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2021年1月30日发(作者：唐山地震几级地震)
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10
、分式总复习


【知识精读】

A

定义：
（
A
、
B
为整式，
B
中含有字母 ）

B



A
A

M


通分：

(
M

0
)

B
B

M

性质


< br>约分：
A

A

M
(
M

0
)


B
B

M



5
1

分式

定义：分母含有未知数的方程。如



x

1
x

3



思想：把分式方程转化为整式方程







方法：两边同乘以最简公分母

分式方程

解 法




依据：等式的基本性质



注意：必须验根





应用：列分式方程解应 用题及在其它学科中的应用





【分类解析】

1.
分式有意义的应用

例
1.
若
ab

a

b

1

0
，试判断
1
1
，
是否有意义。

a
< br>1
b

1
分析：
要判断
1
1
，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分
a

1
b< br>
1
解，即可判断
a

1
，
b
< br>1
与零的关系。

解：

ab

a

b

1

0


a
(
b

1
)

(
b

1
)

0

即
(
b

1
)(
a

1
)

0


b

1

0
或
a

1

0


1
1
，
中至少有一个无意义。

a

1
b

1


2.
结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

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a
2

a

1a
2

3
a

1

例
2.
计算：

a

1
a

3
分析：< br>如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离
分式法”简化 计算。

解：
原式

a
(
a

1
)

1
a
(
a

3
)

1


a

1
a

3

a



1
1

(
a

)
a

1
a

3
1
1

a

1
a

3

(
a

3
)

(
a

1
)


(
a

1
)(
a

3
)



2
a

2
(
a

1
)(
a

3
)
1
x
2

5
x

5

2
例
3.
解方程：
1

2

x

7
x
6
x

5
x

6
分析：
因 为
x

7
x

6

(
x

1
)(
x

6
)
，
x

5
x

6

(
x

2
)(x

3
)
，所以最简公分母
为
：
(
x

1
)(
x

6
)(
x

2
)(
x

3
)
，
若
采
用去
分
母
的
通
常
方
法
，
运算
量
较
大
。
由
于
2
2
x2

5
x

5
x
2

5x

6

1
1


1
故可得如下解法。

2
2
2
x

5
x

6
x

5
x

6
x

5
x

6
x
2

5
x

6

1
1

1

解：


x
2

5
x

6
x
2

5
x

6
原方程变为
1

1
1< br>
1


x
2

7
x
< br>6
x
2

5
x

6

1< br>1

x
2

7
x

6
x< br>2

5
x

6

x
2
< br>7
x

6

x
2

5
x< br>
6


x

0
经检验，
x

0
是原方程的根。



3.
在代数求值中的应用

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例
4.
已知
a

6
a

9
与
|
b

1
|
互为相反数 ，求代数式

2
4
a

b
a
2

ab

2
b
2
b
(
2

)

2

的值。

a
a

b2
ab
2

a
2
b
a
b
< br>2
ab
2
分
析
：
要
求
代
数
式
的
值
，
则
需
通
过
已
知
条
件
求
出
a
、
b
的
值
，
又
因
为
a
2

6
a

9

(
a

3
)
2

0
，
|
b

1
|

0
，利用非负数及相反数的 性质可求出
a
、
b
的值。

解：
由已知得
a

3

0
，
b

1

0
，解得
a

3
，
b

1
4
a

b
a
2

ab

2< br>b
2
b

]



原式

[
(
a

b
)(
a

b
)
ab
(
b

a
)
ab
(
a
2
b
)
a

(
a

b)
2
a
2

b
2

ab
< br>b
2
b

[
]


ab
(
a

b
)(
a

b
)
ab
(
a

2
b
)
a

(
a

b
)
2
ab
(
a

2
b)
b



ab
(
a

b< br>)(
a

b
)
(
a

b
) (
a

2
b
)
a


1
a

a

b
b
1

12

把
a

3
，
b

1
代入得：原式


4.
用方程解决实际问题

例
5.
一列 火车从车站开出，
预计行程
450
千米，
当它开出
3
小时后 ，
因特殊任务多停一站，
耽误
30
分钟，后来把速度提高了
0.2< br>倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。

解：
设这列火车的速度为
x
千米
/
时

根 据题意，得
450
1
450

3
x

3< br>

x
2
12
.
x
方程两边都乘以
12x
，得
5400

42
x

4500

30
x

解得
x

75

经检验，
x

75
是原方程的根

答：
这列火车原来的速度为
75
千米
/
时。




5.
在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公 式的推导，公式的变形等问题。
而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例
6.
已知
x

2
y

3，试用含
x
的代数式表示
y
，并证明
(
3
x< br>
2
)(
3
y

2
)

1 3
。

3
y

2
解：
由
x

2
y

3
，得
3
xy

2< br>x

2
y

3

3
y

2
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
3
xy

2
y
< br>2
x

3

(
3
x

2< br>)
y

2
x

3


y< br>
2
x

3
3
x

2
3< br>(
2
y

3
)
6
y

9< br>
6
y

4
13

2


3
y

2
3
y

2
3
y

2


(
3
x

2
)


(
3
x

2
)(
3
y

2
)

13
6
、中考原题：

M
2
xy

y
2
x

y
2

例
1
．已知
2
，则
M
＝
__________
。

x

y
x

y
2
x

y
2
分析：
通过分式加减运算等式左边和右 边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出
M
。

2
xy

y
2
x

y

解：

2
2
x

y
x

y
2
xy< br>
y
2

x
2

2
xy

y
2

x
2

y
2
x
2

2
x

y
2

M
x
2

y
2


M

x
2


(
x

1
)
3

x
2

1
例
2
．已知
x

3
x

2

0
，那么代数式
的值是
_________
。

x

1
2
分析：先化简所求分式，发现把
x

3
x
看成整体代入即可求的结果。

解：原式

(
x

1
)

(
x

1
)

x

2
x

1

x

1

x

3
x

2
2
2
2

x
2

3
x

2

0

原式

x
2

3
x

2


7
、题型展示：


x
2

3
x

2

例
1.
当
x
取何值时，式子
|
x
|
2
有意义？当
x
取什么数时，该式子值为零？

2
x

3
x

2

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