，左右对换，四维挺出。



..
下载可编辑
..




..





九宫格游戏规则，
1
至
9
九个数字，横竖都有
3
个格，思考怎么使每行、每列两个对角线上
的三数 之和都等于
15
。这个游戏不仅仅考验人的数字推理能力，也同时考验了人的思维逻
辑 能力。



九宫格游戏对人们的思维锻炼有着极大的作用，从古时起人们便 意识到九宫的教育意
义。
千百年来影响巨大，
在文学、
影视中都曾出现过。< br>九宫格最早叫“洛书”，
现在也叫“幻
方” 。



在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八
为足。



还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左 放；
排重便在下格填，右上排重一个样。” 这口诀不仅适用于九宫
,
也适用于推广的 奇数九宫
,
如五五图
,
七七图等等
.



九宫格：



2 9 4


7 5 3


6 1 8


另：



九宫格为数独的“前身”，
最早起源于中国。
数千年前，
我们的祖先就发明了洛书，其
特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和 等于
15
，而非简
单的九个数字不能重复。
儒家典籍
《易经》
中的“九宫图”也源于此，
故称“洛书九宫图”。
而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发 展史上的重要地位而保存、沿用至今。



简单一点，
3×3方格中，
添上
1
至
9
，
横竖斜相加等于
15.
仔细研究，
包含太极，
两仪，易经等内容



..
下载可编辑
..




..





数独的历史
:
数独前身为“ 九宫格”，
最早起源于中国。
数千年前，
我们的祖先就发明了洛书，
其特点较 之现在的数独更为复杂，
要求纵向、
横向、
斜向上的三个数字之和等于
15< br>，
而非简单的九个数字不能重复。
儒家典籍
《易经》
中的“九宫图”也 源于此，
故称“洛书九宫图”。
而“九宫”之名也因
《易经》
在中华文化发展 史上的重要
地位而保存、沿用至今。



1783
年， 瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”
（
Latin Square）的游戏，这个游戏是一个
n×n
的数字方阵，每一行和每一列
都是由不重复的< br>n
个数字或者字母组成的。



19
世纪
70
年代，
美国的一家数学逻辑游戏杂志
《戴尔铅笔字谜和词语游戏》
（De ll Puzzle Mαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人
们称之为“ 数字拼图”（
Number
Place
），在这个时候，9×9
的
81
格数字游戏
才开始成型。



1984
年< br>4
月，
在日本游戏杂志
《字谜通讯
Nikoil
》
（
《パズル通信ニコリ》
）
上出现了“数独”游戏，
提出了“独立的数字”的概 念，
意思就是“这个数字只
能出现一次”或者“这个数字必须是惟一的”，并将这个游戏命名为 “数独”
（
sudoku
）。



一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（
Wayne
Gould
）在
1997
年
3
月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士 报》上发表，不
久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了
6
年时间编写了电 脑程式，
并将它放在网站上，
使这个游戏很快在全世界流行。
从此，
这个游戏 开始风靡全
球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀
手数 独。

标准数独的规则为：数独每行、每列及每宫填入数字
1-9
且不能重复

..
下载可编辑
..




..





数独的基本元素
:
单元格：数 独中最小的单元，标准数独中共有
81
个；



行：横向
9
个单元格的集合；



列：纵向
9
个单元格的集合；




宫 ：粗黑线划分的区域，标准数独中为
3×3
的
9
个单元格的集合；



已知数：数独初始盘面给出的数字；



候选数：每个空单元格中可以填入的数字。

数独终盘的排列组合
:
数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘的数字组合呢？


< br>6,670,903,752,021,072,936,960
（约有
6.67×10
的
21
次方）
种组合，
2005
年由
Bertra m
Felgenhauer
和
Frazer
Jarvis
计算出 该数字，如果将重复（如数
字交换、对称等）不计算，那么有
5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量
都如此惊人，
那么数独题目数量就更加不计其数了，
因为每个数独终盘都可以用
挖数的方法出很多个不同的数独题目。

基本解法举例


数独解法全是由规则衍生出来的，
基本解法分为两 类思路，
一
类为排除法，一类为唯一法。更复杂的解法，最终也会归结到这两大类中。

下
边以图示简单介绍几种解法，
只要你花几分钟看一遍，
马上就可以开始做数 独了。

]
基础摒除法

..
下载可编辑
..




..







基础摒除法就是利用
1
～
9
的数字在每一行、每一列、每一宫都只能出现
一次的规则进行解题的方法。
基础摒除法可以分为 行摒除、
列摒除、
九宫格摒除。



实际寻找解的过程为：



寻找九宫格摒除解：
找到了某 数在某一个九宫格可填入的位置只余一个的情
形；意即找到了

该数在该九宫格中的填入位置。



寻找列摒除解：
找 到了某数在某列可填入的位置只余一个的情形；
意即找到
了该数在该列中的填入位置。



寻找行摒除解：
找到了某数在某行可填入的位置只余一个的情形；
意即找到
了该数在该行中的填入位置。



基础摒除法的提升方 法是区块摒除法
,
是直观法中使用频率最高的方法之
一
.
唯一解法



当某行已填数字的宫格达到
8
个
,
那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那
个还没出现过的数字了。成为行唯一解.


当某九宫格已填数字的宫格达到
8
个
,
那么该九宫格剩余宫格能填的数字就
只剩下那个还没出现过的数字了。成为九宫格唯一解
.
[
编辑本段
]
唯余解法



唯余解法 就是某宫格可以添入的数已经排除了
8
个
,
那么这个宫格的数字就
只 能添入那个没有出现的数字
.
区块摒除法



区块 摒除法是基础摒除法的提升方法
,
是直观法中使用频率最高的方法之
一
.
余数测试法



所谓余数测试法就是在某行或列
,九宫格所填数字比较多
,
剩余
2
个或
3
个时
,
在剩余宫格添入值进行测试的解题方法
.
隐性唯一候选数法



当某个数字在某一列各宫格的候选数中只出现一次时，
那么这个数字就是这
一列的唯一候选数了．这个宫格的值就可以确定为该数字．

这时因为，按照数
独游戏 的规则要求每一列都应该包含数字
1
～
9
，而其它宫格的候选数都不含有..
下载可编辑
..




..





该数，则该数不可能出现在其它的宫格，那么就只能出现在这个宫格了．

对于
唯一候选数出现行
,
九宫格的情况，处理方法完全相同。

三链数删减法



找出某一列、
某一行或某一个九宫格 中的某三个宫格候选数中，
相异的数字
不超过
3
个的情形，

进而将这
3
个数字自其它宫格的候选数中删减掉的方法就
叫做三链数删减法。

隐性三链数删减法



在某行，
存在三个数字出 现在相同的宫格内，
在本行的其它宫格均不包含这
三个数字，
我们称这个数对是隐形三 链数．
那么这三个宫格的候选数中的其它数
字都可以排除．



当隐形三链数出现在列，九宫格，处理方法是完全相同的．






修改为：在某行，存在三个候选数字分别出现在三个宫格内，



在本行的其它宫格均不包含这三个数字，
我们称这个数对是隐形三链数．
那
么这三个宫格的其它候选数都可以排除．



当隐形三链数出现在列，九宫格，处理方法是完全相同的



或者：

利用“找出某
3
个数字仅出现在某行、某列或某一个九宫格 的某三
个宫格候选数中的情形，
进而将这三个宫格的候选数删减成该
3
个数字 ”的方法
就叫做隐性三链数删减法
(Hidden Triples)
。

]
矩形顶点删减法



矩形顶点删减法和直观法讲到的 矩形摒除法分析方法是一样的。
矩形顶点删
减法在识别时比较不容易找到，所以最好先使用其它 的方法。

三链列删减法



三链列删减法是矩形顶 点删减法的扩展，
如果不清楚矩形顶点删减法，
可以
参考矩形顶点删减法，以便于更容 易理解本节内容。

利用“找出某个数字在某
三列仅出现在相同三行的情形，进而将该 数字自这三行其他宫格候选数中删减
掉”；

或“找出某个数字在某三行仅出现在相同 三列的情形，进而将该数字自
这三列其他宫格候选数中删减掉”的方法

就叫做三链列删减法。






]
关键数删减法

..
下载可编辑
..




..







在进入到解题后期，
利用前面讲到的唯一候选数法、
隐性唯一候选数法、

区
块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、

三链数删减法、隐性三链数删减法、
矩形顶点删减法、

三链列删减法都无法 有进展的时候，可以考虑使用关键数删
减法。关键数删减法就是在后期找到一个数，这个数在行（或列， 九宫格）仅出
现两次的数字。我们假定这个数在其中一个宫格类，继续求解，如果发生错误，
则 确定我们的假设错误。
如果继续求解仍然出现困难，
不妨假设这个数在另外一
个宫格， 看能不能得到错误。这就是关键数删减法
.


排除法



当某一列，
某一行或某一宫里已填
7
个数字时，
可采用排 除法，
排除不可能
出现在这个格子的数，
从而确定格子里应该填什么数。
比如 某一行已填
1
，
3
，
4
，
5
，
7
，
8
，
9
，还剩
2
，
6
，而其中 一个空格所在的列上已有了
2
，可知这个空格里
不可能是
2
，那么另 外一个空格里一定是
2
，那么这个空格里一定是
6
。



当某一列，某一行或某一宫里已填
6
个数字时，也可采用排除法。

变形数独概述



数独发展到今天，
类型已经多种多样 ，
如果按不同条件细分绝不下百种，
而
且数量还在增加中。
大家平时可以常见 的变形数独，
如：
对角线数独、
锯齿数独、
杀手数独等等。




对角线数独

锯齿数独

杀手数独

九宫算术又叫数独，可以说是一种游戏！！












数 独顾名思义——每个数字只能出现一次。数独是一种源自
18
世纪末的瑞士，
后在美国 发展、
并在日本得以发扬光大的数字谜题。
数独盘面是
个九宫，
每一宫又分为 九个小格。
在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条
件，
利用逻辑和推理，
在其他的空格上填入
1-9
的数字。
使
1-9
每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。

这种游戏全面考验做题者观察能力和推
理 能力，
虽然玩法简单，
但数字排列方式却千变万化，
所以不少教育者认为数独
是训练头脑的绝佳方式！！

数独的历史
:
数独前身为“九宫格”，
最早起源于中国。
数千年前，
我们的祖先就发明了洛书，
其特点较之现在的数独更为 复杂，
要求纵向、
横向、
斜向上的三个数字之和等于
15
，
而非简单的九个数字不能重复。
儒家典籍
《易经》
中的“九宫图”也源于此，
..
下载可编辑
..

-

-

-

-

-

-

-

-