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2021年1月30日发(作者：犬养毅)
第七章

三角形

【知识要点】

一．认识三角形

1
．关于三角形的概念及其按角的分类

定义：由
不在同一直线
上的三条线段
首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形。

2
．三角形的分类：

①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2
．关于三角形三条 边的关系（判断三条线段
能否构成三角形
的方法、
比较线段的长短
）

根据公理“
两点之间，线段最短
”可得：

三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3
．与三角形有关的线段
：三角形的角平分线、中线和高

．．
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；

三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成
面积
相等的
两个部分；

三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高
都是线段
，不是直线，也不是射线；

②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；

③任意一个三角形的三条 角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：
锐角三角形的三条高都在三角形 的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直
角边；钝角三角形一条高在三角 形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交 于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三
角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐 角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的
交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交 点在三角形的外部。
）

4
．三角形的内角与外角

（
1
）三角形的内角和：
180
°

引申：①直角三角形的两个锐角互余；

②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；

③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（
2
）三角形的外角和：
360
°

（
3
）

三角形外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——
常用来求角度

②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——
常用来比较角的大小

5.
多边形的内角与外角

多边形的内角和与外角和（识记）

正
n
边形

内角和

外角和

每一个内角
3
180
°

360
°

60
°

4
360
°

360
°

90
°

5
540
°

360
°

108
°

6
720
°

360
°

120
°

8
1080
°

360
°

135
°

10
1440
°

360
°

144
°

12
1800
°

360
°

150
°

15
2340
°

360
°

158
°


1
(
n

2)
180

360

或
180

< br>
n
n
每一个外角
120
°

90
°

72
°

60
°

45
°

36
°

30
°

22
°

180


(
n
2
)
180

360

或

n
n

（
1
）多边形的内角和：
（
n-2
）
180
°

（
2
）多边形的外角和：
360
°

引申：
（
1
）从
n
边形的一个顶点出发能作（
n-3
）条对角线 ；

（
2
）多边形有
n
(
n

3
)
条对角线。

2
（
3
）从
n
边 形的一个顶点出发能将
n
边形分成（
n-2
）个三角形；

※
6
．镶嵌

（
1
）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；

（
2
）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进行平面镶嵌；

（
1
）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。

【典型例题】

三角形的分类

例题
1
：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（
B
）
。

A
：∠
A+
∠
B=
∠
C B
：∠
A=
∠
B=
∠
C C
：∠
A=90
°
-
∠
B D
：∠
A-
∠
B=90
例题
2
：等腰三角形一腰 上的高与另一腰的夹角为
30
°，则顶角的度数为
( D )
．



A
．
60
°



B
．
120
°



C
．
60
°或
150
°



D
．
60
°或
120
°


如图，∠1+
∠
2+
∠
3+
∠
4
等于多少度；
（
280
°）


1


40



练习：

1
、如图，下列说法错误的是
( A )
A
、∠
B >
∠
ACD B
、∠
B+
∠
ACB =180
°－∠
A
C
、∠
B+
∠
ACB <180
°
D
、∠
HEC >
∠
B
2
、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是
( C ).
A
、直角三角形
B
、锐角三角形
C
、钝角三角形
D
、无法确定

三角形的内角和、外角和相关的计算与证明

例题
1
：若三角形的三 个外角的比为
3
：
4
：
5
，则这个三角形为（
B
）
．

A
．锐角三角形

B
．直角三角形
C
．等边三角形



D
．钝角三角形

例题
2
：已知等腰三角形的一个外角为< br>150
°，则它的底角为
_______.
练习：

1、如图，若∠
AEC=100
°，∠
B=45
°，∠
C=38< br>°，则∠
DFE
等于
( A )
A. 125
°
B. 115
°
C. 110
°
D. 105
°


2
3
2
¼
4
Í
4
A
H
E
2
、如图，∠
1=______.
_


A

_


D


_


80


_

2
_

F
_
140




_


150


_

1

_


50


_

1
_


C
_


E

B
_


_
题
2

图

_
题
3

图

_
1

题图



3
、如图，则 ∠
1=______,
∠
2=______,
∠
3=______,
4
、已知等腰三角形的一个外角是
120
°，则它是
( C )
A.
等腰直角三角形
B.
一般的等腰三角形
C.
等边三角形
D.
等腰钝角三角形

5
、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为
180
°，那么与这个外角相邻的内角 的度数为
( C )
A. 30
°
B. 60
°
C. 90
°
D. 120
°

6
、已知三角形的三个外角的度数比为
2
∶
3
∶
4
，则它的最大内角的度数
( D ).
A. 90
°
B. 110
°
C. 100
°
D. 120
°


例
7
.
如图（
1
）所示，△
中，
的平分线交于点
，

_

3
求证：
.



（
1
）

（
2
）


（
3
）

变式
1
：如图（
2
）所 示，△
中，内角
和外角
的平分线交于点
，

求证：
.
中，外角
的平分线交于点
，

变式2
：如图（
3
）所示，△
求证：
分析：
本题已知△.
的内角平分线和外角平分线，从而想到可利用三角形角平分线的性质，三角
形的内角和 定理以及外角与内角的关系证题。

解答：
如图（
1
），∵在△
又∵

中，
，

3

的平分线交于点

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