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2021年1月30日发(作者：马龙)
初中数学三角形难题汇编附答案


一、选择题

1
．
如图，
△
ABC
的角平分线
CD
、
BE
相交于
F
，∠
A
＝
90°
，
EG
∥BC
，且
CG
⊥
EG
于
G
，下列
结论 ：
①
∠
CEG
＝
2
∠
DCB
；
②
∠
ADC
＝∠
GCD
；
③
CA
平分∠BCG
；
④
∠
DFB
＝
CGE
．其中正确的结 论是
( )

1
∠
2

A
．
②③

【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
①②④

C
．
①③④

D
．
①②③④

根 据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出
答案．

【详解】

①
∵
EG
∥
BC
，

∴∠
CEG=
∠
ACB
，

又∵
CD
是
△
ABC
的角平分线，

∴∠
CEG=
∠
ACB=2
∠
DCB
，故正确；

②
∵∠
A=90°
，

∴∠
ADC+
∠
ACD=90°
，

∵
CD
平分∠
ACB
，

∴∠
ACD=
∠
BCD
，

∴∠
ADC+
∠
BCD=90°
．

∵
E G
∥
BC
，且
CG
⊥
EG
，

∴ ∠
GCB=90°
，即∠
GCD+
∠
BCD=90°
，
∴∠
ADC=
∠
GCD
，故正确；

③条件不足，无法证明
CA
平分∠
BCG
，故错误；

④
∵∠
EBC+
∠
ACB=
∠
AEB
，∠
D CB+
∠
ABC=
∠
ADC
，

1
（∠< br>ABC+
∠
ACB
）
=135°
，

2∴∠
DFE=360°
-135°
-90°
=135°
，

∴∠
AEB+
∠
ADC=90°
+
∴∠
DFB =45°
=
故选
B
．

1
∠
CGE
，，正确．

2
【点睛】
< br>本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三
角形外角 的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．


2
．
把一副三角板如图甲放置，其中∠
ACB=
∠
DEC=90°
，∠
A -45°
，∠
D=30°
，斜边
AB=6
，
DC=7
，把三角板
DCE
绕着点
C
顺时针旋转
15°
得到
△
D
1
CE
1
（如图乙），此时
AB
与
CD
1
交于
点
O
，则线段
AD
1
的长度为 （

）


A
．
3
2

【答案】
B

【解析】

【分析】

【详解】

B
．
5
C
．
4
D
．
31

由题意易知：∠
CAB=45°
，∠
ACD=30°
，
< br>若旋转角度为
15°
，则∠
ACO=30°
+15°
=45°
．

∴∠
AOC=180°
－∠
ACO
－∠
CAO=90°
．

在等腰
Rt
△
ABC
中，< br>AB=6
，则
AC=BC=
3
2
．

同理可求得：
AO=OC=3
．

在
Rt
△
AOD1
中，
OA=3
，
OD
1
=CD
1
－
OC=4
，

由勾股定理得：
AD
1
=5
．故选
B
．


3
．
如图，已知
△
ABC
是等腰直角三角形，∠
A
＝
90°
，
BD
是∠
ABC
的平分线，
DE
⊥
BC
于
E
，若
BC
＝
10 cm
，则
△
DEC
的周长为（

）


A
．
8cm
【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
10cm
C
．
12cm
D
．
14cm

根据
“AAS”
证明

Δ
ABD
≌
Δ
EBD
.
得到
AD
＝
DE
，
AB
＝
BE
，根据等腰直角三角形的边的关系， 求
其周长
.

【详解】

∵

BD
是∠
ABC
的平分线，

∴

∠
ABD
＝∠
EBD
.

又∵

∠
A
＝∠
DEB
＝
90°
，
BD
是公共边 ，

∴

△
ABD
≌△
EBD
(AAS)
，

∴

AD
＝
ED
，
AB
＝
BE
，

∴

△
DEC
的周长是
DE
＋
EC
＋
DC

＝
AD
＋
DC
＋
EC

＝
AC
＋
EC
＝
AB
＋
EC

＝
BE
＋
EC
＝
BC

＝
10 cm.

故选
B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
.
掌 握全等
三角形的判定方法（即
SSS
、
SAS
、
ASA、
AAS
和
HL
）和全等三角形的性质（即全等三角形
的对应边 相等、对应角相等）是解题的关键．


4
．
如图，
△ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
BC
＝
12
，
D
是
BC
的中点，
DE
⊥
AB
于点
E
，则
DE
的长
为（


）


A
．
6

5
B
．
8

5
C
．
12

5
D
．
24

5
【答案】
D

【解析】

【分析】

连接
AD
，根据已知等腰三 角形的性质得出
AD
⊥
BC
和
BD=6
，根据勾股定理求出
AD
，根据
三角形的面积公式求出即可．

【详解】

解：连接
AD


∵
AB=AC
，
D为
BC
的中点，
BC=12
，

∴
AD
⊥
BC
，
BD=DC=6
，
在
Rt
△
ADB
中，由勾股定理得：
AD=
∵
S
△
ADB=
∴
DE=
AB
2
BD
2
10
2

6
2

8
，

1
1
×AD×BD
＝
×AB×DE
，

2
2
AD

BD
8

6
24

，

AB
10
5
故选
D
．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相
互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出
AD
的长是解此题的关键．


5
．
如图，在
▱
ABCD
中，
E
为边
AD
上的一点，将
△
DEC
沿
CE
折叠至
△
D
′
EC
处，若∠
B
＝
48°
，∠
ECD
＝
25°
，则∠
D
′
EA的度数为（


）


A
．
33°

【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
34°

C
．
35°

D
．
36°

由平 行四边形的性质可得∠
D
＝∠
B
，由折叠的性质可得∠
D
'
＝∠
D
，根据三角形的内角和
定理可得∠
DEC
，即为∠< br>D
'
EC
，而∠
AEC
易求，进而可得∠
D
'
EA
的度数．

【详解】

解：∵四边形
ABC D
是平行四边形，∴∠
D
＝∠
B
＝
48°
，

由折叠的性质得：∠
D
'
＝∠
D
＝
48°，∠
D
'
EC
＝∠
DEC
＝
180°
﹣∠
D
﹣∠
ECD
＝
107°
，

∴∠< br>AEC
=180°
﹣∠
DEC
=180°
﹣
107°
＝
73°
，

∴∠
D
'
EA
＝∠
D
'
EC
﹣∠
AEC
＝
107°
﹣
73°
=34°
.

故选：
B
．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识， 属于常考题
型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．


6
．
如图
,
已知
△
ABD
和
△
ACD
关于直 线
AD
对称；在射线
AD
上取点
E,
连接
BE, CE,
如图
:
在射
线
AD
上取点
F
连接< br>BF, CF,
如图
,
依此规律，第
n
个图形中全等三角形的 对数是（

）


A
．
n
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2n-1
C
．
n
(
n

1)

2
D
．
3(n+1)

根据条件可得图
1
中
△
ABD
≌△
ACD
有
1
对三角形全等；图2
中可证出
△
ABD
≌△
ACD
，
△
BDE
≌△
CDE
，
△
ABE
≌△
ACE
有
3
对全等三角形；图
3
中有
6
对全等三角形，根据数据可
分析出第
n
个图形中全等三角形的对数．

【详解】

∵
AD
是∠
BAC
的平分线，

∴∠
BAD
=
∠
CAD
.

在
△
ABD
与
△
ACD
中，

AB
=
AC
，

∠
BAD
=
∠
CAD
，

AD
=
AD
，

∴△
ABD
≌△
ACD
.

∴图
1
中有
1
对三角形全等；

同理图
2
中
,
△
ABE
≌△
ACE
，

∴
BE
=
EC
，

∵△
ABD
≌△
ACD
.

∴
BD
=
CD
，

又
DE
=
DE
，

∴△
BDE
≌△
CDE
，

∴图
2
中有
3
对三角形全等；

同理：图
3
中有
6
对三角形全等；

由此发现：第
n
个图形中全等三角形的对数是
故选
C.

【点睛】

考查全等三角形的判定，找出数字的变化规律是解题的关键
.

n

n

1

2
.


7
．
如图，点
O
是

ABC
的内心，M
、
N
是
AC
上的点，且
CM

CB
，
AN

AB
，若

ABC

1 00

，则

MON

（

）


A
．
60


【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
70


C
．
80


D
．
100


根据题意，连接
OA
，< br>OB
，
OC
，进而求得

BOC


MOC
，

AOB


AON
，即∠
C BO
=
∠
CMO
，∠
OBA
=
∠
ONA< br>，根据三角形内角和定理即可得到∠
MON
的度数
.

【详解】

如图，连接
OA
，
OB
，
OC
，


∵点
O
是

ABC
的内心，

∴

BCO


MCO
，

∵< br>CM
=
CB
，
OC
=
OC
，
∴

BOC


MOC
(
SAS
)< br>，

∴

CBO


CMO
，

同理可得：

AOB


AON
，

∴

ABO


ANO
，

∵< br>
CBA


CBO


ABO

100

，

∴

CMO

< br>ANO

100

，

∴

MON

180


(

CMO

< br>ANO
)

80

，

故选：
C.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质 及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握
相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题 的关键
.


8
．
五根小木棒，其长度分别为
7< br>，
15
，
20
，
24
，
25
，现将 它们摆成两个直角三角形，
如图，其中正确的是（

）


A
．

B
．

C
．

【答案】
C

【解析】

【分析】

D
．

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方 和等于最长边的平
方即可．

【详解】

A
、
7< br>2
+24
2
=25
2
，
15
2
+2 0
2
≠24
2
，
(7+15)
2
+20
2
≠25
2
，故
A
不正确；

B
、
7
2
+24
2
=25
2
，
15
2
+20
2
≠24
2
，故
B
不正确；

C< br>、
7
2
+24
2
=25
2
，
15< br>2
+20
2
=25
2
，故
C
正确；

D
、
7
2
+20
2
≠25
2
，< br>24
2
+15
2
≠25
2
，故
D
不 正确，

故选
C
．

【点睛】

本题考查 勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的
长，只要利用勾股定理的逆 定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足
a
2
+b
2
=c
2
，那么这个三角形是直角三角形．


9
．
如图，已知
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB
＝
60 °
，
CP
＝
2
，
CP
∥
OA
，< br>PD
⊥
OA
于点
D
，
PE
⊥
OB< br>于点
E
．如果点
M
是
OP
的中点，则
DM< br>的长是
(


)


A
．
2
【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2

C
．
3

D
．
2
3

由
OP
平分∠
AOB
，∠
AOB=60°
，
CP=2
，
CP
∥
OA
，易得
△
OCP
是等腰三角 形，∠
COP=30°
，
又由含
30°
角的直角三角形的性质，即可 求得
PE
的值，继而求得
OP
的长，然后由直角三

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