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2021年1月30日发(作者：楚乔传大结局)
.


〖圆的定义〗




几何说：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为
圆心，定 长称为半径。



轨迹说：
平面上一动点以一定点为中心，
一定长为距离运动一周的轨迹称为圆
周，简称圆。



集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。


〖圆的相关量〗




圆周率：
圆周长度与圆的 直径长度的比叫做圆周率，
值是
3.149323846…
，
通
常用
π
表示，计算中常取
3.1416
为它的近似值。




圆弧和弦：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，
小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经 过圆心的弦叫做直
径。




圆心角和圆周角：
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，
且它的两边
分别与圆有另一个交点的角 叫做圆周角。




内心和外心：
过三角形的三个顶点的 圆叫做三角形的外接圆，
其圆心叫做三角
形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个 三角形的内切圆，
其圆心称为内心。




扇形：
在圆上，
由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是
一个扇形。这 个扇形的半径成为圆锥的母线。


〖圆和圆的相关量字母表示方法〗


圆
—
⊙






半径
—
r





弧
—
⌒






直径
—
d


扇形弧长／圆锥母线
—
l





周长
—
C





面积
—
S



〖圆和其他图形的位置关系〗




圆和点的 位置关系：以点
P
与圆
O
的为例（设
P
是一点，则
PO
是点到圆心
的距离），
P
在⊙
O
外，
PO＞
r
；
P
在⊙
O
上，
PO
＝
r
；
P
在⊙
O
内，
PO
＜
r
。< br>



直线与圆有
3
种位置关系：
无公共 点为相离；
有两个公共点为相交；
圆与直线
有唯一公共点为相切，
这条直线叫 做圆的切线，
这个唯一的公共点叫做切点。
以
直线
AB
与圆
O
为例（设
OP
⊥
AB
于
P
，则
PO是
AB
到圆心的距离）：
AB
与
⊙
O
相离，< br>PO
＞
r
；
AB
与⊙
O
相切，
PO
＝
r
；
AB
与⊙
O
相交，
PO
＜
r
。

'.
.





两圆之间有
5
种位置关系：
无公共点的，
一圆在另一圆之 外叫外离，
在之内叫
内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个 公共
点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为
R和
r
，
且
R≥r
，
圆心距为
P
：外离
P
＞
R+r
；外切
P=R+r
；相交
R-r
＜
P
＜
R+r
；内切
P=R-r
；内
含
P
＜
R-r
。


【圆的平面几何性质和定理】

〖有关圆的基本性质与定理〗




圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。




圆的对称性质：
圆是轴对称图形，
其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是
中心对称图形，其对称中心是圆心。




垂径定理：垂直于弦的 直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分
弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的弧。


〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗




在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量
相等， 那么他们所对应的其余各组量都分别相等。




一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。




直径所对的圆周角是直角。
90
度的圆周角所对的弦是直径。



〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗




一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分
线的交点，
到三角形三个顶点距离相等；
内切圆的圆心是三角形各内角平分线的
交点，到三角形三边距离 相等。


〖有关切线的性质和定理〗



< br>圆的切线垂直于过切点的直径；
经过直径的一端，
并且垂直于这条直径的直线，
是这个圆的切线。




切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。




切线的性质：（
1
）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（
2
）经过
切点垂直于切线的直线必经过圆心。（
3
）圆的切线垂直于经过切 点的半径。

'.
.



切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。


〖有关圆的计算公式〗


1.
圆的周长
C=2πr=πd




2.
圆的面积
S=πr²




3.
扇形弧长
l=nπr/180

4.
扇形面积
S=nπr²/360=rl/2






5.
圆锥侧面积
S=πrl




弦切角定义



顶点在圆上，一边和圆相交，另




图示

一边和圆相切的角叫做
弦切角
。




如右图所示，
直线
PT
切圆
O
于点
C
，
B C
、
AC
为圆
O
的弦，
则有∠
PCA=
∠
PBC(
∠
PCA
为弦切角）
。


弦切角定理



弦切角定理：
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
. (
弦切角就是
切线
与弦所夹的角）




弦切角定理证明：




证明一：设圆心为
O< br>，连接
OC
，
OB,
连接
BA
并延长交直线
T
于点
P
。




∵∠
TCB=90-
∠
OCB



∵∠
BOC=180-2
∠
OCB







'.
.
此图证明的是弦切角∠
TCB
∴
,
∠
BOC=2
∠
TCA
（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）




∵∠
BOC=2
∠
CAB
（圆心角等于圆周角的两倍）




∴∠
TCA=
∠
CAB
（定理：弦 切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）




证明已知：
AC
是⊙
O
的弦，
AB
是⊙
O
的切线，
A
为切点，弧是弦切角∠
BAC
所夹的弧
.



求证：
（弦切角定理）




证明：分三种情况：









（
1
）

圆心
O
在∠
BAC
的一边
AC
上




∵
AC
为直径，
AB
切⊙
O
于
A
，




∴弧
CmA=
弧
CA



∵为半圆
,



∴∠
CAB=90=
弦
CA
所对的圆周角








B
点应在
A
点左侧

（
2
）

圆心
O
在∠
BAC
的内部
.



过
A
作直径
AD
交⊙
O
于
D,



若在优弧
m
所对的劣弧上有一点
E



那么，连接
EC
、
ED
、
EA



则有：∠
CED=
∠
CAD
、∠
DEA=
∠
DAB



∴

∠
CEA=
∠
CAB



∴

（弦切角定理）






'.
.



（
3
）

圆心
O
在∠
BAC
的外部
,



过
A
作直径
AD
交⊙
O
于
D



那么

∠
CDA+
∠
CA D=
∠
CAB+
∠
CAD=90



∴∠
CDA=
∠
CAB



∴（弦切角定理）


弦切角推论
:
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

举例
:
例
1
：
如图，
在中，
∠
C=90
，
以
AB
为弦的⊙
O
与
AC
相切 于点
A
，
∠
CBA=60°
,
AB=a
求
BC
长
.



解：连结
OA
，
OB.



∵在中
,
∠
C=90


∴∠
BAC=30°





∴
BC=1/2a(
ＲＴ△中
30°
角所对边等于斜边的一半）









例
1：
如图，
在中，
∠
C=90
，
以
AB
为弦的⊙
O
与
AC
相切于点
A
，
∠
CBA =60°
, AB=a
求
BC
长
.



解：连结
OA
，
OB.



∵在中
,
∠
C=90



∴∠
BAC=30°




∴
BC=1 /2a(
ＲＴ△中
30°
角所对边等于斜边的一半）






'.
.



例
2
：如图，
AD
是
ΔABC
中∠
BAC
的 平分线，经过点
A
的⊙
O
与
BC
切于点
D
，与
AB
，
AC
分别相交于
E
，
F.



求证：
EF
∥
BC.



证明：连
DF.



AD
是∠
BAC
的平分线

∠
BAD=
∠
DAC



∠
EFD=
∠
BAD



∠
EFD=
∠
DAC



⊙
O
切
BC
于
D
∠
FDC=
∠
DAC



∠
EFD=
∠
FDC



EF
∥
BC








例
3
：如图，
ΔABC
内接于⊙
O
，
AB
是⊙
O
直径，
CD
⊥
AB
于
D
，
MN
切⊙
O
于
C
，




求证：
AC
平分∠
MCD
，
BC
平分∠
NCD.



证明：∵
AB
是⊙
O
直径




∴∠
ACB=90



∵
CD
⊥
AB



∴∠
ACD=
∠
B
，





∵
MN
切⊙
O
于
C



∴∠
MCA=
∠
B
，




∴∠
MCA=
∠
ACD
，




即
AC
平分∠
MCD
，




同理：
BC
平分∠
NCD.

'.

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