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2021年1月30日发(作者：什么事)

初中圆的定理和公式汇总

1
不在同一直线上的三点确定一个圆。


①

圆：由定点到定长点的集合叫做圆。符号⊙
0
②

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦：⌒








经过圆心的弦叫直径

③

半径不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆




同圆、等圆或半径相同的叫做等圆

两个完全重合的弧叫等弧

④

经过平面上一点可画无数个圆；

经平面上二点可画无数个圆；

⑤

在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形
的外接圆。

⑥

外心：三角形三条中垂线的交点。

⑦

三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形。

2
垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧


推论
1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
两条弧


②

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧


③

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另
一条弧


推论
2
圆的两条平行弦所夹的弧相等


3
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形



1
/
10


A
B

4
圆是定点的距离等于定长的点的集合


5
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合


6
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合


7
同圆或等圆的半径相等


8
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半


径的圆


9
定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦


相等，所对的弦的弦心距相等


10
推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两


弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等


11
定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它


的内对角


12
①

直线
L
和⊙
O
相交

d
＜
r

②

直线
L
和⊙
O
相切

d=r

③

直线
L
和⊙
O
相离

d
＞
r

13
切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线


14
切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径


15
推论
1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点


16
推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心


17
切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，


圆心和这一点的连线
平分
两条
切线
的
夹角



2
/
10



18
圆的外切四边形的两组对边的
和
相等


19
弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角


20
推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等


30
相交弦定理

圆内的两条相交弦，
被交点分成的两条线段长的积


相等


31
推论

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的


两条线段的比例中项


32
切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割


线与圆交点的两条线段长的比例中项


33
推论

从圆外一点引圆的两条割线，
这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等


34
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上


35
①

两圆外离

d
＞
R+r

②

两圆外切

d=R+r

③

两圆相交

R-r
＜
d
＜
R+r(R
＞
r)

④

两圆内切

d=R-r(R
＞
r)


⑤

两圆内含
d
＜
R-r(R
＞
r)

36
定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦


37
定理

把圆分成
n(n≥3):

⑴

依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形


⑵

经过各分点作圆的切线，
以相邻切线的交点为顶点的多边形是 这
个圆的外切正
n
边形


38
定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，
这两个圆是同
心圆



3
/
10



39
正
n
边形的每个内角都等于（
n-2
）
×
180°
／
n

40
定理

正
n
边形的半径和边心 距把正
n
边形分成
2n
个全等的直角
三角形


41
正
n
边形的面积
Sn=pnrn
／
2 p
表示正
n
边形的周长


42
正三角形面积
√3a
／
4 a
表示边长


43
如果在一个顶点周围有
k
个正
n
边形的角， 由于这些角的和应为


360°
，因此
k×
(n-2)1 80°
／
n=360°
化为（
n-2
）
(k-2)=4

44
弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180

45
扇形面积公式：
S
扇形
=n
兀
R^ 2
／
360=LR
／
2

46
内公切线长
= d-(R-r)
外公切线长
= d-(R+r)

47
定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半


48
推论
1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆
周角所对的弧也相等


49
推论
2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所


对的弦是直径



4
/
10



切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.
切线长概念





切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，
这点和切点之间的线段的长度，
“
切线长
”
是切
线上一条线段的长，具有数量的特征，而
“
切线
”
是一条直线，它不可以度量长度。


2.
切线长定理





如图
1
对于切线长定理，应明确（
1
）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；
（
2
）若
已知两条切线平行，
则圆上两个切点的连线为直径；
（3
）经过圆外一点引圆的两条切线，
连
结两个切点可得到一个等腰三角形；
（
4
）
经过圆外一点引圆的两条切线，
切线的夹角与过切
点的两个 半径的夹角互补；
（
5
）
圆外一点与圆心的连线，
平分过这点向圆引 的两条切线所夹
的角。

3.
弦切角（如图
2
）
： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。






图
1
图
2
直线
AB
切⊙
O
于
P
，
PC
、
PD
为弦，
图中几个弦切角 呢？
（四个）

APC,

APD,

BPD,< br>
BPC
4.
弦切角定理：
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即 如上图中

APC=

CDP
等

证明：如图2
，连接
CD
、
OC
、
OP
，因为

CPO=

PCO,
所以

COP=180
-2

CPO
而

CPO=90

-

APC,
故

COP=2

APC,
即

CDP=

APC
。

5.
弄清和圆有关的角：
圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6
.
遇到圆的切线，可联想
“
角
”
弦切角，
“
线
”
切线的性质定理及切线长定理。

7.
与圆有关的比例线段

定理

图形

已知

结论

证法

⊙
O
中，< br>连结
AC
、
BD
，

C=

B,< br>
A=

D,
AB
、
CD
所以△
A PC
∽△
DPB
相交
为弦，交
弦定
PA·
PB< br>＝
PC·
PD
于
P.
理



⊙
O
中，
用相交弦定理
.
AB
为直
相交
径，
弦定
PC
2
＝
PA·
PB
CD
⊥
AB
理的
于
P.
推论



⊙
O
中，
连结
TA
、
TB
，< br>则∠
PTA=
∠
B
（弦
PT
切⊙
O
切角等于同弧圆周角）所以
切割
于
T
，割
△
PTA
∽△
PBT
，所以

线定
PT
2
＝
PA·
PB
线
PB
交
PT
2
＝
PA·
PB
理

⊙
O
于
A




5
/
10

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