人教版初中数学第十一章三角形知识点
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2021年01月30日 18:53
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第十一章
三角形
11.1
与三角形有关的线段
11.1.1
三角形的边
1
．关于三角形的概念及其按角的分类
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
.
2
．三角形的分类：
①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
.
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形
.
3
．关于三角形三条 边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）
根据公理
“
两点之间，线段最短
”
可得：
三角形任意两边之和大于第三边
.
三角形任意两边之差小于第三边
. 例
1
．小芳有两根长度为
4cm
和
9cm
的木条，她想 钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应
该选择长度为（
）的木条．
A
．
5cm
B
．
3 cm
C
．
17cm
D
．
12 cm
【答案】
D
【解析】
试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知：
对
A
，∵
4+5=9
，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对
B
，∵
4+3
＜
9
，不符合三角形两边之和大于 第三边，故错误；
对
C
，∵
4+9
＜
17
，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对
D
，∵
4+9
＞
12
，
12-9
＜
4
，符合两边之和大于第三边 ，三角形的两边差小于第三边，故正确；
故选
D
．
考点：三角形的三边关系
例
2
．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（
）
A
．
2
，
3
，
5
B
．
3
，
3
，
6
C
．
2
，
5
，
8
D
．
4
，
5
，
6
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：
A
．
2+3=5
，故不能构成三角形，故选项错误；
B
．
3+3=6
，故不能构成三角形，故选项错误；
C< br>．
2+5
＜
8
，故不能构成三角形，故选项错误；
D
．
4+5
＞
6
，故，能构成三角形，故选项正确．
故选
D
．
考点：三角形三边关系．
例
3
．
现有四根木棒，
长度分别为
4cm
，
6cm
，
8cm
，
10cm
．
从中任取三根木棒，
能组成三角形的个 数为
（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
【答案】
C
【解析】
试题分析：
根据三角形三边关系可 知能组成三角形的木棒长度分别为：
4cm
、
8cm
、
10cm；
4cm
、
6cm
、
8cm
和
4cm
、
8cm
、
10cm
三种情况．
考点：三角形三边关系
例
4
．在下列长度的四根木棒中，能与两根 长度分别为
4cm
和
9cm
的木棒构成一个三角形的是（
）
A.4cm
B.5cm
C.9cm
D.13cm
【答案】
C
【解析】
试题分 析：
三角形任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边
.
根据这个规 律可得这个三角形的第
三边长的范围为
5
＜第三边＜
13
，则选择< br>9cm.
考点：三角形三边关系
例
5
．一个三角形的三条 边长分别为
1
、
2
、
x
，则
x
的取值范围 是（
）
A
、
1≤x≤3
B
、
1
＜
x≤3
C
、
1≤x
＜
3
D
、
1
＜
x
＜
3
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：已知两边， 则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可以求出第三边长的范
围．
试题解析：根据题意得：
2-1
＜
x
＜
2+1
即：
1
＜
x
＜
3
故选
D
．
考点：三角形三边关系．
例
6
．如图，在△
ABC
中，
AD
、
BF
、
CE
相交于
O
点，则图中的三角形的个数是（
）
A
．
7
个
B
．
10
个
C
．
15
个
D
．
16
个
【答案】
D
【解析】根据 三角形的概念，最小的有
6
个，
2
个组成一个的有
3
个，三 个组成一个的有
6
个，最大的有
一个，则有
6+3+6+1=16
个
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
1.
三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高
.
2.
三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分 成面积相等
的两个部分；三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
.
3.
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
③任意一个三角形的三条 角平分线、
三条中线都在三角形的内部
.
但三角形的高却有不同的位置：
锐< br>角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角< br>边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部
.
④一个三角形中， 三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点
.
（三角
形的 三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交
点是 直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部
.
）
例
1
．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（
）
A
．锐角三角形有三条高
B
．直角三角形只有一条高
C
．任意三角形都有三条高
D
．钝角三角形有两条高在三角形的外部
【答案】
B
【解析】
试题分析：根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形 都有三条高，其中锐角三角形
的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边， 一条在内部；钝角三角形有两
条高在三角形的外部，一条在内部，据此可知：
A
、锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
B
、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；
C
、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
D
、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；
故选
B
．
考点：三角形的高
例
2
．到三角形三个顶点距离相等的点是（
）
A
．三边高线的交点
B
．三条中线的交点
C
．三边垂直平分线的交点
D
．三条内角平分线的交点
【答案】
C
【解析】
试题分析：如图，根据题意可知：由
OA=OB
，可得点
A
在线段
AB
的垂直平分线上；由
OB=OC
，可得
O
在线段
BC
上；同理可由
OA=OC
，可得
O
在线段
AC
的垂直平分线上；因此可知到三角形三个顶点的距
离相等的点，是这个三角 形的三边的垂直平分线的交点．
故选
C
考点：线段的垂直平分线
例
3
．下列四个图形中，线段
B E
是△
ABC
的高的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：线段
BE
是△
ABC
的高的图是选项
D
．故选
D
．< br>
考点：三角形的角平分线、中线和高．
例
4
．不一定在三角形内部的线段是（
）
A
．三角形的角平分线
B
．三角形的中线
C
．三角形的高
D
．三角形的中位线
【答案】
C
【解析】
< br>试题分析：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形< br>的外部．
故选
C
．
考点：
1.
三角形的角平分线、中线和高；
2.
三角形中位线定理．
例5
．如图，
AD
⊥
BC
，
GC
⊥
BC
，
CF
⊥
AB
，
D
，
C
，
F
是垂足，下列说法中错误的是（
）
．
A
．△
ABC
中，< br>AD
是
BC
边上的高
B
．△
ABC
中，
GC
是
BC
边上的高
C
．△
GBC
中，
GC< br>是
BC
边上的高
D
．△
GBC
中，
CF
是
BG
边
【答案】
B
．
【解析】
试题分析：三角形的高 的定义是三角形中，从三角形的一个顶点向它的对边所引的垂线段即为三角形这边
上的高，据此可知，< br>A
、△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，此 选项正确；
B
、△
ABC
中，
GC
是
BC
边上的
高，错误；
C
、△
GBC
中，
GC
是
BC
边上的高，正确；
D
、△
GBC
中，
CF
是
BG
边，正确．
故选：
B
．
考点：三角形的高的定义．
例
6
．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（
）
A
．三条高线的交点
B
．三条中线的交点
C
．三条角平分线的交点
D
．三边垂直平分线的交点
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的 点是三边的垂直平分线的交
点．故选
D
．
考点：线段垂直平分线的性质．
例
7
．如图，
CD
，
CE
，
CF
分别是△
ABC
的高、角平分线、中线，则 下列各式中错误的是（
）
A
．
AB=2BF
B
．
AE=BE
C
．∠
ACE=
【答案】
B.
【解析】
试题分析
:
∵
CD
，
CE
，
CF
分别是△
ABC
的高、角平分线、中线
∴
CD
⊥
BE
，∠
ACE=
1
∠
ACB
D
．
CD
⊥
BE
2
1
∠
ACB
，
AB=2BF
2
故选
B
考点：三角形的高，角平分线，中线
..