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2021年1月30日发(作者：经验知识)
北师大版七年级下第五章

三角形

一、三角形三边关系和角关系

C
b
1
、三角形任意两边之和大于第三边。

A
结合右边图形用数学符号表示：
a+b
＞
c
2
、三角形任意两边之差小于第三边。

a
c
结合右边图形用数学符号表示：
a-b
＜
c
3
、三角形三个内角和等于
180
°

结合右边图形用数学 符号表示：∠
A+
∠
B+
∠
C=
180
°

B
4
、三角形按角分为三类：
（
1
）锐角三角形（
2
）直角三角形（
3
）钝角三角形

5
、直角三角形的两个锐角互余。

6
、巩固练习：
1
）
、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？

（单位：
cm
）

（
1
）

1
，

3
，

3
（
2
）

3
，

4
，

7
（
3
）

5
，

9
，

13
（
4
）

11
，
12
，
22
（
5
）

14
，
15
，
30
2
）
、
已知 一个三角形的两边长分别是
3cm
和
4cm
，
则第三边长
X
的取值范围是




















。
若
X
是奇数，则
X
的值是















。这样的三角形有







个；若
X
是偶数，则
X
的值是














，这样的三角形又有







个。

3
）
、判断：

（
1
）一个三角形的三个内角可以都小于
60
°；






（






）

（
2
）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；

（






）

4
）
、在△
ABC
中，

（
1
） ∠
C=70
°，∠
A=50
°，则∠
B=






度；

（
2
）∠
B=100
°，∠
A=
∠
C
，则∠
C=






度；

（
3
）
2
∠
A=
∠
B+
∠
C
，则∠
A =






度。

5
）
、如下图，在

Rt
△
CDE,
∠< br>C
和∠
E
的关系是



















，其中∠
C=55
°，则∠
E=





度。


A
E
C




C
B
D

6
）
、如上图，在
Rt
△
ABC
中，∠
A=2
∠
B
，则∠
A=







度，∠
B=






度。

二、三角形的角平分线、中线和高

1
、三角形的角平分线：三角形一个角的 角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线
段叫做三角形中这个角的角平分线。简 称三角形的角平分线。

如图：∵
AD
是三角形
ABC
的角平分线。


∴∠
BAD
＝∠
CAD
＝
1
∠
BAC
或∠
BAC
＝
2
∠
BAD
＝
2
∠
CAD

2


2
、三角形的中线： 线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。简称三角形
的中线。

如图：∵
AD
是三角形
ABC
的中线。


∴
BD
＝
DC
＝
1
BC或
BC
＝
2BD
＝
2DC

2
3< br>、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高< br>线，简称三角形的高。

如图：∵
AM
是
BC
边上的高


∴
AM
⊥
BC

4
、巩固练习：
1
）
、△
ABC
中
,
∠
B=80
°∠
C=40
°
,BO
、
CO
平分∠
B
、∠< br>C
，则∠
BOC=______.
2
）
、如右图
,
在△
ABC
中
,
∠
BAC=60
°
,∠
B=45
°
,AD
是△
ABC
的一条角平分线，
求∠
ADB
的度数
.



< br>3
）
、如右图
,
已知
,AD
是
BC
边上的中线
,AB=5cm,AD=4cm,
△
ABD
的周长是

12cm,
求
BC
的长
.





三、全等三角形

1
、全等图形：能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。
2
、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．


如图：三角形
ABC
全等于三角形
DEF
表示为：△
ABC
≌△
DEF

3
、全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

如图，∵

△
ABC
≌
DFE
，
(
已知
)
∴
AB=DF
，
AC=DE
，
BC=FE
，
(全等三角形的对应边相等
)
∠
A=
∠
D
，∠
B=
∠
F
，∠
C=
∠
E
．
(
全等 三角形的对应角相等
)
4
巩固练习
:
已知：
△
ABC
≌△
DFE
，
∠
A=96
°，
∠
B =25
°，
DF=10cm
．求∠
E
的度数及
AB
的长．





四、三角形全等的条件

1
、三组对应边分别相等的两个三角形全等
(
简称
SSS
或
“
边边边
”)

2
、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等< br>(SAS
或
“
边角边
”)
。




3
、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
(ASA
或
“
角边角
”)
。




4
、 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等
(AAS
或
“
角角边
”)



5
、证明的书写格式：

(1)< br>通过证明，先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件；

(2 )
再写出在哪两个三角形中：具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件，并用括号把它 们
括起来；

(3)
最后写出判定这两个三角形全等的结论．

6
、巩固练习：

1
）
、如图，
AB=AC
，


BD=DC






















2
）
、如图，
AM=AN
，


BM=BN







求证：△
ABD
≌△
ACD





























求证：△
AMB
≌△
ANB







证明：在△
ABD
和△
ACD
中

























证明：在△
AMB
和△
ANB
中



AM

_______(__
____)
< br>AB

AC
(
已知
)



_______

_______(
已知
)


_______

BN
(
已知
)


__ _____

_________(
公共边
)

AD

AD
(
公共边
)




∴

△
ABD








△
ACD
（



）

























∴








≌








（







）




N
A


B


C
B

A
D




3
）如图，
AB
＝
AC
， ∠
B
＝∠
C
，你能证明△
ABD
≌△
ACE
吗？

A
证明：△
ABD
和△
ACE
中

M











＝
＝

（已知）
（已知）

E
B
D
C
（公共角）
∴









≌









（








）

4
）
、 如图，已知
AC
与
BD
交于点
O
，
AD
∥
BC
，且
AD
＝
BC
，你能说明
BO=DO
吗？

证明：∵
AD
∥
BC
（已知）

∴∠
A=




，
（






















）

A


∠
D=




，
（






















）

在






























中，













D
O
C
B
∴











≌











（









）

∴
BO=DO
（































）


5
）
、已知：如图，
AD
∥
BC
，
AD
＝
CB
，
AE=CF





求证：△
ADF
≌△
CBE
．

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