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2021年1月30日发(作者：乡村欲望)




分
式
基
础
)
识
讲
解
(
知

分式的概念和性质（基础）

【学习目标】

1.
理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为
0
的条件
.
2
．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算
.
【要点梳理】

要点一、分式的概念

一般地，如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字母，那么式子
A叫做分式
.
其中
A
叫做分子，
B
叫做分母
.
B
要点诠释：
（
1
）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.
分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的
商式
.
分式的分母中含 有字母；分数的分子、分母中都不含字母
.

（
2
）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般
性；分 数是分式中字母取特定值后的特殊情况
.

（
3
）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如
a
是整式而不能当作分式
.

x
2
y
< br>（
4
）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简， 如
是
x
分式，与
xy
有区别，
xy
是整式，即只看 形式，不能看化简的结果
.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件

1.
分式有意义的条件：分母不等于零
.
2.
分式无意义的条件：分母等于零
.
3.
分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.
要点诠释：
（
1
）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论 分母
中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零
.

（
2
）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等 于零
.

（
3
）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值
.
要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子
表示是：
A
A

M
A
A

M

，

（其中
M
是不等于零的整式）
.
B
B

M
B
B

M
程中不另强调；
M
≠
0
是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点
强调M
≠
0
这个前提条件
.
要点诠释：
（
1< br>）基本性质中的
A
、
B
、
M
表示的是整式
.
其中
B
≠
0
是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过
（< br>2
）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可< br>能发生变化
.
例如：
要点四、分式的变号法则

对于分式中的 分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，
分式成为 原分式的相反数
.
要点诠释：
根据分式的基本性质有
与

，在变形后，字母
x
的取值范围变大了
.

b
b

b
b

b
b
b
a
.
根据有理数 除法的符号法则有

，




.
分式< br>
a
a
a

a
a

a
a< br>b
a
互为相反数
.
分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的 作用
.
b
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改 变分式的值，这样的分式变形叫做
要点五、分式的约分，最简分式

分式的约分
.
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（
1
除外），那么这个分式叫做最简分 式
.
要点诠释：
（
1
）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即 约分后，分式的分子与分母再没有公因式
.
（
2
）约分的关键是确定分式的 分子与分母的公因式
.
分子、分母的公因式是分子、分母的系数的
最大公约数与相同因 式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因
式，使之转化为分子与分母是不 能再分解的因式积的形式，然后再进行约分
.


















分式的乘除（基础）

【学习目标】

1.
学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则
.
2.
会分式的乘法、除法运算
.
3.
掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算
.
【要点梳理】

要点一、分式的乘除法

1.
分式 的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
.
用字母表示为：
a
c
ac
，其中
a
、
b
、
c、
d
是整式，
bd

0
.

b
d
bd
2.
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒 位置后，与被除式相乘
.
用字母表示为：
a
c
a
d
ad
，其中
a
、
b
、
c
、
d
是整 式，
bcd

0
.




b
d
b
c
bc
要点诠释：
（
1
）分式的乘除 法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式
.
（
2
）分式与 分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘
.
（
3< br>）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是
1
的代数式）和分式的分子相 乘
作为分子，分母不变
.
当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分
.
（
4
）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式
.

要点二、分式的乘方

分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：

an

a




n
（
n为正整数）
.

b

b
a
n
an

a


a

要点诠释：
（
1
）分式乘方时，一定要把分式加上括号
.
不要把



n
写成




b

b

b

b


（
2
）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为 负
.
（
3
）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方 ，再算乘除，有多项式时应
先分解因式，再约分
.
n
n
n
a
2

b
2

a

b


a

b

（
4
）分式乘方时，应把分子、分母分 别看作一个整体
.
如

.




2
2
b
b

b

2
2





分式的加减（基础）

【学习目标】

1
．能利用分式的基本性质通分．

2
．会进行同分母分式的加减法．

3
．会进行异分母分式的加减法．

【要点梳理】

要点一、同分母分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

上述法则可用式子表为：

a
b
a

b
.


c
c
c
要点诠释：
（
1
）“ 把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式
时，括号可以 省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误
.
（
2
）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式
.
要点二、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母 同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不
同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的 通分
.
要点诠释：
（
1
）通分的关键是确定各分式的最简公分母： 一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母
.
（
2
）如果各分母都是 单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分
母都是多项式 ，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母
.
（
3
）约分和通分恰好是 相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言
.
要点三、异分母分式的加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
.
上述法则可用式子表为：

a
c
ad
bc
ad

bc
.




b
d
bd
bd
bd
要点诠 释：
（
1
）异分母的分式相加减，先通分是关键
.
通分后，异分母的 分式加减法变成同分母分式的加减法
.
（
2
）异分母分式加减法的一般步骤 ：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式
.

要点四、分式的混合运算

与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除 混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括
号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括 号的顺序计算
.
分式运算结果必须达到最简，能约分的要约
分，保证结果是最简分式或整式
.
要点诠释：
（
1
）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法 则是正确进行分式运算的基
础，要牢牢掌握
..
（
2
）运算顺序： 先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的
.
（
3
） 运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律
.
能灵活运用运算律， 将大大提高运
算速度
.

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